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课标版数学中考第二轮专题复习-1新情境应用问题(含答案)


新情境应用问题
Ⅰ、综合问题精讲: 综合问题精讲: 以现实生活问题为背景的应用问题,是中考的热点,这类问题取材新颖,立意巧妙, 有利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查,让考生在变化的情境中解 题,既没有现成的模式可套用,也不可能靠知识的简单重复来实现,更多的是需要思考和 分析,新情境应用问题有以下特点:(1)提供的背景材料新,提出的问题新;(2)注重 考查阅读理解能力,许多中考试题中涉及的数学知识并不难,但是读懂和理解背景材料成 了一道“关”;(3)注重考查问题的转化能力.解应用题的难点是能否将实际问题转化 为数学问题,这也是应用能力的核心. Ⅱ、典型例题剖析 【例 1】(2005,宜宾)如图(8),在某海滨城市 O 附近海面有一股台风,据监测, 当前台风中心位于该城市的东偏南 70°方向 200 千米的海面 P 处,并以 20 千米/ 时的速 度向西偏北 25°的 PQ 的方向移动,台风侵袭范围是一个圆形区域,当前半径为 60 千米, 且圆的半径以 10 千米/ 时速度不断扩张. (1)当台风中心移动 4 小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米;又 台风中心移动 t 小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米. (2)当台风中心移动到与城市 O 距离最近时,这股台风是否侵袭这座海滨城市?请说 明理由(参考数据 2 ≈ 1.41 , 3 ≈ 1.73 ).

解:(1)100;(2) (60 + 10t ) ; ⑶作 OH ⊥ PQ 于点 H,可算得 OH = 100 2 ≈ 141(千米),设经过 t 小时时,台风中心 从 P 移动到 H,则 PH = 20t = 100 2 ,算得 t = 5 2 (小时),此时, 受台风侵袭地区的圆的半径为:60 + 10 × 5 2 ≈ 130.5(千米) <141 (千米) ∴城市 O 不会受到侵袭。 点拨: 利用三角函数 点拨 对于此类问题常常要构造直角三角形. 知识来解决,也可借助于方程. 【例 2】如图 2-1-5 所示,人民海关缉私巡逻艇在东海海 域执行巡逻任务时, 发现在其所处位置 O 点的正北方向 10 海里

外的 A 点有一涉嫌走私船只正以 24 海里/时的速度向正东方向航行,为迅速实施检 查,巡逻艇调整好航向,以 26 海里/时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的 前提下,问: ⑴需要几小时才能追上(点 B 为追上时的位置) ⑵确定巡逻艇的追赶方向(精确到 0.1°). 解:设需要 t 小时才能追上,则 A B=24 t,OB=26t. 2 2 2 (l)在 Rt△AOB 中,OB = OA + A B , 2 2 2 即(26t) =10 +(24 t) 解得 t=±l,t=-1 不合题意,舍去,t=l, 即需要 1 小时才能追上. AB 24t 12 = ≈0.9231 ,所以∠AOB≈6 7.4°, (2)在 Rt△AOB 中,因为 sin∠AOB= = 26t 13 OB 即巡逻艇的追赶方向为北偏东 67.4°. 点拨:几何型应用题是近几年中考热点,解此类问题的关键是准确读图. 点拨 【例 3】(2005,河南)(10 分)某公司为了扩大经营,决定购进 6 台机器用于生产某种 活塞。现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数 量如下表所示。经过预算,本次购买机器所耗资金不能超过 34 万元。

⑴按该公司要求可以有几种购买方案? ⑵若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个,那么为了节约资金应选择 哪种方案? 解:(1)设购买甲种机器 x 台,则购买乙种机器(6-x)台。 由题意,得 7 x + 5(6 ? x ) ≤ 34 , 解这个不等式,得 x ≤ 2 ,即 x 可以取 0、1、2 三个值, 所以,该公司按要求可以有以下三种购买方案: 方案一:不购买甲种机器,购买乙种机器 6 台; 方案二:购买甲种机器 1 台,购买乙种机器 5 台; 方案三:购买甲种机器 2 台,购买乙种机器 4 台; (2)按方案一购买机器,所耗资金为 30 万元,新购买机器日生产量为 360 个;按方 案二购买机器,所耗资金为 1×7+5×5=32 万元;,新购买机器日生产量为 1×100+ 5×60=400 个;按方案三购买机器,所耗资金为 2×7+4×5=34 万元;新购买机器日 生产量为 2×100+4×60=440 个。因此,选择方案二既能达到生产能力不低于 380 个 的要求,又比方案三节约 2 万元资金,故应选择方案二。 【例 4】(2005,临沂)某家庭装饰厨房需用 480 块某品牌的同一种规格的瓷砖,装

饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装,大包装每包 50 片,价格为 30 元;小包 装每包 30 片,价格为 20 元,若大、小包装均不拆开零售,那么怎样制定购买方案才能 使所付费用最少? 解:根据题意,可有三种购买方案; 方案一:只买大包装,则需买包数为: 50 = 5 ; 由于不拆包零卖.所以需买 10 包.所付费用为 30×10=300(元) 方案二:只买小包装.则需买包数为:
480 = 16 30

480

48

所以需买 1 6 包,所付费用为 1 6×20=320(元) 方案三:既买大包装.又买小包装,并设买大包装 x 包.小包装 y 包.所需费用为 W 元。 则?
?50 x + 30 y = 480 ?W = 30 x + 20

W =?

10 x + 320 3

∵ 0 < 50 x < 480 ,且 x 为正整数, ∴ x = 9 时, W最最 = 290(元). ∴购买 9 包大包装瓷砖和 l 包小包装瓷砖时,所付费用最少.为 290 元。 答:购买 9 包大包装瓷砖和 l 包小包装瓷砖时,所付费用最少为 290 元。 点拨:数学知识来源于生活,服务于生活,对于实际问题,要富有创新精神和初中 点拨 能力,借助于方程或不等式来求解。 【例 5】如图 2-2-4 所示,是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的 示意图,在有 O、A 两个观测点,分别测得目标点火炬 C 的仰角分别为α,β,OA=2 米, 3 2 tanα= , tanβ= ,位于点 O 正上方 2 米处的点 D 的发身装置可以向目标 C 同身一个 5 3 火球点燃火炬,该火球运行地轨迹为一抛物线,当火球运行到距地面最大高度 20 米时, 相应的水平距离为 12 米(图中 E 点)。 ⑴求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式; ⑵说明按⑴中轨迹运行的火球能否点燃目标 C? 解:⑴由题意可知:抛物线顶点坐标为(12,20),D 点的坐标为(0,2),所以抛物线解 析式为 y = a ( x ? h) 2 + k , 即 y = x( x ? 12)2 + 20
2 ∵点 D 在抛物线上,所以 2= a (?12) + 20,即a = ? 8

1

∴抛物线解析式为: y = ? 1 x 2 + 3 x + 2(0 ≤ x ≤ 12 + 4 10)
8

⑵过点 C 作 CF 丄 x 轴于 F 点,设 CF=b,AF=a,则

b 2 ? ?a = 18. ? tan β = a = 3 解得: ? ? ? ? β = 12. ? tan a = b = 3 , ? a+2 5 ?

则点 C 的坐标为(20,12),当 x=20 时,函数值 y=
1 ? × 202 + 3 × 20 + 2 = 12, 所以能点燃目标 C. 8

点拨:本题是三角函数和抛物线的综合应用题,解本题的关键是建立数学模型,即 点拨 将实际问题转化为数学问题来解决. 综合巩固练习: Ⅲ、综合巩固练习:(100 分 90 分钟) 一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 选择题( 1.某研究结果显示,由父母的身高预测子女身高的公式为:若父亲的身高为 a 米,母亲 a+b 0.923a+b 的身高为 b 米, 则儿子成年后的身高约为 ×1. 米, 08 女儿成年后身高约为 2 2 米,初一女学生赵楠的父亲身高为 1.75 米,母亲身高为 1.62 米,请同学们根据公 式预测一下赵楠成年后的身高约为( ) A.1.65 米 B.1.62 米 C.1.7 5 米 D.l.6 0 米 2.小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场地,现共有。米长的篱笆材料,他设计了两种 方案,一种是围成正方形的场地,另一种是围成圆形的场地,那么选用哪一种方案围 成场地的面积较大( ) A、围成正方形 B.围成圆形 C、两者一样大 D.不能确定 3、将一张矩形白纸对折,再沿着与折痕方向平行的方向反复对折,问经过 n(1≤n≤7) 次后,将纸展开共可得到的折痕条数为( ) D.2 n A、2 n -1 B.2 n C、 2 n-1 4、在昆明“世博会”期间,为方便游客参观,铁道部门临时加开了南宁至昆明的直达列 车.已知南宁至昆明的路程为 828km,普快列车与直快列车由昆明到南宁时,直快列车 平均速度是普快 的 1.5 倍,若直快列车比普快列车晚出发 2 h 而先到 4h,求两列车的 平均速度分别是多少?设普快列车的速度为 x Km/h,则直快列车的速度为 1.5xkm/h.依题意,所列方程正确的是( )

828 828 +2+4 = x 1.5 x 828 828 C. ?2?4 = ; x 1.5 x A.

828 828 +2?4 = ; x 1.5 x 828 828 D. ?2+4 = x 1.5 x B.

5、某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次 函数数关系,其图象如图 2-2-5 所示,由图给出息可知, 营销人员没有销售时的收入是( ) A.310 元 B.300 元 C.290 元 D.280 元 6.小美开了一家服装店,有一次去批发市场进货,发现一款

牛仔裤,预想能畅销,就用 4000 元购买了一个批发商的所有这种裤子,还想买二倍数 量的这种牛仔裤,又到另一个批发商处用 88 00 元购进,只是单价比前面购进的贵 5 元.回来后小美按每件 89 元销售,销路很好,最后剩下 10 件,按七五折销售,很快 售完,则小美这笔生意盈利( ) A.8335 元; B.8337.5 元; C.8340 元; D.8342.5 元 7.某产品的生产流水线每小时可生产 100 件产品,生产前无产品积压,生产 3 小时后安 排工人装箱,若每小时装产品 150 件.未装箱的产品数量 y 是时间 t 的函数,那么这 个函数的大致图象(如图 2-2-6 所示)只能是( )

8.60 名初三学生在毕业典礼晚会上,男女生各自相互握手道别已知男生比女生多 2 人, 班长是一名女生,她与所有男生握过手.那么在这次晚会上,全班学生共握手的次数 为( ) A.1770 B.902 C.899 D.886 9.随着通讯市场竞争日异激烈,某通讯公司的手机市话收费标拍每分钟降低了 a 元后, 再次下调了 25%,现在的收费标准是每分钟 b 元,则原收费标准每分钟为( ) A. ( b ? a ) ;B. ( b + a ) ; C. ( b + a ) ;

5 4

5 4

3 4

D. ( b +a )

4 3

10 某公司员工分别住在 A、B、C 三个住宅区,A 区 有 30 人,B 区有 15 人,C 区有 10 人,三个区 在同一条直线上,位置如 2-2-7 所示,该公司 的接送车打算在此间只设一个停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小, 那么停靠点的位置应设在( ) A.A 区 B.B 区 C.C 区 D.A、B 两区之间 填空题( 二、填空题(每题 3 分,共 15 分) 11 经测算,某林场现有生长着的木材存量为 a 立方米,已知木材生长的年增长率为 25%, 为满足生产、生活的需要,该林场每年需采伐加工 x 立方米木材. ⑴ 用含 a 与 x 的代数式表示一年后该林场的木材存量为_______立方米; ⑵ 用含 a 与 x 的代数式表示二年后该林场的木材存量为_______立方米; ⑶ 若条件中的 a=122 万,要保证三年后该林场的木材存量至少达到 1.5 a 立方米,则 该林场每年采伐加工的木材最多是__________立方米. 12 有一群猴子,在小树林中玩耍,总数的 8 的平方只猴子在欢乐地蹦跳,还有 12 只猴子 愉快地啼叫,则小树林中的猴子总数为_______只. 5 13 1 平方千米的土地,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 1.3 ×10 吨煤所产生的能 . 6 量.已知,我国西部的广大地区约有 6.4×10 平方千米的广阔面积,那么,我国西

部地区一年内从太阳得到的能量相当于燃烧__________吨煤所产生的能量. 14 某小区规划在一个长 40 米,宽 26 米的矩形场地上修建三条同样宽的两路,使其中两 条与短边平行,另一条与长边平行,其余部分种草.若使每块草坪的面积都是 144 平 方米,则两路宽_________米. 15 某居民小区按照分期付款形式福利分房,小明家购得一套现价为 120000 元的住房,购 房时首期(第一年)付款 30000 元,从第二年起,以后每年应付的房款为 5000 元与上 一年剩余欠款的利息之和,设剩余欠款的年利率为 0.4%,若第 x 年小明家交房款 y 元,则 y 与 x 的函数解析式为__________. 解答题(16~ 三、解答题(16~20 题各 9 分,21 题 10 分,共 55 分) 16 .某公司欲招聘甲、乙、丙三个工种的工人,这三个工种每人的月工资分别为 800 元、 1000 元、1500 元.已知甲、乙两工种合计需聘 30 人,乙、丙两种工种合计需聘 20 人, 且甲工种的人 数不少于乙工种人数的 2 倍,丙工种人数不少于 12 人.问甲、乙、两 三个工种各招聘多少人,可使每月所付的工资总额最少?

17. 如图 2-2-8 所示,大江的一侧有甲、乙两个工厂,它们都有垂直于江边的小路,长 度分别为 m 千米及 n 千米,设两条小路相距 l 千米,现在要在江边建立一个抽水站, 把水送到甲、乙两厂去,欲使供水管路最短.抽水站应建在哪里?

18 .某商场有一座自下向上运动着的电动扶梯,李明到商场买东西,他从电动扶梯底部走 到顶,共走了 75 级,而当他买完东西向下走时,他的行走速度(以单位时间走多少级 计算)是上行时速度的 3 倍.结果他走了 150 级到达底部,那么这个电动扶梯露在外面 能够看到的有多少级?

19.如图 2-2-9 所示:这是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图, 在地面 O、A 两个观测点测得空中固定目标的仰角分别为α和β,OA=1 千米,tanα 9 3 5 = ,tanβ= ,于 O 点正上方 km 的 D 点处的直升飞机向目标 C 发射防空导弹, 该导 28 8 3 弹运行达到距地面最大高度 3km 时,相应的水平距离为 4km (即图中 E 点). ⑴若导弹运行轨道为一抛物线,求该抛物线的解析式; ⑵说明问)中轨道运行的导弹能否击中目标 C 的理由.

21.某园林门票每张 10 元, 只供一次使用, 考虑到人们的不同需求, 也为了吸引更多游客, 该园林除保留原有的售票方法外,还推出一种“购个人年票”的售票方法(个人年票 从购买之日起,可供持票者使用一年八年票分 A、B、C 三类;A 类年票每张 120 元,持 票者进人园林时无需再购买门票出类年票每张 60 元,持票者进入园林时,需再购买门 票,每次 2 元几类年票每张 440 元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次 3 元. ⑴ 如果你只选择一种购买门票的方式, 并且你计划在一年中用 80 元花在该园林的门票上, 试通过计算,找出可使进人该园林的次数最多的购票方式; ⑵ 求一年中进人该园林至少超过多少次时,购买 A 类票比较合算.

21.阅读下列材料: 十六大提出全面建设小康社会,国际上常用恩格尔系数(记作 n) 来衡量一个国家和 地区人民生活水平的状况,它的计算公式为: n= 食品消费支出总额 × 100%
消费支出总额

各类家庭的恩格尔系数如下表所示:

根据以上材料,解答下列问题: 小明对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查,从 1998 年至 2003 年间,该乡每户 家庭消费支出总额每年平均增加 500 元;其中食品消费支出总额平均每年增加 200 元.1998 年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平,已知该年每户家庭消费支出总额平均 为 8000 元. ⑴ 1998 年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元? ⑵ 设从 1998 年起 m 年后该乡平均每户的恩格尔系数 nm(m 为正整数),请用 m 的代数式表 示该乡平均每户当年恩格尔系数 nm ,则并利用这个公式计算 2004 年该乡平均每户以 恩格尔系数(百分号前保留整数) ⑶ 按这样的发展,该乡农民能否实现十六大提出的 2020 年我国全面进人小康社会的目 标?


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