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高中数学必修5第二章


高中数学必修 5 等比数列知识点 第二章 等比数列知识点 学习目标: 学习目标: 1、掌握等比数列的概念; 2、会用等比数列的定义解题; 3、掌握等比数列的通项公式、求和公式、性质、等比中项。 学习重难点: 学习重难点: 重点: 重点:通项公式和求和公式的灵活运用; 难点: 难点:等差数列的性质的灵活运用。 知识梳理: 知识梳理: 1、等比数列的定义: 、等比数列的定义: 2、通项公式: 、通项公式:

an = q ( q ≠ 0 ) ( n ≥ 2, 且n ∈ N * ) , q 称为公比 公比 an ?1

an = a1q n ?1 =

a1 n q = A ? B n ( a1 ? q ≠ 0, A ? B ≠ 0 ) ,首项: a1 ;公比: q q
n?m

推广: an = am q 3、等比中项: 、等比中项:

? q n? m =

an a ? q = n?m n am am
2

(2)数列 {a n } 是等比数列 ? an = an ?1 ? an +1
2

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即: A = ab 或 A = ± ab 注意:同号的 同号的两个数才有 才有等比中项,并且它们的等比中项有两个 有两个(两个等比中项互为相反数) 同号的 才有 有两个

公式: 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: 、 (1)当 q = 1 时, S n = na1 (2)当 q ≠ 1 时, S n =

a1 (1 ? q n )
1? q

=

a1 ? an q 1? q

=
5、等比数列的判定方法: 、等比数列的判定方法:

a1 a ? 1 q n = A ? A ? B n = A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

(1)用定义:对任意的 n ,都有 an +1 = qan或
2

an +1 = q (q为常数,an ≠ 0) ? {an } 为等比数列 an

(2)等比中项: an = an +1an ?1 (an +1an ?1 ≠ 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an = A ? B
n

( A ? B ≠ 0 ) ? {an } 为等比数列
n n

(5)前 n 项和公式: S n = A ? A ? B 或S n = A ' B ? A ' A, B, A ', B ' 为常数 ? {an } 为等比数列 6、等比数列的证明方法: 、等比数列的证明方法: 依据定义:若 7、注意: 注意: 注意

(

)

an = q ( q ≠ 0 ) ( n ≥ 2, 且n ∈ N * ) 或 an +1 = qan ? {an } 为等比数列 an ?1

(1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为基本元 素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2; (2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项: an = a1q 如奇数个数成等差,可设为…, 8、等比数列的性质: (1)当 q ≠ 1 时 ①等比数列通项公式 an = a1q
n ?1 n ?1



a a , , a, aq, aq 2 ,…(公比为 q ,中间项用 a 表示) 。 q2 q

=

a1 n q = A ? B n ( A ? B ≠ 0 ) 是关于 n 的带有系数的类指数函数,底数为公比 q ; q

②前 n 项和 S n =

a1 (1 ? q n ) 1? q

=

a1 ? a1q n a1 a ? 1 q n = A ? A ? B n = A ' B n ? A ' ,系数和常数项是互为相反数的 1? q 1? q 1? q
n?m

类指数函数,底数为公比 q 。 (2)对任何 m, n ∈ N * ,在等比数列 {an } 中,有 an = am q 此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3)若 m + n = s + t ( m, n, s, t ∈ N * ) ,则 an ? am = as ? at 。特别的,当 m + n = 2k 时,得 an ? am = ak 注: a1 ? an = a2 ? an ?1 = a3 an ? 2 ??? (4)数列 {an } , {bn } 为等比数列,则数列 { 列。
* (5)数列 {an } 为等比数列,每隔 k ( k ∈ N ) 项取出一项 (am , am + k , am + 2 k , am +3k , ???) 仍为等比数列 2

,特别的,当 m = 1 时,便得到等比数列的通项公式。因

a k } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } , { n } ( k 为非零常数)均为等比数 an bn

等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (6)如果 {an } 是各项均为正数的等比数列 等比数列 等差数列 (7)若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n , ??? ,成等比数列 (8)若 {an } 为等比数列,则数列 a1 ? a2 ????? an , an +1 ? an + 2 ????? a2 n , a2 n +1 ? a2 n + 2 ??????a3n 成等比数列

>0,则{an }为递增数列 {a1 <0,则{an }为递减数列 (9)①当 q > 1 时, a1
> 0,则{a }为递减数列 {a1 <0,则{ann }为递增数列 ②当 0<q < 1 时, a1
③当 q = 1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列) ; ④当 q < 0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中,当项数为 2n( n ∈ N * ) 时,

S奇 S偶
n

=

1 q

(11)若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 S n + m = S n + q ? S m


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