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5.3同角三角比的关系和诱导公式


5.3同角三角比的关系和 诱导公式

(1)同角三角比的关系

预习
? 阅读书本 ? 写出所有的同角三角比的关系 ? 整理所有的诱导公式

复习:任意角三角比定义
上节课我们已学习了任意角三角比定义,如图 所示,任意角? 的六个三角比是如何定义的呢?

在 ? 的终边上任取

一点 P?x,y ? ,它与原点的距离是r, r 2 ? x2 ? y2 ? r ? 0? ,则角 ? 的六个三角比的值是:

y sin? ? ; r
x cot? ? y

x cos? ? ; r

y tan? ? x



r se c? ? x

r ; csc? ? y

探讨:这六个三角比之间有什么关系?

同角三角比基本关系式:
称为平方关系 称为倒数关系 称为商数关系

还有其它一些关系吗?

同角三角函数基本关系式:
平方关系 倒数关系

sin 2 ? ? tan 2 ? ? 1 tan ? ? cot ? ? 1 sec2 ? ? tan 2 ? ? 1 sin ? ? csc? ? 1 csc 2 ? ? cot 2 ? ? 1 cos ? ? sec? ? 1
关于三种关系式

商数关系 sin ? ? tan ? cos ? cos ? ? cot ? sin ?

2.三种关系式(公式)都必须在定义域允许的范围内成立. 3 .对于同一个角 ? 的 sin ? 、cos ? 、tan ? 、cot ? 可以利用上三种基本 关系式 , " 知一求三".

3? 1.“同角”的概念与角的表达形式无关. sin 2 ? tan 3? . ? ? 2 2 2 如 : sin 3? ? cos 3? ? 1; tan ? cot ? 1; cos 3? 2 2 2

一、同角三角比的关系
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 1 ? tan2 ? ? sec2 ? 1 ? cot2 ? ? csc2 ?
sin?
cos ?

平方关系:

tan?

1

cot?

sin ? ?cos ? ? 0? tan ? ? cos ? 商数关系: cos ? ?sin ? ? 0? cot ? ? sin ?

sec ?

csc ?

①对角线上两三角比相乘为1; ②任一角的三角比等于两相邻三角比 倒数关系: 的乘积; ③黄色三角形:顶部的两三角比平方 和等于底部的三角比的平方。 公式的应用:①求值②化简③证明

sin ? ? csc ? ? 1 cos ? ? sec ? ? 1 tan ? ? cot ? ? 1

二、同角三角比关系的应用

①求值②化简③证明

例 1 : ( 1 ) 已 知 cosα=4/5 且 α 是 第 四 象 限 的 角 , 求α的其他三角比

(2)已知tanα=-5/12,求其他三角比

(3)已知cotα=k,k≠0,求sinα, cosα
①尽可能判断角的符号,以确定三角比的符号; ②尽可能少用平方关系; ③必要时要分类讨论,特别是带参数的问题。

练一练:
P45 习题5.3(1)

小结
5.3(1)同角三角比的关系 平方关系: sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 商数关系:
ta n ? ? s in ? cos ?

求值问题(三种类型) ① ②

倒数关系:

tan ? ?cot ? ? 1



sin?

cos ?

tan?

1

cot?

sec?

csc?

注意: ① ② ③

此类问题应注意: ① ②

公式的应用:①求值②化简③证明



1、根据下列条件,求角 ? 的其他三角比值 (1)已知 sin ? ? ? (2)已知 tan ? ?

回家作业(共5题)

2 ,且 ? 是第四象限的角 3

3 ,且 ? 是第三象限的角 4 12 2、 (1)已知 cos ? ? ,求 sin ? , tan ? 的值 13 1 (2)已知 cot ? ? ? ,求 sin ? ,cos ? , tan ? 2

2cos 2 ? 1 3、化简: (1) 1 ? 2sin 2 ?
4、证明: (1)

(2) sin ? cos ? ? tan ? ? cot ? ?

sin ? 1 ? cos ? 2 2 2 2 ? (2) tan ? ? sin ? ? tan ? ? sin ? 1 ? cos ? sin ?
2

5、已知 tan ? ? 2,sin ? ? a ,求 sin ? ? cos ?

二、同角三角比关系的应用
例2: ?1? 1 ? sin 2 1470?

①求值②化简③证明
化简一般要求: ①三角比种类少, ②式子项数少,项的次数要低 ③根式和分母中尽量不含三角比 ④尽量求出数值(不能通过计算器)

? 2?

1 ? sin ? 1 ? sin ?

二、同角三角比关系的应用

①求值②化简③证明

例3:证明 ?1? sin4 ? ? sin2 ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1
2 2 cos ? ? cos ? 2 2 ? 2? sin ? sin ? ? 2 cot ? ? cot 2 ?

cos x 1 ? sin x ? ? 3? 1 ? sin x cos x

证明常用的方法: ①左边=>右边,右边=>左边,左,右两边都等于第三式(一般是从繁到简) ②左边-右边=0 ③分析法

二、同角三角比关系的应用
例4:已知tanα=-3,求下列各式的值

常用的几种技巧

3cos ? ? 2sin ? ?1? 2sin ? ? cos ?

2 2 4sin ? ? 3sin ? cos? ? ?

5sin 3 ? ? cos ? ? 3? 2cos3 ? ? sin 2 ? cos ?
例5:已知角α是三角形的内角,且sinα+cosα=-1/5, 求下列各式的值

cos 4 ? ; ?1? sin ? ? cos ? ; ? 2 ? sin 3 ? ? cos3 ? ; ? 3? sin 4 ? ? ①化切为弦 (三角比种类比较多时) ? 4 ? sin ? ? cos ? ; ? 5? sin ? ;cos ? ②1的代换
③化切法

练一练

P50 练习5.3(3)

1、已知 tan ? ? m ,求 sin ? ? cos ? 2、证明下列恒等式
4 4 2

(1) sin ? ? cos ? ? 1 ? 2sin ? cos ?
2

回家作业(共6题)

1 ? 2 cos 2 ? (2) tan ? ? cot ? ? sin ? cos ?
1 ? 2sin ? cos ? 1 ? tan ? ? (3) 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ?
(4) sin
2

? ? sin 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? cos2 ? cos2 ? ? 1
2

(5) 2 ?1 ? sin ? ??1 ? cos ? ? ? ?1 ? sin ? ? cos ? ?

tan 2 ? ? cot 2 ? 2 2 ? sec ? ? csc ? (6) 2 2 sin ? ? cos ?

3、 (1)已知 ? 是第二象限的角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

(2)化简

1 ? cos ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?

sin ? ? cos ? 4、 (1)已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? cos ? 4sin ? ? 2 cos ? 6 ? 证明 lgsec2 ? ? lg 2 ? 1 (2)已知 5cos ? ? 3sin ? 11
5、设 sin ? ,cos ? 是方程 2x2 ? ( 2 ? 1) x ? 5m ? 0 的两个根,

sin ? cos ? ? 求 m和 的值 1 ? cot ? 1 ? tan ?
6、已知关于 x 的一元二次方程 x ? ? tan ? ? cot ? ? x ?1 ? 0 的
2

一个实根为 2 ? 3 ,求 sin ? ? cos ? 的值

练习1、已知 4sec? +tan? =8,求 2、已知

sin ?

sin ? ? sin ? ? 1 且 cos ? ? cos ? ? 1 求 sin ? ? cos ?

5.3同角三角比的关系和 诱导公式

(2)诱导公式

复习
? 三角比在每个象限的符号 ? α在某一象限,α+2kπ,π-α, π+α, -α分别在哪

个象限?

一、诱导公式(三角比不变,符号看象限)
sin ?? ? ? ? ? sin ? cos?2k? ? ? ? ? cos? 第①组: 第②组: cos?? ? ? ? ? cos? tan?2k? ? ? ? ? tan? tan?? ? ? ? ? tan? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? sin ?2k? ? ? ? ? sin ?

第③组:cos?? ? ? ? ? ? cos? 第④组:cos?? ? ? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? ? tan? tan?? ? ? ? ? ? tan?
这系列诱导公式的主要作用:
把任意角的三角比转化为锐角三角比

一般途径: 负角—②?正角—①?[0,2π]的角—③④?锐角

二、诱导公式典型题型

①求值②化简③方程

例1:求下列三角比(不用计算器)

26 sin ? 3

? 13? ? tan? ? ? 4 ? ?

求值的一般方法:负角?正角?[0,2π]的角?锐角

二、诱导公式典型题型
例2:化简

①求值②化简③方程

cos(2? ? ? ) cot(? ? ? ) tan(?? ? ? ) sin(? ? ? ) cot(3? ? ? )

化简的题目:先化成同角,然后利用同角三角比的关系

二、诱导公式典型题型
例3:求角x
1 sin x ? , x ? [0, 2? ) 2

①求值②化简③方程

3 tan x ? , x ? [?? , ? ) 3

三角方程:在一个2π的范围内一般是两解,可以利用正弦,余弦线帮助理解

练一练P49 练习5.3(2)
1、利用诱导公式,求下列各三角比

3? ? (1) sin (2) cos ? ?330 ? 4
2、化简: ( 1)

? 5? ? ? cot 570 (3) tan ? ? ( 4 ) ? ? 6 ?
cos ? 360? ? ? ? cos ?180? ? ? ?

sin ?180 ? ? ?
?

sin ? ?? ?

?

cot ?180 ? ? ?
?

cot ?180? ? ? ?

?

( 2)

sin ?? ? ? ? tan ? 2? ? ? ? cos ? 2? ? ? ? tan ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? sin ?? ? ? ?

3、根据条件求角 x

1 2 (1)已知 cos x ? ? , x ??0, 2? ? (2)已知 sin x ? ,x 是第四象限的角 2 2

1、求下列各三角比的值(不得使用计算器) (1) tan ? ?

? ?? ? 25? ? sin 390 ( 2 ) ( 3 ) sin ? ?? ? 4? ? 2

? ? ? (4) cos ? ?690 ? ?

回家作业
(共6题)

2、利用诱导公式,求角

23? 87? 和? 的正弦值、余弦值、正切值 4 3

3、化简(保留化简过程) (1)

sin ?? ? ? ? cot ?? ? 2? ? 2 2 2 (2) cot ?? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? sin ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? tan ?? ? 2? ?

4、根据条件,求角 x: (1) tan x ? 3, x ? ?0, 2? ? (2) cos x ? ?

2 ,x 是第二象限的角 2
(2)若 cos A ? ?

5、在三角形 ? ABC 中(1)若 sin A ?

3 ,求角 A 2

2 ,求角 A 2

6、 (1)若 ? 为第一象限角,则 2? ? ? 是第__________象限角;? ?? 是第__________象限 角; ?? 是第__________象限角; ? ?? 是第__________象限角; (2)已知锐角 ? 终边上一点 P ? ?2cos3,sin3 ? ,则 ? 等于___________________;

5.3同角三角比的关系和 诱导公式

补充习题

同角三角比
1、已知 tan ? ? 2,sin ? ? a2 ,求 sin ? ? cos ?

2、已知 sin ? ? sin ? ?1 ,且 cos ? ? cos ? ? 1 ,求 sin ? ? cos ?

3、若 cos ? ? cos ? ? 1 ,则 sin ? ? sin ? =___________
2 2 4

诱导公式
4、 (1)已知 A,B,C 为三角形的三个内角,求证:

A? B 3? ? C ? ? tan (a) tan ; (b) cos(2 A ? B ? C ) ? ? cos A 4 4
(2) cos1 ? cos 2 ? cos3 ? ? ? cos180
o o o o

5、 (1)若 cos130 ? a,则 tan 50 ?
o o





1 ? a2 1 ? a2 a a (A) (B) (C) ? (D) ? a a 1 ? a2 1 ? a2 2? ? ? 5? ? ? ? 3? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? 3 ? ? 6 ? ? ? 4 ? (2) 13? ? ? ?? ? ? 5? ? ? sin ? ? ? ? cos ? ? ? tan ? ? ? ? ? ? ? 6 3 4 ? ? ? ? ? ?

6、sin ? ? cos ? ? 1
2 2

是一个非常重要的公式,由它可以推导出很多恒 等式,请你尽可能多的写出恒等式,并写出必 要的推导过程。

sec ? ? 1 sin ? ? 1 2 ? sec ? ? 化简 cot ? ? sin ? ? 1 sec ? ? 1
2

技巧1:公式变形的使用

技巧2:化切法
sin 2 ? ? cos 2 ? 7、已知 3sin ? ? 4cos ? ? 0 ,求 1 ? cos 2 ?

技巧3,化弦法+ (sinx+cosx),(sinx-cosx),(sinx*cosx)
8、已知关于 x 的一元二次方程 x2 ? ? tan ? ? cot ? ? x ?1 ? 0 的 一个实数根为 2 ? 3 ,求 sin ? ? cos ?

技巧4,…… 与以前学过的知识,技巧融合
9、若 cos ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 ? 0 ,对于 ? ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围
2

回家作业
1、已知 sin ? ?

4 ? 2m m?3 , cos ? ? , ? 为第四象限角,求 m 和 tan ? m?5 m?5

2、 (1)若 tan 2 ? ? 2tan 2 ? ?1 ,求证: sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1 (2)已知 sin ? ? 2sin ? , tan ? ? 3tan ? ,求 cos 2 ? 3、若 cos ? ? cos ? ? 1,则 sin ? ? sin ? ? sin ? =____________
2 2 6 8

4、 (1)在三角形 ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ,判断三角形形状,并说明理由? (2) sin 30 ? sin 60 ? sin 90 ? sin120 ? ? ? sin 330
o o o o o

5、若 cos ?

3 ? 5? ? ?? ? ,则 cos ? ? ? ? =___________ ?? ? ? ? 6 ? ?6 ? 3

1 ? sin ? ?? tan ? ? cot ? ??1 ?sin ? ? ? 6、化简 ? sec ? ? tan ? ??sec ? ? tan ? ?
7、若 1 ? sin
2

? ? 3sin ? cos ? ,求 tan ?

8、是否存在实数 k 和锐角 ? 的值,使得 sin ? ,cos ? 是方程

4 x 2 ? 4kx ? 2k ? 1 ? 0 的两个根,若存在,求出 k 与 ? 的值;若不存在请说明理由


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