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山西省曲沃中学校2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷


曲沃中学高一年级第二学期期末考试数学试卷
(满分:150 分 时间:120 分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1、 P (3, y ) 为 ? 终边上一点, cos ? ? A. ?

3 ,则 tan ? ? ( 5
D. ?



3 4

r />4 B. 3

C. ?

3 4

4 3

2、已知 a ? 3 2 , b ? 6 ,且 a ? b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是 ( A. 30? 3、函数 y ? cos( A. [2k? ? B. 90? C. 45? D. 135? )

?

?

?

?

?

?

?



?
4

? x) 的单调递增区间是(
B. [2k? ?

3? ? ,2k? ? ], k ? Z 4 4

5? ? ,2k? ? ], k ? ? 4 4

o ? 3 b? 5? ? 3? ?ABC a C. [2k D. [2k?B ?? ?4 , 2k? ? 4 ],2 k ?A Z ? 60 ? ,2k? ? ], k ? Z 4 o 4 4 4 o o o 45 135 45 135

4、在 A.

中,





,则

等于(



B.

C.



D.以上答案都不对 )

5、已知 ? ? ? A. -7

3 ?? ?? ? ? , ? ? , sin ? ? ,则 tan ? ? ? ? 等于( 5 4? ?2 ? ?
B. -

1 7

C. 7
x?

D.

1 7

?
x ? y ? sin( ? ) 2 6 D.

?
3 对称的是(

6、在下列函数中,图象关于直线
y ? sin(2 x ? ) 3 A.

?

y ? sin(2 x ? ) 6 B.

?

y ? sin(2 x ? ) 6 C.

7、已知 ?ABC中,a , b, c 分别为 A, B, C 的对边, a cos A ? b cos B ,则?ABC 为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

8、若函数 y=f(x)的图象和 y=sin(x+ ( )

? ? )的图象关于点 M( ,0)对称,则 f(x)的表达式是 4 4 ? ? ) D.-cos(x+ ) 4 4


A.cos(x-

? ) 4

B.cos(x+

? ) 4

C.-cos(x-

9、要得到函数 y ? cos( x ? A.向左平移

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图象(

?
6

个长度单位

B.向右平移

?
6

个长度单位

C.向左平移

5? 个长度单位 6

D.向右平移

5? 个长度单位 6

10、设 ? 角属于第二象限,且 cos A 第一象限 B 第二象限

?
2

? ? cos

?
2

,则

?
2

角属于(



C 第三象限

D 第四象限 )

11、已知 tan(? ? ? ) ? A.

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,则 tan(? ? ) 等于 ( 5 4 4 4
C.

1 6

B.

13 22

3 22

D.

13 18

12、定义式子运算为

a1 a2 a3 a4

? a1a4 ? a2 a3 ,将函数 f ( x) ?

1 3

cos wx sin wx

(其中 ? ? 0 )的图象

向左平移 最大值( A.6

? ? 个单位,得到函数 y=g (x)的图象.若 y=g(x)在[ 0, ]上为增函数,则 ? 的 3? 6
) C.3 D.2

B.4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? , 若 ? m ? n ? ? ? m ? n ? , 则? = 14、在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 b cos C ? c cos B ? b ,则

a = b
15、函数 y=

. 的定义域是 .

16、函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ①图象C 关于直线 x ?

? ?

?? ? 的图象为C , ??

11 ? ? 5? ? 内是增函数; ? 对称;②函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 12 ? ?? ?? ?
? 个单位长度可以得到图象 C . ?

③由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移

以上三个论断中,正确的是___________________ 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分) 17、已知 a ? (2,1), b ? ( ?3, ?4) , c ? ( a ? b ) 。 (1)求 2 a ? 3 b , | a ? 2 b | ; (2)若 c 为单位向量,求 c 的坐标。
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

18、已知函数 f ( x) ? tan ? 3 x ? (1)求 f ?

? ?

?? ?. 4?

??? ? 的值; ?9?
?? ?? ? ? ? 2 ,求 cos 2? 的值. ? 3 4?

(2)若 f ?

19、设 a ? (1,1) , b ? (cos x,sin x) (Ⅰ)求函数 f ( x) ? a ? b 的最大值及周期;(Ⅱ)若 a ? b ?

?

?

? ?

? ?

2sin 2 x ? sin 2 x 1 ,求 的值. 1 ? tan x 2

A 2 5 . 20、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,且满足 AB ? AC ? 3 , cos ? 2 5
(1)求 ?ABC 的面积; (2)若 c ? 1,求a 、sin B 的值.

21、已知向量 a =(sinθ ,-2)与 b =(1,cosθ )互相垂直,其中 ? ? (0,

?
2

).

(1)求 sinθ 和 cosθ 的值;

)若 ] ? cos ? cos(? ? ? )( ?2 sin ? sin(? ? ? ) ?

2 10 10 2

0?? ?
,

?
2,

求0 cos ? ? 的值 ? .

?

2

22、已知函数 f ? x ? ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? a ,且当 x ? [0,
2

?
2

] 时, f ? x ? 的最小值为 2,

(1)求 a 的值,并求 f ? x ? 的单调递增区间; (2)先将函数 y ? f ? x ? 的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 象向右平移 之和.

1 ,再将所得的图 2

?
12

个单位,得到函数 y ? g ? x ? 的图象,求方程 g ? x ? ? 4 在区间 [0,

?
2

] 上所有根

参考答案 1、 【答案】D 2、 【答案】D 【解析】由 a ? b 与 a 垂直知, (a ? b ) ? a = a ? a ? b =0,解得 a ? b ? ? | a |2 =-18,∴ a 与 b 的

?

?

?

?

? ? ?2

? ?

? ?

?

?

?

? ? ? ? ?18 2 a ?b 夹角余弦值为 ? ? = =- ? ,所以 a 与 b 的夹角为 135? ,故选 D. 2 | a || b | 3 2 ? 6
3、 【答案】A 【解析】 y ? cos( 得, 2k? ?

?

? x) ,即 y ? cos( x ? ) ,由 2k? ? ? ? x ? ? 2k? , k ? z , 4 4 4

?

?

3? ? ? x ? 2 k? ? , k ? z , 4 4

所以,函数 y ? cos( 选 A. 4. B

?
4

? x) 的单调递增区间是 [2k? ?

3? ? ,2k? ? ], k ? Z 4 4

?? 44444 由正弦定理 ? sin B ? ?
5、 【答案】A 【解析】∵a∈(

a3 b 4 4 2 sin 60 A sin BB sin sin

2 ?代入得 B ? 45? 2

,π ) ,sina= ,

∴cosa=﹣ ,则 tana=

=

=﹣

∴tan(a﹣

)=

=

=﹣7

故选 A. 6、 【答案】C 【解析】 ∵图象关于直线 7.
x?

?
3 对称, ∴将

x?

?
3 代入, 使得 y 达到最大值或最小值, 故选 “C” .

a cos A据 ?正 b cos B 理,∵ 7.7 根 弦定



∴ sinAcosA=sinBcosB , ∴ sin2A=sin2B , ∴ A=B , 或 2A+2B=180 °即 A+B=90 °, 所 以 △ ABC 为 等 腰 或 直 角 三 角 形 . 故 答 案 为 选 D. 8、 【答案】C 9、 【答案】C 10、 【答案】C 11、 【答案】C 12、 【答案】C

【解析】由定义式子运算为

a1 a2 a3 a4

? a1a4 ? a2 a3 ,可得函数

f ( x) ?

1 3

cos wx sin wx

? sin ?x ? 3 cos ?x ? 2(sin ?x cos
向左平移

?

? cos ?x sin ) ? 2 sin(?x ? ) (其中 ? ? 0 )的图象 3 3 3

?

?

? ? ? ? 个单位,得到函数 y=g (x) ? 2 sin ?x 的图像,y=g (x) ? 2 sin ?x 在 ?0, 3? ? 2? ? ?

上递增,又因为 y=g(x)在[ 0, 值为 3. 二、填空题 13、 【答案】 ?3

?
6

]上为增函数,所以

? ? ? ,解得 ? ? 3 ,所以 ? 的最大 2? 6

14、将 b cos C ? c cos B ? b ,利用正弦定理化简得: sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin B ,即

,∵

,∴

,利用正弦定理化简得:

sin ? B ? C ? ? sin A
,则

sin ? B ? C ? ? 2sin B

a?b
15、 【答案】

a ?1 b

.故答案为:1. ,k∈Z

sin A ? 2sin B

【解析】2cos x+1≥0,cos x≥- ,结合图像知 x∈ 16、 【答案】①② 17、 【答案】 (1) 2 a ? 3 b ? (?5, ?10) , | a ? 2 b |? 145 (2) c ? (
?
? ? 2 2 2 2 ,? ) 或 c ? (? , ) 2 2 2 2

,k∈Z.

?

?

?

?

(1) ∵ a ? (2,1), b ? ( ?3, ?4) , ∴ 2 a ? 3 b ? ( ?5, ?10) ,a ? 2 b ? (8,9) , ∴ | a ? 2 b |? 145 (2)设 c ? ( x, y ) ,则 x ? y ? 1 ,①,∵ a ? (2,1), b ? ( ?3, ?4) ,∴ a ? b ? (5,5) ,又
2 2
? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? 2 2 ?x ? ?x ? ? 2 2 ? 2 或? 2 ,所以 ? c ? ( a ? b ) ,∴5x+5y=0,∴y=-x,②,解得 ? c ?( ,? ) ? 2 2 ?y ? ? 2 ?y ? 2 ? ? ? 2 ? 2
? ?
?

或 c ? (?

2 2 , ) 2 2

? ? ? tan ??? ?? ?? 3 4 ? 3 ? 1 ? ?2 ? 3 18、 【解析】(1) f ? ? ? tan ? ? ? ? ?9? ? 3 4 ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 3 4 tan
(2)因为 f ? 所以

3? ? ? ?? ?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ? tan ? ? 2 4 4? ? 3 4? ?
① ②

sin ? ? 2 ,即 sin ? ? 2 cos ? . cos ? 1 5

因为 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , 由①、②解得 cos 2 ? ?

所以 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 2 ?

1 3 ?1 ? ? 5 5

19、 【答案】解:(Ⅰ) a ? b = sin x ? cos x ?

? ?

? ? ? 2 sin( x ? ) ,? a ? b 的最大值为 2 4

T=2π

(Ⅱ)?

2sin 2 x ? sin 2 x 2sin x cos x(cos x ? sin x) ? 2sin x cos x ? 1 ? tan x cos x ? sin x ? ? 1 1 3 a ? b = sin x ? cos x ? ,?1 ? 2sin x cos x ? ? 2sin x cos x ? ? 2 4 4
2sin 2 x ? sin 2 x 3 ?? 1 ? tan x 4

20.(1)2(2)

2 5 5

2 5 2 3 ) ?1 ? , 5 5 ??? ? ???? ??? ? ???? 3 而 AB ? AC ? AB ? AC ? cos A ? bc ? 3, ? bc ? 5 5 4 1 1 4 又 A ? (0, ? ) ,? sin A ? , ? S ? bc sin A ? ? 5 ? ? 2. 5 2 2 5 (2)? bc ? 5, 而 c ? 1 ,? b ? 5
(1) cos A ? 2 ? (

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 , a ? 2 5. 4 5? b sin A a b 5 ? 2 5. ? 又 ,? sin B ? ? sin A sin B a 5 2 5
21、 【答案】 (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 得 sin ? ? ?

2 5 5 ? ,又 ? ? (0, ) ,∴ , cos ? ? ? 2 5 5

sin ? ?

2 5 5 . , cos ? ? 5 5

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ?? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2

,则

cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 ,∴ 10
2 . 2

cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?
22、 (1) a ? 2 , ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?
2

??

(2) . ,k ?Z ; 3 6? ?

?

试题分析: (1)利用 2 cos x ? 1 ? cos 2 x,2 sin x cos x ? sin 2 x 以及 利用三角函数的图像与性质求 a 值即单调递 a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) 进行化简, 增区间; (2)利用三角函数的图像变换得到 g ( x) 的解析式,再结合范围求所有根及其和. 试题解析: (1)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? a ? 2 sin( 2 x ?

? ) ? a ?1 , 6

? ? ? 7? ? , f ( x) ? ?1 ? a ? 1 ? 2 ,得 a ? 2 ; ? ?? x ? ?0, ? , ? 2 x ? ? ? , min 6 ?6 6 ? ? 2? ?

? ? ? ? 即 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ,由题意得 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 6 2 6 2
得 k? ?

? ? ? x ? k? ? , 3 6

k ?Z ,

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ? .

? 1 ? (2)由题意得 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ,又由 g ( x) ? 4 得 sin( 4 x ? ) ? , 6 6 2
解得 4 x ?

? ? 5? k? ? k? ? ,即 x ? ? 2k? ? 或2k? ? ? 或 ? ?k ? Z ? , 6 6 6 2 12 2 4

? ? ? ? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? x ? 或 ,故所有根之和为 ? ? . 12 4 3 12 4 ? 2?
考点:1.三角恒等变换;2.是奇函数的图像与性质.


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