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山西省曲沃中学2015-2016学年高二12月月考数学(理)试题


曲沃中学高二年级第一学期期中考试数学试卷(理科) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
2 1.设集合 A ? ?x | x ? 2 ? 0? , B ? x | x ? 2 x ? 0 ,则“x∈A”是“x∈B”的(

?

?



A.必要不充分条件 C.充要条件
<

br />B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

x2 y 2 2.双曲线 ? ? 1 的焦距为( 10 2
A.3 2
2

B.4 2 )

C.3 3

D.4 3

3.抛物线y=1/4x 的准线方程为( A.x=-1 B.x=-1/16
3 2

C.y=-1 )
3

D.y=-1/16

4.命题“对任意的 x ? R,x ? x ? 1≤ 0 ”的否定是( A.不存在 x ? R,x ? x ? 1≤ 0
3 2

B.存在 x ? R,x ? x ? 1≤ 0
2

C.存在 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2

D.对任意的 x ? R,x ? x ? 1 ? 0
3 2

5.双曲线 mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于( A. ?

) D.

1 4

B. ? 4
2

C. 4

1 4
)

6. 已知动圆圆心在抛物线 y =4x 上, 且动圆恒与直线 x=-1 相切, 则此动圆必过定点( A.(2,0) B.(1,0) C.(0,1) D.(0,-1)

7.与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 4
B.

)

A.

x2 ? y2 ? 1 2

x2 ? y2 ? 1 4

C.

x2 y2 ? ?1 3 3

D. x ?
2

y2 ?1 2

8.已知 AB 是抛物线错误!未找到引用源。的一条过焦点的弦,且|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐 标是( A.2 ) B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。 9.椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为( A. 10 10 B. 17 17 2 13 C. 13 D. 37 37 )

10.椭圆 mx2 ? ny 2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A, B 两点,过 AB 中点 M 与坐标原点的直

线的斜率为

2 m ,则 的值为( n 2
B.



A.

2 2

2 3 3

C.1

D .2

11.设 e1 ,e2 分别为有公共焦点 F1 ,F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点, 且满足 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则 A.

1 1 ? 2 的值为( 2 e1 e2
B.2



1 2

C.3

D.不确定

12.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e ?

6 ,F1 , F2 分别是它的左右焦点,若过 F1 的直线与双 2


曲线的左支交与 A 、 B 两点,且 AB 是 AF 1 等于( 1 , AF 2 的等差中项,则 BF A. 8 2 B. 4 2 C. 2 2 D.8

二、 填空题: (每小题 5 分, 共 20 分) 13.若双曲线经过点 (6, 3 ) , 且其渐近线方程为 y ? ? 则此双曲线的标准方程______________。

1 x, 3

14. 已知抛物线 y =4px(p>0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有相同的焦点 F,点 A 是两曲 线的交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为 15. 点 P 在 椭 圆 .

2

x2 y2 a b

x2 y 2 ? ? 1 上 , 点 P 到 直 线 3x ? 4 y ? 24 的 最 大 距 离 和 最 小 距 离 为 16 9
2

___________. 16. 已知直线 y=a 交抛物线 y=x 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角, 则 a 的取值范围为________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤)

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q :双曲线 17. (10 分)已知命题 p :方程 2m 15 ? m y 2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (2,3) ;若 p ? q 为真,且 p ? q 为假,求实数 m 的取值范围. 2 3m

18. (12 分已知直线 l 经过抛物线 y =4x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)若 AF=4,求点 A 的坐标; (2)求线段 AB 的长的最小值.

2

5 x2 y 2 19.(12 分)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,离心率为 , F1 , F2 为双 a b 2
曲线的两个焦点. (1)求双曲线的方程;
0 (2)若双曲线上有一点 P ,满足 ?F 1 PF2 的面积. 1PF 2 ? 60 ,求 ?F

20. (12 分)平面内动点 P ? x, y? 与两定点 A? ?2,0? , B ? 2,0? 连线的斜率之积等于 ?

1 ,若点 3

P 的轨迹为曲线 E ,过点 Q ? ?1,0? 作斜率不为零的直线 CD 交曲线 E 于点 C , D .
(1)求曲线 E 的方程; (2)求证: AC ? AD ; 21. (12 分)如图,倾斜角为 a 的直线经过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两 点。

(1)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (2)若 a 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明|FP|-|FP|cos2a 为定值, 并求此定值。

22.(14 分)点 M 是圆 x 2 ? y 2 ? 4 上的一个动点,过点 M 作 MD 垂直于 x 轴,垂足为 D, P 为 线段 MD 的中点。 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 P 的轨迹为 C ,若直线 l : y ? ?ex ? m (其中 e 为曲线 C 的离心率)与曲线 C 有 两个不同的交点 A 与 B 且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点),求 m 的值.

??? ? ??? ?

1-5 BDCCA

6-10 BCCAA

11-12

BC

x2 ? y2 ? 1 13. 9
15 . 最大值为: 16. [1,+∞)

14. 2+1

12 12 2 ? 2 ;最小值为: 2? 2 . 5 5

?

?

?

?

17. 解:命题 p 为真时: 0 ? 2m ? 15 ? m ,即: 0 ? m ? 5 命题 p 为假时: m ? 5或m ? 0

命题 q 为真时:

? 2 ? 3m ?9 16 ?4 ? ?2?m? 2 ? 3 ? ?3m ? 0
16 3 或m ? 2

命题 q 为假时: m ?

由 p ? q 为真, p ? q 为假可知: p 、 q 一真一假

?0 ? m ? 5 ? ?0?m?2 16 ① p 真 q 假时: ? m ? 或 m ? 2 ? 3 ?
?m ? 5或m ? 0 16 ? 16 ? 5 ? m ? ② p 假 q 真时: ? 3 ?2 ? m ? 3 ?
综上所述: 0 ? m ? 2 或 5 ? m ?

16 3

18. (1)由抛物线的定义可知,AF=x1+ , 从而 x1=4-1=3. 代入 y =4x,解得 y1=±2 ∴点 A 的坐标为(3,2
2

. ).

)或(3,-2

(2)当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=k(x-1).

与抛物线方程联立



消去 y,整理得 k x -(2k +4)x+k =0, 因为直线与抛物线相交于 A、B 两点, 则 k≠0,并设其两根为 x1,x2,则 x1+x2=2+ . 由抛物线的定义可知, AB=x1+x2+p=4+ >4. 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,与抛物线相交于 A(1,2),B(1,-2), 此时 AB=4,所以,AB≥4,即线段 AB 的长的最小值为 4. 19 解: (Ⅰ)∵ 2b ? 2 又e ? ∴b ?1
2

2 2

2

2

c 5 ? a 2

∴e ?

c 2 a 2 ? b2 b2 5 ? ? 1 ? ? a2 a2 a2 4 x2 ? y2 ? 1 4
2

∴a ? 4
2

∴双曲线的方程为

(Ⅱ)由双曲线方程可知 2a ? 4, 2c ? 2 5 ? F1 F2 由双曲线定义有 PF1 ? PF2 ? 4

? 20

两边平方得 PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 ? 16 ------- ① 由余弦定理,有 F1 F2
2 2 2

2

2

? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos 600
---------- ②

2

2

? PF1 ? PF2 ? PF1 PF2 ? 20
由①②可得 PF 1 PF 2 ? 20 ? 16 ? 4

? S?F1PF2 ?

1 1 3 PF1 PF2 sin 600 ? ? 4 ? ? 3阿 2 2 2

20.解: (1)设动点 P 坐标为 ( x, y ) ,当 x ? ?2 时,由条件得:

x2 3 y 2 y y 1 ? ?1, ? ? ? ,化简得 4 4 x?2 x?2 3 x2 3 y 2 故曲线 E 的方程为: ? ? 1 ( x ? ?2) . 4 4
(2) CD 斜率不为 0 ,所以可设 CD 方程为 my ? x ? 1 ,与椭圆联立得:

(m 2 ? 3) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 设 C ( x1 , y1 ), D( x 2 , y 2 ) ,所以 y1 ? y 2 ?

2m ?3 . , y1 y 2 ? 2 2 m ?3 m ?3

( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y 2 ) ? (m 2 ? 1) y1 y 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? 1 ?
所以 AC ? AD .

? 3(m 2 ? 1) 2m 2 ? ?1 ? 0 , m2 ? 3 m2 ? 3

p 21. (1)解:设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px ,则 2 p ? 8 ,从而 p ? 4. 因此焦点 F ( ,0) 的坐 2

标为(2,0). 又准线方程的一般式为 x ? ?
p 。从而所求准线 l 的方程为 x ? ?2 。 2

答(21)图 (2)解法一:如图(21)图作 AC⊥l,BD⊥l,垂足为 C、D,则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记 A、B 的横坐标分别为 xxxz,则|FA|=|AC|= x x ?
| FA |? 4 , 1 ? cos a 4 。 1 ? cos a p p p ?| FA | cos a ? ? ?| FA | cos a ? 4 解得 2 2 2

类似地有 | FB |? 4? | FB | cos a ,解得 | FB |? 记直线 m 与 AB 的交点为 E,则
| FE |?| FA | ? | AE |?| FA | ?

| FA | ? | FB | 1 1? 4 4 ? 4 cos a ? (| FA | ? | FB |) ? ? ? , ?? 2 2 2 ? 1 ? cos a 1 ? cos a ? sin 2 a

所以 | FP |?

| FE | 4 4 4·2 sin 2 a | FP | ? | FP | cos 2 a ? ( 1 ? cos 2 a ) ? ?8。 。故 ? cos a sin2 a sin 2 a sin 2 a

解法二:设 A( x A , y A ) , B( x B , y B ) ,直线 AB 的斜率为 k ? tan a ,则直线方程为 y ? k ( x ? 2) 。 将此式代入 y 2 ? 8 x ,得 k 2 x 2 ? 4(k 2 ? 2) x ? 4k 2 ? 0 ,故 x A ? x B ? 记直线 m 与 AB 的交点为 E ( x E , y E ) ,则
xE ? x A ? x B 2(k 2 ? 2) 4 1? 2k 2 ? 4 ? 4 ? ?. ? y ? ? ? x ? , , 故直线 m 的方程为 y ? k ( x ? 2 ) ? E E 2 k k? k k2 k2 ? ? ? k (k 2 ? 2) k2



令 y=0,得 P 的横坐标 x P ? 从而 | FP | ? | FP | cos 2a ?

2k 2 ? 4 k 4
2

? 4 故 | FP |? x P ? 2 ? 4·2 sin 2 a sin 2 a

4(k 2 ? 1) k
2

?

4 sin 2 a



sin 2 a

(1 ? cos 2a) ?

? 8 为定值。

22. 解: (Ⅰ)设 P( x , y ) 即 x0 ? x , y0 ? 2 y

M( x0 , y0 ) 则 D( x0 ,0 ) x ? x0 , y ?

y0 2

? M ( x0 , y0 )在圆x 2 ? y 2 ? 4上 ? x0 ? y0 ? 4
? x 2 ? (2 y) 2 ? 4 即 x ? y 2 ? 1为所求
4
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,? e ?
2

2

2

c 3 , ? a 2

? 直线 l : y ? ?

3 x?m 2

? 3 y?? x?m ? 3 2 ? 2 由? 得 x ? 4(? x ? m)2 ? 4 ,整理得 x 2 ? 3mx ? m2 ? 1 ? 0 2 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?4

?? ? (? 3m)2 ? 4(m2 ?1) ? 4 ? m2 ? 0

x1 ? x2 ? 3m, x1x2 ? m2 ?1
??? ? ??? ? 3 3 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (? x1 ? m)(? x2 ? m) 2 2
5 7 7 3 7 3 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ? (m2 ? 1) ? m ? 3m ? m2 ? m 2 ? 4 4 4 2 4 2 ??? ? ??? ? 5 2 7 又 OA ? OB ? 2 ,? m ? ? 2 ,?m ? ? 3 .代入①得 ? ? 0 ,满足题意, 4 4

?

所求实数 m 的值为 ? 3


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