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2.1.1 平面


2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 课标要求 1.正确理解平面的概念. 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系. 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用. 学法指导 1.通过桌面、黑板、墙面、书本等实物,感受平面的概念和点、线、平面之间的位置关系. 2.通过对实例的认识加深对公理的理解. 3.通过解题,理解公理

的作用. 实例:在生活中,我们常看到这样的现象: (1)在工程建筑中,质检员为检测墙面是否平整,常拿直尺放在墙面上,还不时的交叉检测. (2)自行车由两轮与车腿三点就可以稳定地停放在地面上. 想一想 1:在实例(1)中,质检员是如何判断墙面的平整的? (把直尺放在墙面上,如果直尺与墙面间没有空隙,则说明直尺所在直线在平面内,交叉检测可 知墙面是否平整) 想一想 2:在实例(2)中,你知道自行车的停放原理吗? (自行车通过两车轮一车腿三点触地,可确定一平面,因而能稳定地停放) 知识探究——自主梳理 思考辨析 1.平面 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的 平面是 的. (2)平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常 画成 ,且横边长等于其邻边长的 .如图(1). ②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用 画出来.如 图(2).

(3)平面的表示 图(1)的平面可表示为平面 ABCD,平面 AC,平面 BD 或平面α .注意:“平面” 二字不能省略.

2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达 文字语言表达 点 A 在直线 l 上 点 A 在直线 l 外 点 A 在平面α 内 点 A 在平面α 外 直线 l 在平面α 内 图形语言表达 符号语言表达 A∈ l A?l A∈α A?α l? α

直线 l 在平面α 外

l?α

平面α ,β 相交于 l

α ∩β =l

3.平面的基本性质
文字语言 公 理 1 公 理 2 过不在一条直线上的三点,有 且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个 平面内,那么这条直线在此平 面内 图形语言 符号语言 A∈l,B∈l,且 A∈α ,B∈α ? l? α A,B,C 三点不 共线? 存在唯 一的平面 α , 使 A,B,C∈α 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么它们有且只有一 条过该点的公共直线 P∈α ,P∈β ? α ∩β =l, 且 P∈l

公 理 3

思考 1:如何理解公理 2 中“有且只有一个”的含义? (这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,强调的是存在和唯一两个方面,因 此“有且只有一个”必须完整的使用.确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词) 思考 2:经过直线和直线外一点能确定一个平面吗?经过两条相交直线或两条平行直线呢? (由公理 1 和公理 2 知经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;由两直线平行、 相交的 定义及公理 2 可知经过两条相交直线,有且只有一个平面;经过两条平行直线,有且只有一个平 面) 题型探究——典例剖析 举一反三 题型一 文字语言、图形语言、符号语言的转化 【例 1】 完成下列各题: (1)将下列文字语言转化为符号语言. ①点 A 在平面α 内,但不在平面β 内. ②直线 a 经过平面α 外一点 M. ③直线 l 在平面α 内,又在平面β 内(即平面α 和平面β 相交于直线 l). (2)将下列符号语言转化为图形语言. ①a? α ,b∩α =A,A?a. ②α ∩β =c,a? α ,b? β ,a∥c,b∩c=P. 解: (1)①A∈α ,A?β .②M∈a,M?α .③α ∩β =l.

(2)①



题后反思 实现三种语言转换要注意 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互 之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. (2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”,直线与平面的位置关系只 能用“? ”或“?”. (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线. 跟踪训练 1-1:根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形: (1)A∈α ,B?α ; (2)P∈l,P?α ,Q∈l,Q∈α . 解: (1)点 A 在平面α 内,点 B 不在平面α 内.图形如图(1)所示. (2)直线 l 经过平面α 外一点 P 和平面α 内一点 Q. 图形如图(2)所示.

题型二 点线共面问题 【例 2】 (12 分)已知四条直线两两相交,且不共点,求证这四条直线在同一平面内. 名师导引:四条直线两两相交 ,且不共点,其中三条可以共点吗?(可以有三条共点 ,因此要对四 条直线按位置进行分类证明) 解:已知:a,b,c,d 四条直线两两相交,且不共点,求证:a,b,c,d 四线共面. 证明: (1)若 a,b,c 三线共点于 O,如图所示,∵O?d, ∴经过 d 与点 O 有且只有一个平面α . ∵A、B、C 分别是 d 与 a、b、c 的交点, ∴A、B、C 三点在平面α 内. 由公理 1 知 a、b、c 都在平面α 内, 故 a、b、c、d 共面. (2)若 a、b、c、d 无三线共点,如图所示, ∵a∩b=A, ∴经过 a、b 有且仅有一个平面α , ∴B、C∈α .由公理 1 知 c? α . 同理,d? α ,从而有 a、b、c、d 共面. 综上所述,四条直线两两相交,且不共点,这四条直线在同一平面内. 题后反思 证明点线共面常用的方法 (1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合. 跟踪训练 2-1:已知直线 a∥b∥c,直线 l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C,求证: a,b,c,l 共面. 证明:如图所示. ∵a∥b, ∴a,b 可确定一个平面α . 又∵l∩a=A,l∩b=B, ∴A∈a,B∈b,A∈α ,B∈α ,∴AB? α , 又 A∈l,B∈l,∴l? α .

又∵b∥c,∴b,c 可确定一个平面β . 同理 l? β . ∵平面α ,β 均经过直线 b,l,且 b 和 l 是两条相交直线, ∴l 与 b 确定的平面是唯一的, ∴a,b,c,l 四线共面. 题型三 点共线与线共点问题 【例 3】如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点.求证:CE、 D1F、DA 三线交于一点.

名师导引:可以先证明两条直线相交于一点,再证明该交点也在第三条直线上.
证明:连接 EF、D1C、A1B, ∵E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点, ∴EF 又∵A1B ∴EF 错误!未找到引用源。A1B. D1C, 错误!未找到引用源。D1C,

∴E、F、D1、C 四点共面, 可设 D1F∩CE=P. 又 D1F? 平面 A1D1DA,CE? 平面 ABCD, ∴点 P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点. 又∵平面 A1D1DA∩平面 ABCD=DA, ∴据公理 3 可得 P∈DA, 即 CE、D1F、DA 三线交于一点.

题后反思 (1)证明三线共点常用的方法: 先证明两条直线相交于一点 ,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线 , 于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明 a、 b 相交于一点 A,b 与 c 相交于 一点 B,再证明 A、B 是同一点,从而得到 a、b、c 三线共点. (2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法: ①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理 3,可推知这 些点都在交线上,即三点共线. ②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上. 跟踪训练 3-1:如图所示,在空间四边形各边 AD,AB,BC,CD 上分别取 E,F,G,H 四点,如果 EF,GH 交于一点 P,求证:点 P、B、D 共线.

证明:连接 BD. ∵EF,HG 相交于一点 P, 且 EF? 平面 ABD,GH? 平面 CBD,

∴P∈平面 ABD 且 P∈平面 CBD. 又平面 ABD∩平面 BCD=BD,∴P∈BD, ∴点 P、B、D 共线. 【作业】【例 2】 如图,空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 中点,F、G 分别是 BC、CD 上的点,且错
CG 误!未找到引用源。= CD =错误!未找到引用源。.

求证:三条直线 EF、GH、AC 交于一点.

证明:∵E、H 分别是 AB、AD 中点, ∴EH 错误!未找到引用源。BD, ∵错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴GF∥BD,GF=错误!未找到引用源。BD, ∴EH∥GF 且 EH≠GF, ∴四边形 EFGH 为梯形, ∴两腰 EF、GH 交于一点,记为 P. ∵EF? 平面 ABC, ∴P∈平面 ABC, 同理 P∈平面 ADC, ∴P 在平面 ADC 和平面 ABC 的交线 AC 上, ∴三条直线 EF、GH、AC 交于一点.

【例 3】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CC1 和 AA1 的中点,画出平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线,并说明理由. 解:在平面 AA1D1D 内,延长 D1F, ∵D1F 与 DA 不平行, ∴D1F 与 DA 必相交于一点, 设为 P,则 P∈FD1,P∈DA. 又∵D1F? 平面 BED1F, DA? 平面 ABCD, ∴P∈平面 BED1F,P∈平面 ABCD, ∴P 为平面 BED1F 与平面 ABCD 的公共点. 又 B 为平面 ABCD 与平面 BED1F 的公共点, ∴连接 PB(如图),PB 即为平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线. 课堂小结 1.三个公理的作用:公理 1 是判定直线在平面内的依据,公理 2 是确定平面的依据,公理 1、公 理 2 综合应用可证明点线共面问题.公理 3 是判断两平面相交的依据,可用于证明三点共线和 三线共点的问题. 2.证明点、线共面的常用方法:先由某些点、线确定一个平面(两条相交直线或两条平行直线 也可确定一个平面),再证明其余点、线在此平面内. 3.证明三点共线的常用方法:把两点所在的直线看作是某两个平面的交线,证明第三个点是两 个平面的公共点,从而在此交线上,即三点共线. 4.证明三线共点的常用方法:先确定两条直线的交点,再证明此交点在第三条直线上,即三线共

点.


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