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东北三校2013届高三第四次联考理科数学解析


东北三校 2013 届高三第四次联考理科数学解析
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码 区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写

,字 体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.已知集合集合 A ? ? x | -1 ? x ? 3? ,B ? {x | log 2 x ? 2} ,则集合 A ? B ? A. ? x |1 ? x ? 3? B. ? x | ?1 ? x ? 3? C. ? x | 0 ? x ? 3? D. ? x | ?1 ? x ? 0? ( )

解析: B ? {x | log 2 x ? 2} ? {x | 0 ? x ? 4} ?
? A ? B ? {x | 0 ? x ? 3}

故选 C 2.若复数 z=(a2 +2a -3)+(a-l)i 为纯虚数(i 为虚数单位),则实数 a 的值为 A.-3 B.-3 或 1 C.3 或-1 D.1 解析:复数 z=(a2 +2a -3)+(a-l)i 为纯虚数 ? ? 解得: a ? ?3 故选 A 3.已知向量 a,b 满足| |a|=2,b |? 1, ( a ? b ) ? ( a ? b ) ,则 a 与 b 的夹角为 |
? B. 4 ? ? ? 5? 解析:? ( a ? b ) ? ( a ? b ) 2 ? ? ? 5? ? ( a ? b )?( a ? b ) ? 0 2 ?2 3? ? 5 ? 2 ? |a| ? a ?b ? | b | ? 0 2 2
? ? 又 ? |a|=2,b |? 1 |

?a 2 ? 2a ? 3 ? 0 ?a ? 1 ? 0

?

?

?

?

?

5?

?

?

? A. 3

2 ? C. 2

D.

? 6

? ? 1 ? cos ? a , b ?? 2 ? ? ? ?? a , b ?? 3

故A

4.下列关于由最小二乘法求出的回归直线方程 y =2-x 的说法中,不正确的是 A.变量 x 与 y 正相关 B.该回归直线必过样本点中心( x , y ) C.当 x=l 时,y 的预报值为 l D.当残差平方和 ? ( yi ? yi ) 2 越小时模型拟合的效果越好
i ?1
^

^

n

^

解析:由回归直线方程 y =2-x 知其图像是由左上角到右下的分布的所以是负相关则 A 是错误的 故选 A 5.函数 y ?
x.a x |x| ( a ? 1) 的图象的大致形状是

?a x , x ? 0 ? ( a ? 1) ? ? x 且a ? 1 解析:? y ? |x| ??a , x ? 0 ? x.a x

?选 B 6.下列说法中正确的是 A.若 p ? q 为真命题,则 p,q 均为真命题

B.命题“ ?x0 ? R , 2 x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , 2 x ? 0 ”
0

C.“a≥5”是“ ?x ? [1, 2], x 2 ? a ? 0 恒成立“的充要条件 D.在△ABC 中,“a>b”是“sinA>sinB”的必要不充分条件 解析:易知 B 是正确的 7.右图是甲、乙两名篮球运动员在以往几场篮球赛中得分的茎叶图,设 甲、乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 ,中位数分别为 m 甲,m 乙,则 A. x甲 < x乙 ,m 甲> m 乙 B. x甲 < x乙 ,m 甲< m 乙 C. x甲 ? x乙 ,m 甲> m 乙 D. x甲 > x乙 ,m 甲< m 乙

解析:由茎叶图知: x甲 ? x乙 , m甲 ? 28, m乙 =36 所以 x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 故选 B 8.如图给出的是计算 1 ? ? ? ?
3 5 1 1 1 2013

的值的一个程序框图,则 判断框内应填人的条件是 C.i≤1007 D.i> 1007

A.i≤1006

B.i> 1006

,i ? 2 2 ?1 ? 1 1 1 1 i ? 2, s ? ?s? ? ,i ? 3 2 ?1 ? 1 2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 1 1 1 1 1 i ? 3, s ? ? ?s? ? ? ,i ? 4 2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2 ? 3 ? 1 ?????????????? i ? 1007, s ? 1 2 ?1 ? 1 1 2 ? 2 ?1 2 ? 3 ?1 2 ? 1006 ? 1 1 1 1 s? ? ? ?? ? , i ? 1008 2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2 ? 3 ? 1 2 ? 1007 ? 1 ? 1 ? 1 ?? ? 1 ?

解析: i ? 1, s ? 0 ? s ?

1

故选 C 9.函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 所示,则 A. ? ? 1, ? ?
?
6

?
2

) 的部分图象如图

B. ? ? 1, ? ? ? C. ? ? 2, ? ?

?
6

?
6

D. ? ? 2, ? ? ?
1

?
6 5? ? ? - = 6 3 2

解析:由图知: T =
2

?T ? ? 2? ?? ? ?2 T

结合五点作图法得:
? ? =-

2? 3

+? =

?
2

?
6
x2 a2 y2 b2

故选 D 10.双曲线
? ? 1( a ? 0, b ? 0) 过其左焦点 F1 作 x 轴的垂线交双曲线于 A,B 两点,若双曲线右顶点

在以 AB 为直径 的圆内,则双曲线离心率的取值范围为 A.(2,+∞) 解析:由题知: |AB|= B.(1,2)
2b 2 a

C.(

3 2

,+∞)

D.(1,

3 2



若使双曲线右顶点在以 AB 为直径 的圆内则应有: ?AA2 B为钝角
?

?
4

? ?AA2 F1 ?

?
2
| AF1 | ?1

? tan ? AA2 F1 ?

| F1 A2 |

?

| AF1 | | F1 A2 |

?1

? b 2 ? a 2 ? ac ? e2 ? e ? 2 ? 0

? e ? 2或e ? ?1 又? e ? 1 ?e ? 2

故选 A 11.若 a>l,设函数 f(x)=ax+x -4 的零点为 m,函数 g(x)= logax+x-4 的零点为 n,则 小值为 A.1 B.2 C.4 解析: 如图所示点 C 是线段 AB 的中点,所以 m ? n ? 4
? 1 m n 4 1 n m 1 ? (2 ? ? ) ? (2 ? 2) =1 4 m n 4 ? 1 ? 1 ( m ? n )( 1 ? ) m n 1

1 m

?

1 n

的最

D.8

故选 A

12.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R,都有 f(2 +x)=-f(x),且当时 x∈ [0,1]时 f ( x ) ? ? x 2 ? 1 ,则方程 f ( x ) ? k , k ? ? 0,1? 在[-1,5]的所有实根之和为 A.0 B.2 C.4

yD.8

解析:? f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数
? f (- x )=f ( x ) , f ( x ) 关于 x ? 0 对称

1 -1x x2 2 3 x3 x4 5 10 1 x

又 对任意的 x ? R,都有 f(2 +x)=-f(x)
? f (2+x)=-f (- x)

? f ( x )关于(1, 0)对称

第12题图

再由对任意的 x ? R,都有 f(2 +x)=-f(x)知: f ( x +4)=f ( x)
? f ( x +4)=f (- x ) ? f ( x ) 关于 x ? 2 对称

?结合题设可得: f ( x )在[-1,5]的图像及y=k的图像如图所示

所以有 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 8

故选 D 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题 ~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? a11 ? 3a6 ? 4 ,则 S11 ? 解析:设等差数列 {an } 的公差为 d 则 a1 ? a1 ? 10d ? 3( a1 ? 5d ) ? 4 即: a1 ? ?5d ? 4
? S11 ? 11a1 ? 11(11 ? 1) 2 1 x d ? 11( ?5d ? 4) ? 55d ? 44



14.在( x 2 ? )8 的展开式中,x 的系数是

。(用数字作答)

解析:由展开式的第 r ? 1 项为: Tr ?1 ? C8r x 2(8? r ) ( ?1) r x ? r ? C8r ( ?1) r x16 ?3 r 所以 x 的系数为: C85 ( ?1) 5 ? ?56 15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 。

解析:有三视图可得几何体如图所示: V ? 4

第15题图
16.如图,在矩形 ABCD 中,AB =2.AD =3,AB 中点为 E,点 F,G 分别在 线段 AD,BC 上随机运动,则∠FEG 为锐角的概率为 。 解析:建立直角坐标系如图所示: 则 A(0, 0), E (1, 0), B(2, 0), C (2, 3), D(0, 3)

y D F A C G E B x

设 F (0, m); G (2, n),0 ? m ? 3;0 ? n ? 3 若使∠FEG 为锐角,只需使 EF ?EG ? 0且 EF与 EG不共线 ,即有: mn ? 1
??? ??? ? ? ??? ? ??? ?

?0 ? m ? 3 ?0 ? m ? 3 ? } 所对区域的面积 S ? ? 9 ,而事件 A ? {( m , n ) | ? 0 ? n ? 3 所对区 该试验的的样本空间 ? ? {( m , n ) | ? ?0 ? n ? 3 ? mn>1 ?

域的面积 S A ? ?1 (3 ?
3

3

1 m

) dm ? 8 ? 2 ln 3

? ?FEG为锐角的概率为P(A)=

8 ? 2 ln 3 9

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中角,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(cos 且 m⊥n. ( I)求角 C 的大小;
2 ?? ? ?? ? C 解析:(1)? m ? n,? m ?n ? 0,? ? cos ? sin( A ? B ) ? 0 ?????.2’ 2 C C C C ? ? cos ? sin C ? 0,? ? cos ? 2 sin cos ? 0 ,?????.4’ 2 2 2 2 C ? 且 0 ? C ? ? ?0 ? ? 2 2 C C 1 C ? ? ? cos ? 0 ? sin ? ,? ? ? C ? ?????.6’ 2 2 2 2 6 3 ??? ??? ? ? 1 3 (2)? CA?CB ? ab cos C ? ab ? ? ab ? 3 ,又? a ? b ? 4 ???..9’ 2 2
? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 ab cos C ? ( a ? b) 2 ? 2 ab ? ab ? 16 ? 9 ? 7 ? c ? 7 ??12’

C 2

,1),n=(一 l,sin(A+B)),

(Ⅱ)若 CA · CB ?

??? ?

??? ?

3

,且 a+b =4,求 c.

18.(本小题满分 12 分) 甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答 对则为本队得 1 分,答错不答都得 0 分,已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 , , ,乙队每人答
4 3 2 3 2 1

对的概率都是

2 3

.设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 ? 表示甲队总得分.

(I)求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E( ? ); (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率. 解析:(1) ? 的可能取值为 0,1,2,3
P (? ? 0) ? 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ; P (? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; ? ? ? 4 3 2 24 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 1 1 2 1 3 1 1 11 3 2 1 1 ; P (? ? 3) ? ? ? ? ??..4’ P (? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 4 3 2 4

?? 的 分 布 列

?
P

0
1 24

1
1 4

2
11 24

3
1 4



E (? ) ? 0 ?

1 24

? 1?

1 4

? 2?

11 24

? 3?

1 4

?

23 12

???.6’

(2)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高”为事件 B 则 P ( A) ?
1 11 1 1 ?2? 1 1 3? 2? 1? 2? ? C3 ? ? ? ? C32 ? ? ? ? ? C3 ? ? ? ( ) 2 ? ;??..8’ 4 3 3 ? 3 ? 24 ?3? 3 4 ?3?
1 1 3 3 2 1

1 1 ?2? P ( AB ) ? ? C ? ? ? ( ) 2 ? ????..10’ 4 3 18 ?3? 1

1 1 ? 18 ? ?????.12’ ? P ( B A) ? 1 P ( A) 6 3 P ( AB )

19.(本小题满分 12 分) 几何体 EFG —ABCD 的面 ABCD, ADGE, DCFG 均为矩形, AD=DC=l, AE= 2 。 (I)求证:EF⊥平面 GDB; (Ⅱ) 线段 DG 上是否存在点 M 使直线 BM 与平面 BEF 所成的角为 45°, 若存在求等¥
DM DG

的值;若不存在,说明理由.

19、(1)由已知有 GD ? CD, GD ? DA, AD, DC ? 面 ABCD , AD ? DC ? D,? GD ? 面 ABCD , 连结 AC ,在正方形 ABCD 中, AC ? BD , GD ? 面 ABCD , AC ? 面 ABCD ,? GD ? AC
? AE // GD, AE ? GD, CF // GD, CF ? GD,? AE // CF 且 AE ? CF ,

? AEFC 为平行四边行,? EF // AC ,???4’
? EF ? BD, EF ? GD, BD ? GD ? D ,? EF ? 面 BDG ??..6’

另解:空间向量略 (2)分别以 DA, DC , DG 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,令 M (0, 0, a )0 ? a ? 2 ,
??? ? ??? ? B (1,1, 0), E (1, 0, 2 ) F (0,1, 2 ) , BE ? (0, ?1, 2 ), BF ? ( ?1, 0, 2 )

令 n ? ( x , y , z ) 为平面 BEF 的一个法向量,? ?
???? ? ? ???? ? ???? ? ? BM ?n BM ? ( ?1, ?1, a ) , cos ? BM , n ?? ???? ? ? ? BM ? n
? 3a 2 ? 8 2a ? 6 ? 0 ,? a ? ?3 2 或
2 3

?

?? y ? 2 z ? 0 ? ?? x ? 2 z ? 0 ? a?2 2 5 ? 2 ? a2

,令 z ? 1,? n ? ( 2, 2,1) ,??8’
a?2 2 5 ? 2 ? a2 2 2

?

,?

?

,? 0 ? a ? 2 ? a ?

2 3

??.10’

?存在 M , 此时

DM DG

?

1 3

??..12’

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 E:y2= 4x,点 P(2,O).如图所示,直线 l1 .过点 P 且与 抛物线 E 交于 A(xl,y1)、B( x2,y2)两点,直线 l2 过点 P 且与抛物

线 E 交于 C(x3, y3)、D(x4,y4)两点.过点 P 作 x 轴的垂线,与线段 AC 和 BD 分别交于点 M、N. (I)求 y1y2 的值; (Ⅱ)求讧:|PM|=| PN|. 解析:(1)令直线 AB : x ? my ? 2, ?
y1 ? y3 x1 ? x3
? x ? my ? 2
2 ? y ? 4x

? y 2 ? 4 my ? 8 ? 0 ,? y1 y2 ? ?8 ??..6’
4 y1 ? y3 y12 4

(2)直线 AC : y ? y1 ?
4

( x ? x1 ) ,即 AC : y ? y1 ?
y12 4 y1 y3 ? 8 y1 ? y3

(x ?

)

当 x ? 2 时 y M ? y1 ?
y2 y4 ? 8 y2 ? y4

y1 ? y3

(2 ?

)?

,???.8’

同理 y N ?

, y3 y 4 ? ? 8
y2 y4 ? 8 y2 ? y4 y1 y 2 ( y3 ? y 4 ) ? y3 y 4 ( y1 ? y 2 ) ? 8 ? y1 ? y 2 ? +8 ? y3 ? y 4 ?

? yM ? y N ?

y1 y3 ? 8 y1 ? y3

?

?

? y1 ? y3 ? ? ? y2 ? y4 ?

=

-8( y3 ? y 4 )-8( y1 ? y 2 ) ? 8 ? y1 ? y 2 ? +8 ? y3 ? y 4 ?

? y1 ? y3 ? ? ? y2 ? y4 ?

=0

? PM = PN ????.12’

21.(本小题满分 12 分) 已知 f(x)=1nx-a(x-l),a∈R (I)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 x≥1 时, e
1 a( x? ) x

? x 石恒成立,求实数 a 的取值范围

解析:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) , f ?( x ) ?

1 x

?a.

??2′ ??3′
1 a

①当 a ? 0 时,则 f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增; ②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ?
1 a 1 a 1 a

;令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

, ??5′

∴ f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增;在 ( , ?? ) 上单调递减. (Ⅱ)由题意, x ? 1 时, a ( x ? ) ? ln x 恒成立.
x 1

设 g ( x ) ? a ( x ? ) ? ln x ( x ? 1) ,则 g ( x ) ? 0 对 x ? 1 时恒成立.
x

1

则 g ?( x ) ? a (1 ?

1 x

)? 2

1 x

?

ax 2 ? x ? a x2

??6′

①当 a ? 0 时, g ?( x ) ? 0 ,即 g ( x) 在 [1, ?? ) 上单调递减, ∴当 x ? 1 时, g ( x ) ? g (1) ? 0 与 g ( x ) ? 0 恒成立矛盾. ②当 a ? 0 时,对于方程 ax 2 ? x ? a ? 0 (*), ??8′

(ⅰ) ? ? 1 ? 4a 2 ? 0 ,即 a ? ∴ g ( x ) ? g (1) ? 0 符合题意. (ⅱ) ? ? 0 ,即 0 ? a ?
1 2

1 2

时, g ?( x ) ? 0 ,即 g ( x) 在 [1, ?? ) 上单调递增, ??10′

时,方程(*)有两个不等实根 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 ,则 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,

当 x ? (1, x2 ) 时, g ?( x ) ? 0 ,即 g ( x) 递减,∴ g ( x ) ? g (1) ? 0 与 g ( x ) ? 0 恒成立矛盾. 综上,实数 a 的取值范围为 [ , ?? ) .
2 1

??12′

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,C、E 为⊙O 上的点,CA 平分∠BAE,CF⊥AB, F 是垂足,CD⊥AE,交 AE 延长线于 D. (I)求证:DC 是⊙O 的切线; (Ⅱ)求证:AF.FB=DE.DA. 解析:(1)连结 OC , ?DAC ? ?FAC , ?FAC ? ?ACO ??DAC ? ?ACO ,? AD // OC
? ?ADC ? 90? ,??OCD ? 90? ? DC 为圆 O 的切线????.5’

(2) ?ADC 与 ?AFC 全等,? DC ? CF , CF 2 ? AF ? FB , DC 2 ? DE ? DA ? AF ? FB ? DE ? DA ????.10’ 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? 3 t ?x ? 5 ? ? 2 (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 已知直线 l 的参数方程为 ? 1 ?y ? ? 3 ? t ? ? 2

? 建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos(? ? ) .
3

(I)判断直线 l 与圆 C 的位置关系; (Ⅱ)若点 P(x,y)在圆 C 上,求 3 x +y 的取值范围. 解析: (1)直线 l : x ? 3 y ? 2 ? 0 , C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 , 圆 圆心 C 到直线的距离 d ?
?相交????5’
? x ? 1 ? 2 cos ? ? ? y ? 3 ? 2 sin ? ?

1? 3 ? 2 2

?1? 2 ? r ,

(2)令 ?

(? 为参数)

? 3 x ? y ? 3(1 ? 2 cos ? ) ? 3 ? 2 sin ? ? 2 sin ? ? 2 3 cos ? ? 2 3

? 4 sin( x ?

?
3

) ? 2 3 ? ?1 ? sin( x ?

?
3

) ? 1 ,? 3x ? y 的取值范围是 ? 2 3 ? 4, 2 3 ? 4 ? ???.10’ ? ?

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? 1og 3 (| x ? 1| ? | x ? 4 | ? a ), a ? R 。

( I)当 a=-3 时,求 f ( x ) ? 2 的解集; (Ⅱ)当 f(x)定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围 解析:(1) a ? ?3 时, x ? 1 ? x ? 4 ? 3 ? 9,? x ? 1 ? x ? 4 ? 6 ①当 x ? 4 时 2 x ? 5 ? 6,? x ?
11 2 1 2
11 1? 或 x ? ? ? ????.5’ 2 2?

②当 1 ? x ? 4 时 3 ? 6 ,不成立 ③当 x ? 1 时 5 ? 2 x ? 6,? x ? ?

综上,不等式的解集为 ? x x ?

x ( 2 ) 即 x ? 1 ? x ? 4 ? a 恒 成 立 , x ? 1 ? x ?4 ? ( x ?1 ) ? ( ? 4 ) ? 3当 且 仅 当 1 ? x ? 4 时 取 等 , ,

? a ? 3 ????..10’


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