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2008年高中数学新教材变式题4:《三角》(命题人:广州市第87中学 赖青松)


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四、三角(命题人:广州市第 87 中学 赖青松)
1. (北师大版第 59 页 A 组第 2 题)正弦定理与余弦定理 在 ? ABC 中,若 A.
150
?

? a ? b ? c ? ? c ? b ? a ? ? 3bc

,则 A ? ? ? .
B. 120
?

C.

60

?

D.

30

?

? 变式 1:在 ? ABC 中,若 a ? 13 , c ? 4 , A ? 60 ,则 b ? __________.

答案:1 或 3 变式 2:在 ? ABC 中,若 b ?
3 2? 2 6?2

2 , A ? 30 , C ? 105 ,则此三角形的周长为__________.
? ?

答案:

变式 3: 已知 a、 c 是△ABC 中∠A、 b、 ∠B、 ∠C 的对边, 是△ABC 的面积. a=4, S 若 b=5, S=5 3 , 求 c 的长度. 解:∵S=

1 2

absinC,∴sinC=

3 2

,于是∠C=60°或∠C=120°

又∵c2=a2+b2-2abcosC, 当∠C=60°时,c2=a2+b2-ab,c=

21

当∠C=120°时,c2=a2+b2+ab,c= 61 ∴c 的长度为

21 或 61

2. (北师大版第 63 页 A 组第 6 题)三角形中的几何计算 AB BC ? 2 , B 的平分线交过点 A 且与 BC 平行的线于点 D . ? 在 ? ABC 中, ? AC ? 3 , 求 ? ABD 的面积. 变式 1:已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? (I)求边 AB 的长;
1 (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 6

2 sin C .

解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ?
BC ? AC ? 2 AB ,

2 ?1,

两式相减,得 AB ? 1 .

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(II)由 △ ABC 的面积

1 2

BC ?AC ?sin C ?
2 2

1 6
2

sin C ,得 BC ?AC ?

1 3



由余弦定理,得 cos C ?

AC ? BC ? AB 2 AC ?BC
2

?

( AC ? BC ) ? 2 AC ?BC ? AB 2 AC ?BC

2

?

1 2



所以 C ? 60 .
?

变式 2:△ABC 中, A ? A. 4 3 sin( B ? C. 6 sin( B ?

?
3

, BC ? 3, 则△ABC 的周长为(

) .

?
3

)?3

B. 4 3 sin( B ? D. 6 sin( B ?
AC sin B ? 3 3 2

?
6

)?3

?
3

)?3

?
6

)?3

解:在 ? ABC 中,由正弦定理得:

, 化简得:AC= 2 3 sin B ,

AB sin[? ? ( B ?

?
3

? )]

3 3 2

,化简得:AB= 2 3 sin(

2? 3

? B) ,

所以三角形△ABC 的周长为:3+AC+AB=3+ 2 3 sin B + 2 3 sin( =3+ 3 3 sin B ? 3 cos B ? 6 sin( B ? 故选 D 变 式 3 : 在 ? ABC中 , ? B ? 45 ?, AC ? 10 , cos C ?
2 5 5

2? 3

? B)

?
6

)?3

, 求 ( 1 ) BC ? ? ( 2 ) 若 点

D 是 AB的 中 点 , 求 中 线 CD的 长 度 。

解: (1)由 cos C ?
?

2 5 5
?

得: sin C ?
2 2

5 5 3 10 10

sin A ? sin(180 ? 45 ? C ) ?

(cos C ? sin C ) ?



由正弦定理知:

BC ?

AC sin B

? sin A ?

10 3 10 ? ?3 2 , 10 2 2

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(2)

AB ?

AC sin B

? sin C ?

10 2 2

?

5 5

?2

, BD ?

1 2

AB ? 1

由余弦定理知:
CD ? ? BD ? BC ? 2 BD ? BC cos B
2 2

1 ? 18 ? 2 ? 1 ? 3 2 ?

2 2

? 13

3. (北师大版第 69 页练习 2 第 2 题)解三角形的实际应用 某观察站 B 在城 A 的南偏西 20 的方向,由 A 出发的一条公路走向是南偏东 40 ,在 B 处测得公路上距 B31km 的 C 处有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20km 之后到达 D 处,此 时 B,D 间的距离为 21km。这个人要走多少路才能到达 A 城? 变式 1:如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向 相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船 立即前往救援, 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 , 相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少 度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1 )? 解析:连接 BC,由余弦定理得: BC =20 +10 -2×20×10COS120°=700. 即 BC=10 7 ∵
sin ? ACB 20 ? sin 120 ? 10 7
3 7
2 2 2

?

?



?

?

A 10 ?C

20

B ?



∴sin∠ACB=



∵∠ACB<90°,∴ ? ACB ? 41 .
?

∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援. 变式 2: 如图, 测量河对岸的塔高 AB 时, 可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D . 现 测得 ? BCD ? ?, ? BDC ? ?, CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

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解:在 △ BCD 中, ? CBD ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得: 所以 BC ?
BC sin ? BDC ? CD sin ? CBD
s .sin ? sin(? ? ? )



C D sin ? BDC sin ? C BD

?



在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan ? AC B ?

s .tan ? sin ? sin(? ? ? )



变式 3:如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲 船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B 2 处,此时两船相距 北
10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
B2 B1
120
?

?

?

A2 A1

105

?

乙 解法一:如图,连结 A1 B 2 ,由已知 A2 B 2 ? 10 2 ,
A1 A2 ? 30 2 ? 20 60




? 10 2 ,

120
B2
105

?

A2
?

? A1 A2 ? A2 B1 ,

A1

又 ∠ A1 A2 B2 ? 180 ? 120 ? 60 ,
? ? ?

B1

?△ A1 A2 B 2 是等边三角形,





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? A1 B 2 ? A1 A2 ? 10 2 ,

由已知, A1 B1 ? 20 ,
∠ B1 A1 B 2 ? 105 ? 60 ? 45 ,
? ? ?

在 △ A1 B 2 B1 中,由余弦定理,得:
B1 B 2 ? A1 B1 ? A1 B 2 ? 2 A1 B 2 ?A1 B 2 ?cos 45
2 2 2 ?

? 20 ? (10 2 ) ? 2 ? 20 ? 10 2 ?
2 2

2 2

? 200 .

? B1 B 2 ? 10 2 .
10 2 20 ? 60 ? 30 2 (海里/小时) .

因此,乙船的速度的大小为

答:乙船每小时航行 30 2 海里. 解法二: 如图, 连结 A2 B1 , 由已知 A1 B1 ? 20 ,A1 A2 ? 30 2 ?
cos105 ? cos(45 ? 60 )
? ? ?

20 60

? 10 2 , B1 A1 A2 ? 105 , ∠
?

? cos 45 cos 60 ? sin 45 sin 60
? ? ?

?

?

2 (1 ? 4
?

3)

北 ,
? ?

120
B2
? ?

?

A2 A1

sin 105 ? sin(45 ? 60 )
? sin 45 cos 60 ? cos 45 sin 60
? ?

105

?

B1


? 2 (1 ? 4 3)





在 △ A2 A1 B1 中,由余弦定理,
A2 B1 ? A1 B1 ? A1 A2 ? 2 A1 B1 ?A1 A2 ?cos105
2 2 2 ?

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? (10 2 ) ? 20 ? 2 ? 10 2 ? 20 ?
2 2

2 (1 ? 4

3)

? 100(4 ? 2 3 ) .

? A2 B1 ? 10(1 ?

3) .

由正弦定理,得:
sin ∠ A1 A2 B1 ? A1 B1 A2 B1
?

?sin ∠ B1 A1 A2 ?

20 10(1 ?
? ?

? 3)
?

2 (1 ? 4

3)

?

2 2



? ∠ A1 A2 B1 ? 45 ,即∠ B1 A2 B1 ? 60 ? 45 ? 15 ,
cos15 ? sin 105 ?
? ?

2 (1 ? 4

3)



在 △ B1 A1 B 2 中,由已知 A1 B 2 ? 10 2 ,由余弦定理,得:
B1 B 2 ? A2 B1 ? A2 B 2 ? 2 A2 B1 ?A2 B 2 ?cos15
2 2 2 ?

? 10 (1 ?
2

3 ) ? (10 2 ) ? 2 ? 10(1 ?
2 2

3 ) ? 10 2 ?

2 (1 ? 4

3)

? 200 .

? B1 B 2 ? 10 2 ,
10 2 20 ? 60 ? 30 2 海里/小时.

乙船的速度的大小为

答:乙船每小时航行 30 2 海里. 4. (北师大版第 60 页 A 组第 4 题)三角函数图像变换 ? 1 将函数 y ? 2 cos( x ? ) 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? cos x 的图像? 3 2 ? 变式 1:将函数 y ? cos x 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? 2 cos(2 x ? ) 的图像? 4 解: (1)先将函数 y ? cos x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 2 倍(横坐标不变) ,即可得 到函数 y ? 2 cos x 的图象; (2)再将函数 y ? 2 cos x 上各点的横坐标缩小为原来的
1 2

(纵坐标不变) ,得到函数

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y ? 2 cos 2 x 的图象;

(3)再将函数 y ? 2 cos 2 x 的图象向右平移 变式 2:将函数 y ? 2 cos(
1 2 x?

π 8

个单位,得到函数 y ? 2 cos(2 x ?

?
4

) 的图象.

?
6

) 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? cos x 的图像?

解: (1)先将函数 y ? 2 cos( 即可得到函数 y ? cos(
1 x?

1 2

x?

?
6

) 图象上各点的纵坐标缩小为原来的

1 2

(横坐标不变) ,

) 的图象; 2 6 1 ? (2)再将函数 y ? cos( x ? ) 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到函 2 6

?

数 y ? cos( x ?

?
6

) 的图象;

(3)再将函数 y ? cos( x ? 变式 3:将函数 y ? 解: y ?
1 3 1 3 sin(2 x ?

?
6

) 的图象向右平移

π 6

个单位,得到函数 y ? cos x 的图象.

?
3

) 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? sin x 的图像?

sin(2 x ?

?
3

)
1 3
1 3

? ? ? ? ? ? ? ? ??? y ?
纵坐标不变

横坐标扩大为原来的

2倍

sin x ? (

π 3



? ? ? ? ? ? 3 ? ?? y ? ?
纵坐标不变

图象向右平移

π

个单位

sin x

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? sin x ?
横坐标不变

纵坐标扩大到原来的

3倍

另解: (1)先将函数 y ? (2)再将函数 y ?
y? 1 3 1 3 1 3 sin(2 x ?

?
3

) 的图象向右平移

π 6

个单位,得到函数 y ?

1 3

sin 2 x 的图象;

sin 2 x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到函数

sin x 的图象; 1 3 sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍(横坐标不变) ,即可得到

(3)再将函数 y ?

函数 y ? sin x 的图象.

5. (北师大版第 60 页 B 组第 1 题)三角函数图像

? 函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 2 ? ) 一个周期的图像如图所示, 试确定 A, , ?
的值.

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π? ?π ?? 变式 1:已知简谐运动 f ( x ) ? 2 sin ? x ? ? ? ? ? ? ? 的图象经过点 (0, ,则该简谐运动的最 1) 2? ?3 ??

小正周期 T 和初相 ? 分别为( A. T ? 6 , ? ?
π 6
π 6

) B. T ? 6 , ? ?
π 3
π 3

C. T ? 6 π , ? ? 答案选 A

D. T ? 6 π , ? ?

π? ? ? π ? 变式 2:函数 y ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ? ? , π ? 的简图是( 3? ? ? 2 ?



答案选 A
0 变式 3:如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,≤ ? ≤ π 2 )
y

的图象与 y 轴交于点 (0, 3 ) ,且在该点处切线的斜率为 ? 2 . 求 ? 和 ? 的值. 解:将 x ? 0 , y ?
cos ? ? 3 2
O

3

x

3 代入函数 y ? 2 cos(? x ? ? ) 得:


? 2

因为 0 ≤ ? ≤

,所以 ? ?

? 6


? ?2 ,? ?
? 6

又因为 y ? ? ? 2? sin(? x ? ? ) , y ?

x?0

,所以 ? ? 2 ,

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?? ? 因此 y ? 2 cos ? 2 x ? ? . 6? ?

6. (北师大版第 60 页 A 组第 6 题)三角函数性质 求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时 x 的值的集合. 3 4? ); (1) y ? sin(2? x ? (2) y ? ? 6 sin(2.5 x ? 2) ? 2 2 3 ? ? ?? 变式 1:已知函数 f ( x ) ? 2 sin ? x (? ? 0) 在区间 ? ? , ? 上的最小值是 ? 2 ,则 ? 的最小值等 ? 3 4? 于 ( ) 2 3 (A) (B) (C)2 (D)3 3 2 答案选 B 变式 2:函数 y=2sinx 的单调增区间是( ) A. [2kπ -

?
2

,2kπ +

?
2

] (k∈Z)

B. [2kπ +

?
2

,2kπ +

3? 2

] (k∈Z)

C. [2kπ -π ,2kπ ] (k∈Z) D. [2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z) 答案选 A.因为函数 y=2x 为增函数,因此求函数 y=2sinx 的单调增区间即求函数 y=sinx 的单调 增区间. 变式 3:关于 x 的函数 f(x)=sin(x+ ? )有以下命题: ①对任意的 ? ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在 ? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数; ③存在 ? ,使 f(x)是奇函数; ④对任意的 ? ,f(x)都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当 ? =_____时,该命题的结论不成立。 答案:①,kπ (k∈Z) ;或者①,

?
2

+kπ (k∈Z) ;或者④,

?
2

+kπ (k∈Z)

解析:当 ? =2kπ ,k∈Z 时,f(x)=sinx 是奇函数.当 ? =2(k+1)π ,k∈Z 时 f(x)=- sinx 仍是奇函数.当 ? =2kπ +

?
2

,k∈Z 时,f(x)=cosx,或当 ? =2kπ -

?
2

,k∈Z 时,f

(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论 ? 为何值都不能使 f(x)

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恒等于零.所以 f(x)不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题. 7. (北师大版第 66 页 B 组第 2 题)同角三角函数的基本关系 已知 sin x ? cos x ?
4

2 2
4

,求 sin x ? cos x .
4 4

变式 1:已知 sin x ? cos x ? 解:∵ sin x ? cos x ?
4 4

23 32 23

,求 sin x ? cos x 的值. ,
2 2

32 23 32

∴ 即

(sin x ? cos x ) ? 2 sin x ?cos x ?
2 2 2

s i nx ? c o s? ? x

3 8 3 8 1 2
7 2

∴ 当 sin x ?cos x ?

时, sin x ? cos x ? ? (sin x ? cos x ) ? ?
2



当 sin x ?cos x ? ?

3 8

时, sin x ? cos x ? ? (sin x ? cos x ) ? ?
2



变式 2:已知 cos ? ?tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 答案选 C. 变式 3: ? 是第四象限角, tan ? ? ? A.
1 5 5

) .

B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

B. ?

1 5

C.

12 5

,则 sin ? ? ( D. ?
5 13

) .

13

答案选 D. 8. (北师大版第 132 页 A 组第 4 题)两角和与差及二倍角的三角函数 3 ? ? ? 已知 cos ? ? , ? ? (0, ) ,求 sin(? ? ) , tan(? ? ) 的值. 5 2 6 4 4 变式 1:在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? . 5 (Ⅰ)求 sin B 的值;
?? ? (Ⅱ)求 sin ? 2 B ? ? 的值. 6? ?

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2

3 ? 4? (Ⅰ)解:在 △ ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? ? , 5 ? 5?
2

. sin A sin B AC 2 3 2 sin A ? ? ? . 所以 sin B ? BC 3 5 5 4 (Ⅱ)解:因为 cos A ? ? ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角, 5
?2? 于是 cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? ?5?
2 2

由正弦定理,

BC

?

AC

21 5



cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? 2 ? (
2

21 5 2 5 ?

) ?1 ?
2

17 25



sin 2 B ? 2 sin B cos B ? 2 ?

21 5

?

4 21 15





?? ? ? ? sin ? 2 B ? ? ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin 6? 6 6 ? 4 21 25 ? 3 2 ? 17 25 ? 1 2

?

?

12 7 ? 17 50


1 4

变式 2:在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小;

, tan B ?

3 5



(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. 解: (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B ) ,
1 ? tan C ? ? tan( A ? B ) ? ? 4 1? ? 1 4 3 5 ? 3 5 ? ?1 .

又? 0 ? C ? π ,? C ? (Ⅱ)? C ?
3 4 ?,

3 4

π.

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? AB 边最大,即 AB ? 17 .
? ?? 又? tan A ? tan B, A, B ? ? 0, ? , ? ??
? 角 A 最小, BC 边为最小边.

sin A 1 ? ? , ? tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ? sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?

得 sin A ?

17 17

.由

AB sin C

?

sin A ? 得: BC ? AB ? sin A sin C

BC

2.

所以最小边 BC ? 变式 3:已知 cos ? ?
1 7

2.
, cos( ? ? ? ) ? 13 14

,且 0 ? ? ? ? ?

?
2

,

(Ⅰ)求 tan 2 ? 的值; (Ⅱ)求 ? .
1 7

解: (Ⅰ)由 cos ? ?
sin ? cos ?

,0 ? ? ?

?

,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 4 3 ? ? 2 7 ?7?
2 tan ? 1 ? tan ?
2

2

∴ tan ? ?

?

4 3 7

?

7 1

? 4 3 ,于是 tan 2 ? ?

?

2 ?4 3 1? 4 3

?

?

2

??

8 3 47

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ?
13 14

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
13 ? 3 3 ? ? 14 ? 14 ?
2

又∵ cos ? ? ? ? ? ?

,∴ sin ? ? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?

由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得:
cos ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? cos ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ?

?

1 7

?

13 14

?

4 3 7

?

3 3 14

?

1 2

所以 ? ?

?
3



9. (北师大版第 144 页 A 组第 1 题)三角函数的简单应用 电流 I 随时间 t 变化的关系式 I ? A sin ? t , t ? ? 0, ?? ? ,设 ? ? 10?
rad / s , A ? 5 .

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(1) 求电流 I 变化的周期; 1 1 3 1 , , , (2) 当 t ? 0, (单位 s )时,求电流 I. 200 100 200 50 变式 1:已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I ? A sin(? t ? ? ) . (1)右图是 I ? A sin(? t ? ? ) (ω >0, | ? |?
-

I
300

1 900

o

1 180

t

?
2



-300

在一个周期内的图象,根据图中数据求 I ? A sin(? t ? ? ) 的解析式; 秒的时间内, 电流 I ? A sin(? t ? ? ) 都能取得最大值和最小值, 150 那么ω 的最小正整数值是多少? (2) 如果 t 在任意一段 解:(1)由图可知 A=300. 1 1 设 t1=- ,t2= , 900 180 1 1 1 则周期 T=2(t2-t1)=2( + )= . 180 900 75 2? ∴ ω= =150π . T 1 1 又当 t= 时,I=0,即 sin(150π · + ? )=0, 180 180 ? ? 而 | ? |? , ∴ ? = . 2 6 ? 故所求的解析式为 I ? 300 sin(150? t ? ) . 6 1 2? 1 (2)依题意,周期 T≤ ,即 ≤ , >0) (ω 150 ? 150 ∴ ω ≥300π >942,又ω ∈N , 故最小正整数ω =943. 变式 2:如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似 满足函数 y=Asin(ω x+ ? )+b. (Ⅰ)求这段时间的最大温差; (Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式. 解: (1)由题中图所示,这段时间的最大温差是: 30-10=20(℃). (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ω x+ ? )+b 的半个周期的图象, ∴
*

1

1 2

·

2?

?

=14-6,解得ω =

?
8

.

由图示,A=

1 2

(30-10)=10,b=

1 2

(30+10)=20.

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这时 y=10sin(

?
8

x+ ? )+20.

将 x=6,y=10 代入上式,可取 ? =

3? 4

.

综上,所求的解析式为 y=10sin(

?
8

x+

3? 4

)+20,x∈[6,14]

变式 3:如图,单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动, 离开平衡位置 O 的距离 s 厘米和时间 t 秒的函数关系 ? 为 s ? 6 sin(2? t ? ) .
6

(1)单摆摆动 5 秒时,离开平衡位置多少厘米? (2) 单摆摆动时, 从最右边到最左边的距离为多少厘米? (3)单摆来回摆动 10 次所需的时间为多少秒? 10. (北师大版第 150 页 B 组第 6 题)三角恒等变换
(1 ? sin ? ? cos ? )(sin

?
2

? cos

?

化简:

2 ? 2 cos ?

) 2 .

变式 1:函数 y=

1 2 ? sin x ? cos x

的最大值是(

) .

A.

2 2

-1

B.

2 2

+1

C.1-

2 2

D.-1-

2 2

答案选 B 变式 2:已知
cos 2 ? π? ? sin ? ? ? ? 4? ? cos 2? π? ? sin ? ? ? ? 4? ?
2

??

2 2

,求 cos ? ? sin ? 的值.

解:∵

??

2 2





cos ? ? sin ?
2

sin ? ?cos

?
4

? cos ? ?sin
1 2

?
4

??

2 2

即 cos ? ? sin ? ?



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? ?π π? 2 ? π 变式 3:已知函数 f ( x ) ? 2 sin ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .求 f ( x ) 的最大值和最小值. ?4 ? ?4 2?

? ?π ?? 解: ∵ f ( x ) ? ?1 ? cos ? ? 2 x ? ? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ?? ?
π? ? ? 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? . 3? ?

π π 2π π? ?π π? ? 又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤ 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ? ?4 2?

∴ f ( x ) max ? 3, f ( x ) min ? 2 .

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