山西省曲沃中学校2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷

曲沃中学高一年级第二学期期末考试数学试卷
(满分:150 分 时间:120 分) 一、选择题：(本大题共 12 小题,每小题 5 分，共计 60 分) 1、 P (3, y ) 为 ? 终边上一点， cos ? ? A. ?

3 ，则 tan ? ? （ 5
D. ?

）

3 4

4 B. 3

C. ?

3 4

4 3

2、已知 a ? 3 2 ， b ? 6 ，且 a ? b 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是 （ A． 30? 3、函数 y ? cos( A． [2k? ? B． 90? C． 45? D． 135? ）

?

?

?

?

?

?

?

）

?
4

? x) 的单调递增区间是（
B． [2k? ?

3? ? ,2k? ? ], k ? Z 4 4

5? ? ,2k? ? ], k ? ? 4 4

o ? 3 b? 5? ? 3? ?ABC a C． [2k D． [2k?B ?? ?4 , 2k? ? 4 ],2 k ?A Z ? 60 ? ,2k? ? ], k ? Z 4 o 4 4 4 o o o 45 135 45 135

4、在 A．

中，

，

，

，则

等于（

）

B．

C．

或

D．以上答案都不对 ）

5、已知 ? ? ? A． －7

3 ?? ?? ? ? , ? ? ， sin ? ? ,则 tan ? ? ? ? 等于（ 5 4? ?2 ? ?
B． －

1 7

C． 7
x?

D．

1 7
）
?
x ? y ? sin( ? ) 2 6 D．

?
3 对称的是（

6、在下列函数中，图象关于直线
y ? sin(2 x ? ) 3 A．

?

y ? sin(2 x ? ) 6 B．

?

y ? sin(2 x ? ) 6 C．

7、已知 ?ABC中，a , b, c 分别为 A, B, C 的对边， a cos A ? b cos B ，则?ABC 为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

8、若函数 y＝f(x)的图象和 y＝sin(x＋ ( )

? ? )的图象关于点 M( ，0)对称，则 f(x)的表达式是 4 4 ? ? ) D．－cos(x＋ ) 4 4
）

A．cos(x－

? ) 4

B．cos(x＋

? ) 4

C．－cos(x－

9、要得到函数 y ? cos( x ? A．向左平移

?
3

) 的图象，只需将函数 y ? sin x 的图象（

?
6

个长度单位

B．向右平移

?
6

个长度单位

C．向左平移

5? 个长度单位 6

D．向右平移

5? 个长度单位 6

10、设 ? 角属于第二象限，且 cos A 第一象限 B 第二象限

?
2

? ? cos

?
2

，则

?
2

角属于（

）

C 第三象限

D 第四象限 ）

11、已知 tan(? ? ? ) ? A．

2 ? 1 ? ， tan( ? ? ) ? ，则 tan(? ? ) 等于 （ 5 4 4 4
C．

1 6

B．

13 22

3 22

D．

13 18

12、定义式子运算为

a1 a2 a3 a4

? a1a4 ? a2 a3 ，将函数 f ( x) ?

1 3

cos wx sin wx

（其中 ? ? 0 ）的图象

向左平移 最大值（ A．6

? ? 个单位，得到函数 y=g （x）的图象．若 y=g（x）在[ 0, ]上为增函数，则 ? 的 3? 6
） C．3 D．2

B．4

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? , 若 ? m ? n ? ? ? m ? n ? , 则? = 14、在 ? ABC 中，角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ，已知 b cos C ? c cos B ? b ，则

a = b
15、函数 y＝

． 的定义域是 ．

16、函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ①图象C 关于直线 x ?

? ?

?? ? 的图象为C ， ??

11 ? ? 5? ? 内是增函数； ? 对称；②函数 f ( x) 在区间 ? ? ， ? 12 ? ?? ?? ?
? 个单位长度可以得到图象 C ． ?

③由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移

以上三个论断中，正确的是___________________ 三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分） 17、已知 a ? (2,1), b ? ( ?3, ?4) ， c ? ( a ? b ) 。 （1）求 2 a ? 3 b ， | a ? 2 b | ； （2）若 c 为单位向量，求 c 的坐标。
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

18、已知函数 f ( x) ? tan ? 3 x ? (1)求 f ?

? ?

?? ?. 4?

??? ? 的值; ?9?
?? ?? ? ? ? 2 ,求 cos 2? 的值. ? 3 4?

(2)若 f ?

19、设 a ? (1,1) , b ? (cos x,sin x) (Ⅰ)求函数 f ( x) ? a ? b 的最大值及周期;(Ⅱ)若 a ? b ?

?

?

? ?

? ?

2sin 2 x ? sin 2 x 1 ,求 的值. 1 ? tan x 2

A 2 5 . 20、在 ?ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c，且满足 AB ? AC ? 3 ， cos ? 2 5
（1）求 ?ABC 的面积； （2）若 c ? 1，求a 、sin B 的值.

21、已知向量 a =(sinθ ,-2)与 b =(1,cosθ )互相垂直，其中 ? ? (0,

?
2

)．

（1）求 sinθ 和 cosθ 的值；

）若 ] ? cos ? cos(? ? ? )（ ?2 sin ? sin(? ? ? ) ?

2 10 10 2

0?? ?
,

?
2,

求0 cos ? ? 的值 ? .

?

2

22、已知函数 f ? x ? ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? a ，且当 x ? [0,
2

?
2

] 时， f ? x ? 的最小值为 2，

（1）求 a 的值，并求 f ? x ? 的单调递增区间； （2）先将函数 y ? f ? x ? 的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 象向右平移 之和.

1 ，再将所得的图 2

?
12

个单位，得到函数 y ? g ? x ? 的图象，求方程 g ? x ? ? 4 在区间 [0,

?
2

] 上所有根

参考答案 1、 【答案】D 2、 【答案】D 【解析】由 a ? b 与 a 垂直知， (a ? b ) ? a = a ? a ? b =0，解得 a ? b ? ? | a |2 =-18，∴ a 与 b 的

?

?

?

?

? ? ?2

? ?

? ?

?

?

?

? ? ? ? ?18 2 a ?b 夹角余弦值为 ? ? = =- ? ，所以 a 与 b 的夹角为 135? ，故选 D. 2 | a || b | 3 2 ? 6
3、 【答案】A 【解析】 y ? cos( 得， 2k? ?

?

? x) ，即 y ? cos( x ? ) ，由 2k? ? ? ? x ? ? 2k? , k ? z ， 4 4 4

?

?

3? ? ? x ? 2 k? ? , k ? z ， 4 4

所以，函数 y ? cos( 选 A. 4. B

?
4

? x) 的单调递增区间是 [2k? ?

3? ? ,2k? ? ], k ? Z 4 4

?? 44444 由正弦定理 ? sin B ? ?
5、 【答案】A 【解析】∵a∈（

a3 b 4 4 2 sin 60 A sin BB sin sin

2 ?代入得 B ? 45? 2

，π ） ，sina= ，

∴cosa=﹣ ，则 tana=

=

=﹣

∴tan（a﹣

）=

=

=﹣7

故选 A． 6、 【答案】C 【解析】 ∵图象关于直线 7.
x?

?
3 对称， ∴将

x?

?
3 代入， 使得 y 达到最大值或最小值， 故选 “C” ．

a cos A据 ?正 b cos B 理，∵ 7.7 根 弦定

，

∴ sinAcosA=sinBcosB ， ∴ sin2A=sin2B ， ∴ A=B ， 或 2A+2B=180 °即 A+B=90 °， 所 以 △ ABC 为 等 腰 或 直 角 三 角 形 ． 故 答 案 为 选 D． 8、 【答案】C 9、 【答案】C 10、 【答案】C 11、 【答案】C 12、 【答案】C

【解析】由定义式子运算为

a1 a2 a3 a4

? a1a4 ? a2 a3 ，可得函数

f ( x) ?

1 3

cos wx sin wx

? sin ?x ? 3 cos ?x ? 2(sin ?x cos
向左平移

?

? cos ?x sin ) ? 2 sin(?x ? ) （其中 ? ? 0 ）的图象 3 3 3

?

?

? ? ? ? 个单位，得到函数 y=g （x） ? 2 sin ?x 的图像，y=g （x） ? 2 sin ?x 在 ?0, 3? ? 2? ? ?

上递增，又因为 y=g（x）在[ 0, 值为 3. 二、填空题 13、 【答案】 ?3

?
6

]上为增函数，所以

? ? ? ，解得 ? ? 3 ，所以 ? 的最大 2? 6

14、将 b cos C ? c cos B ? b ，利用正弦定理化简得： sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin B ，即

，∵

，∴

，利用正弦定理化简得：

sin ? B ? C ? ? sin A
，则

sin ? B ? C ? ? 2sin B

a?b
15、 【答案】

a ?1 b

．故答案为：1. ，k∈Z

sin A ? 2sin B

【解析】2cos x＋1≥0，cos x≥－ ，结合图像知 x∈ 16、 【答案】①② 17、 【答案】 （1） 2 a ? 3 b ? (?5, ?10) ， | a ? 2 b |? 145 （2） c ? (
?
? ? 2 2 2 2 ,? ) 或 c ? (? , ) 2 2 2 2

，k∈Z.

?

?

?

?

（1） ∵ a ? (2,1), b ? ( ?3, ?4) ， ∴ 2 a ? 3 b ? ( ?5, ?10) ，a ? 2 b ? (8,9) ， ∴ | a ? 2 b |? 145 （2）设 c ? ( x, y ) ，则 x ? y ? 1 ，①，∵ a ? (2,1), b ? ( ?3, ?4) ，∴ a ? b ? (5,5) ，又
2 2
? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? 2 2 ?x ? ?x ? ? 2 2 ? 2 或? 2 ，所以 ? c ? ( a ? b ) ，∴5x+5y=0，∴y=-x，②,解得 ? c ?( ,? ) ? 2 2 ?y ? ? 2 ?y ? 2 ? ? ? 2 ? 2
? ?
?

或 c ? (?

2 2 , ) 2 2

? ? ? tan ??? ?? ?? 3 4 ? 3 ? 1 ? ?2 ? 3 18、 【解析】(1) f ? ? ? tan ? ? ? ? ?9? ? 3 4 ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 3 4 tan
(2)因为 f ? 所以

3? ? ? ?? ?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ? tan ? ? 2 4 4? ? 3 4? ?
① ②

sin ? ? 2 ,即 sin ? ? 2 cos ? . cos ? 1 5

因为 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , 由①、②解得 cos 2 ? ?

所以 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 2 ?

1 3 ?1 ? ? 5 5

19、 【答案】解:(Ⅰ) a ? b = sin x ? cos x ?

? ?

? ? ? 2 sin( x ? ) ,? a ? b 的最大值为 2 4

T=2π

(Ⅱ)?

2sin 2 x ? sin 2 x 2sin x cos x(cos x ? sin x) ? 2sin x cos x ? 1 ? tan x cos x ? sin x ? ? 1 1 3 a ? b = sin x ? cos x ? ,?1 ? 2sin x cos x ? ? 2sin x cos x ? ? 2 4 4
2sin 2 x ? sin 2 x 3 ?? 1 ? tan x 4

20.(1)2(2)

2 5 5

2 5 2 3 ) ?1 ? , 5 5 ??? ? ???? ??? ? ???? 3 而 AB ? AC ? AB ? AC ? cos A ? bc ? 3, ? bc ? 5 5 4 1 1 4 又 A ? (0, ? ) ，? sin A ? ， ? S ? bc sin A ? ? 5 ? ? 2. 5 2 2 5 （2）? bc ? 5, 而 c ? 1 ，? b ? 5
（1） cos A ? 2 ? (

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 ， a ? 2 5. 4 5? b sin A a b 5 ? 2 5. ? 又 ，? sin B ? ? sin A sin B a 5 2 5
21、 【答案】 （1）∵ a 与 b 互相垂直，则 a ? b ? sin ? ? 2 cos ? ? 0 ，即 sin ? ? 2 cos ? ，代入

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 得 sin ? ? ?

2 5 5 ? ，又 ? ? (0, ) ，∴ , cos ? ? ? 2 5 5

sin ? ?

2 5 5 . , cos ? ? 5 5

（2）∵ 0 ? ? ?

?
2

，0 ?? ?

?
2

，∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2

，则

cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 ，∴ 10
2 . 2

cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?
22、 （1） a ? 2 ， ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?
2

??

（2） . ,k ?Z ； 3 6? ?

?

试题分析： （1）利用 2 cos x ? 1 ? cos 2 x,2 sin x cos x ? sin 2 x 以及 利用三角函数的图像与性质求 a 值即单调递 a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) 进行化简， 增区间； （2）利用三角函数的图像变换得到 g ( x) 的解析式，再结合范围求所有根及其和. 试题解析： （1）函数 f ( x) ? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? a ? 2 sin( 2 x ?

? ) ? a ?1 ， 6

? ? ? 7? ? ， f ( x) ? ?1 ? a ? 1 ? 2 ，得 a ? 2 ； ? ?? x ? ?0, ? , ? 2 x ? ? ? , min 6 ?6 6 ? ? 2? ?

? ? ? ? 即 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ，由题意得 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ， 6 2 6 2
得 k? ?

? ? ? x ? k? ? , 3 6

k ?Z ，

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ? ．

? 1 ? （2）由题意得 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ，又由 g ( x) ? 4 得 sin( 4 x ? ) ? ， 6 6 2
解得 4 x ?

? ? 5? k? ? k? ? ，即 x ? ? 2k? ? 或2k? ? ? 或 ? ?k ? Z ? ， 6 6 6 2 12 2 4

? ? ? ? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? x ? 或 ，故所有根之和为 ? ? ． 12 4 3 12 4 ? 2?
考点：1.三角恒等变换；2.是奇函数的图像与性质.