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专题四直线与圆锥曲线


专题四
要点梳理

直线与圆锥曲线 自主学习

基础知识

1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共 点,仅有一个公共点及有两个相异的公共 点.

(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入 二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情 况来判断.设直线l的方

程为Ax+By+C=0,圆 锥曲线方程f(x,y)=0. ?Ax+By+C=0 ? 由? ,消元 ?f?x,y?=0 ? 如消去y后得ax2+bx+c=0. ①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲 线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线 时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).

②若 a≠0,设 Δ=b2-4ac. a.Δ > 0 时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; b.Δ = 0 时,直线和圆锥曲线相切于一点; c.Δ < 0 时,直线和圆锥曲线没有公共点. 2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1, y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|= 1+k2|x1- 1 x2|或|P1P2|= 1+k2|y1-y2|. (2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接 运算(利用轴上两点间距离公式). (3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度,应用圆 锥曲线的定义, 转化为两个焦半径之和, 往往比 用弦长公式简捷.

3.圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点 x2 y 2 差法”求解.在椭圆 2+ 2=1 中,以 P(x0, a b b2x0 y0)为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 ; a y0 x2 y2 在双曲线 2- 2=1 中,以 P(x0,y0)为中点 a b b2x0 的弦所在直线的斜率 k= 2 ;在抛物线 y2 a y0 =2px (p>0)中, P(x0, 0)为中点的弦所在 以 y p 直线的斜率 k= . y0

[难点正本

疑点清源]

1.直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度 可分为三类:无公共点,仅有一个公共点 及有两个相异公共点. 还可通过代数方法即解方程组的办法来研 究.因为直线与圆锥曲线有无公共点或有 几个公共点的问题,实际上是研究它们的 方程组成的方程是否有实数解或实数解的 个数问题,此时要注意用好分类讨论和数 形结合的思想方法.

2.直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及弦长、弦中 点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题.解 题中要充分重视韦达定理和判别式的应用. 当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦 达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉 及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦 所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转 化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件,寻找量与 量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达 定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”.

基础自测 x2 2 1.已知椭圆 +y =1 的两个焦点为 F1、F2, 4 过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一 7 个交点为 P,则|PF2|=______. 2

解析

1 将x=- 3 代入椭圆方程得yp= 2 ,由

|PF1|+|PF2|=4?|PF2| 1 7 =4-|PF1|=4-2=2.

2.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q, 若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则 -1≤k≤1 直线 l 的斜率的取值范围是____________.
解析 Q点坐标为(-2,0),直线l的斜率不存在

时,不满足题意,所以可设直线l的斜率为k, 方程为y=k(x+2). 当k=0时满足. 1 8 2 2 当k≠0时,x= k y-2,代入y =8x,得y - k y +16=0. 64 Δ= k2 -64≥0,k2≤1,即-1≤k≤1 (k≠0). 综上,-1≤k≤1.

3.过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是

2x-y+4=0 ______________.

解析

由y=3x2-4x+2,得y′=6x-4,

∴k=y′|x=1=2,∴所求直线方程为y-2= 2(x+1), 即2x-y+4=0.

x2 y2 4.已知直线y=kx-1与椭圆 4 + a =1相切, 则k,a之间的关系式为( D ) A.4a+4k2=1 C.a-4k2=1 B.4k2-a=1 D.a+4k2=1

解析

?y=kx-1, ? 由? 2 ?ax +4y2-4a=0, ?

得(4k2+a)x2-8kx+4(1-a)=0. ∵直线与椭圆相切,∴Δ=0, 即64k2+4×(4k2+a)×4(a-1)=0, ∴a+4k2=1.

5.(2010· 辽宁)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F, 准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为 垂足, 如果直线 AF 的斜率为- 3, 那么|PF| 等于( B ) A.4 3
解析

B.8 C.8 3

D.16

如图所示,直线AF的方程为

y=- 3(x-2),与准线方程x=-2联立得 A(-2,4 3). 设P(x0,4 3),代入抛物线 y2=8x,得8x0=48,∴x0= 6, ∴|PF|=x0+2=8.

题型分类
题型一 例1

深度剖析

直线与圆锥曲线的位置关系

已知直线l:kx-y+2=0,双曲线C:

x2-4y2=4,当k为何值时: (1)l与C无公共点; (2)l与C有唯一公共点; (3)l与C有两个不同的公共点

思维启迪:联立方程,解方程组,通过方程 的解的个数分析直线l与双曲线的关系.

解 将直线与双曲线方程联立消去y,得 (1-4k2)x2-16kx-20=0.① 当1-4k2≠0时, 有Δ=(-16k)2-4(1-4k2)· (-20)=16(5-4k2). 5 5 2 (1)当1-4k ≠0且Δ<0时,即k<- 2 或k> 2 时,l与C 无公共点. 1 2 (2)当1-4k =0,即k=± 时,显然方程①只有一解. 2 5 当Δ=0时,即k=± 2 时,方程①只有一解. 1 5 故当k=± 或k=± 2 时,l与C有唯一公共点. 2 5 5 1 2 (3)当1-4k ≠0,且Δ>0时,即- 2 <k< 2 且k≠± 2 时,方程有两解,l与C有两个公共点.

探究提高

用直线方程和圆锥曲线方程组成

的方程组解的个数,可以研究直线与圆锥曲 线的位置关系,也就是用代数的方法研究几 何问题,这是解析几何的重要思想方法.方 程组消元后要注意所得方程的二次项系数是 否含有参数,若含参数,需按二次项系数是 否为零进行分类讨论,只有二次项系数不为 零时,方程才是一元二次方程,后面才可以 用判别式Δ的符号判断方程解的个数,从而 说明直线与圆锥曲线的位置关系.

变式训练1

已知直线y=(a+1)x-1与曲线

y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值.

?y=?a+1?x-1 ? 联立方程? 2 ?y =ax ?

?x=1 ? (1)当a=0时,此方程组恰有一组解? ?y=0 ?



(2)当a≠0时,消去x,得 a+1 2 a y -y-1=0; a+1 ①当 a =0,即a=-1时,方程变为一元一次方 ?x=-1 ? 程-y-1=0,方程恰有一组解? ; ?y=-1 ?

a+1 ②若 ≠0,即 a≠-1 时,令 Δ=0,得 1+ a 4?a+1? 4 =0,解得 a=- ,此时直线与曲线相 a 5 切,有且只有一个公共点. 综上所述,当 a=0,a=-1 或 4 a=- 时, 直线与曲线 y2=ax 恰有一个公共点. 5
易错分析 (1)很多考生误以为a≠0,忽视对

a=0的讨论,从而致误.(2)当a≠0时,转化 为一元二次方程,对二次项的系数的讨论, 也是一个易错点.

题型二

圆锥曲线中的弦长问题 ? 3? 3 ?0, ? ,动圆P经过点F且和直线y=- 例2 设点F 2? 2 ? 相切,记动圆的圆心P的轨迹为曲线W. (1)求曲线W的方程; (2)过点F作互相垂直的直线l1,l2分别交曲线W 于A,B和C,D.求四边形ACBD面积的最小值.
解 3 (1)过点P作PN垂直于直线y=- 2 于点N,

依题意得|PF|=|PN|,所以动点P的轨迹是以 ? 3? 3 ?0, ? 为焦点,直线y=- F 2? 2 为准线的抛物 ? 线,即曲线W的方程是x2=6y.

(2)如图所示,依题意,直线 l1,l2 的斜率存在 3 且不为 0, 设直线 l1 的方程为 y=kx+ , l1⊥l2 由 2 1 3 得 l2 的方程为 y=- x+ . k 2 3 将 y=kx+ 代入 x2 =6y,化 2 简得 x2-6kx-9=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=6k,x1x2=-9, ∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]=6(k2+1).

?1 ? ? 同理可得|CD|=6?k2+1?, ? ? ?

1 ∴四边形 ACBD 的面积 S= |AB|· |CD| 2 ?1 ? ? ? 1 ? ? ? 2 2 =18(k +1)?k2+1?=18?k +k2+2?≥72. ? ? ? ? ? 1 2 当且仅当 k = 2,即 k=± 时,Smin=72, 1 k 故四边形 ACBD 面积的最小值是 72.
探究提高 由直线与圆锥曲线的方程联立解

方程组是解决这类问题的通法,而相关的最 值的讨论求解往往需要建立目标函数,进一 步转化为函数法或不等式法来求解.

x2 y2 变式训练2 已知椭圆C:a2+b2=1 (a>b>0)的 6 离心率为 3 ,短轴的一个端点到右焦点的 距离为 3. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原 3 点O到直线l的距离为 2 ,求△AOB面积的 最大值.



(1)设椭圆的半焦距为c,

6 ?c ? = 依题意得?a 3 ,∴c= 2,b=1. ?a= 3 ? x2 2 ∴所求椭圆方程为 3 +y =1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2). ①当l⊥x轴或l∥x轴时,|AB|= 3. ②当l与x轴不垂直且不平行时, 设直线l的方程为y=kx+m. |m| 3 3 2 2 由已知 = ,得m =4(k +1) 1+k2 2 把y=kx+m代入椭圆方程整理得 (3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,

-6km 3?m2-1? ∴x1+x2= 2 ,x x = . 3k +1 1 2 3k2+1 ? 36k2m2 12?m2-1?? ? - ∴|AB|2=(1+k2)? 2 ??3k +1?2 3k2+1 ? ? ? 12?k2+1??3k2+1-m2? 3?k2+1??9k2+1? = = ?3k2+1?2 ?3k2+1?2 12k2 12 =3+ 4 =3+ (k≠0) 2 1 9k +6k +1 9k2+k2+6 12 ≤3+ =4, 2×3+6 1 3 2 当且仅当9k =k2,即k=± 3 时等号成立. 综上所述,|AB|max=2. ∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值 1 3 3 Smax=2×|AB|max× 2 = 2 .

题型三 例3

圆锥曲线中的弦中点问题

已知中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆 5 2 2 与圆x +y -4x-2y+ 2 =0交于A、B两点, 1 AB恰是该圆的直径,且AB的斜率为-2,求 此椭圆的方程.

思维启迪:可设出A、B两点的坐标,分别代 入椭圆方程,得到的两式相减,得出直线的斜 率,又已知AB是圆的直径求解.

解 圆的方程化为(x-2)2+(y-1)2= ,

5 2

其圆心为(2,1),直径|AB|= 10. x2 y2 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), A、B的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2. y1-y2 1 1 又kAB=-2,即 =-2. x1-x2 x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 A、B在椭圆上,有a2+b2=1,a2+b2=1, x2-x2 y2-y2 1 2 1 2 得 a2 + b2 =0. ?y1+y2??y1-y2? 1 b2 =- = , a2 ?x1+x2??x1-x2? 4 ∴a2=4b2.

椭圆方程化为 x2+4y2=4b2, 1 直线 AB 的方程为 y-1=- (x-2), 2 1 即 y=-2x+2. ? 1 ? 2 ?- x+2?2=4b2, 把直线方程代入椭圆方程得 x +4 2 ? ? 即 x2-4x+8-2b2=0, ∴x1+x2=4,x1x2=8-2b2. 1+k2|x1-x2|. ? ? 1? ? 即 10=?1+?-2?2?[(x1+x2)2-4x1x2] ? ? ?? 5 =4[16-4(8-2b2)], ∵|AB|= 解之得 b2=3,a2=12. x2 y2 所求椭圆方程为12+ 3 =1.

探究提高

凡涉及到弦中点问题常用“点差

法”,也可以将直线方程代入曲线方程,得 到一个一元二次方程,利用根与系数关系求 解.

变式训练3 已知椭圆的两个焦点分别为F1(0, 2 2 -2 2),F2(0,2 2),离心率为e= 3 . (1)求椭圆方程; (2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于 不同的两点M、N,且线段MN中点的横坐 1 标为-2,求直线l的倾斜角的取值范围.

x2 y 2 解 (1)根据题意可设椭圆方程为 2 + 2 =1 b a c 2 2 (a>b>0),其中 c 为半焦距,c= a -b ,e= a 2 2 = ,c=2 2, 3 y2 ∴a=3,b=1,∴椭圆方程为 x2+ =1. 9 π (2)由题意知,直线的倾斜角不可能为 0 和 , 2 ∴设直线方程为 y=kx+m (k≠0). ?y=kx+m ? ? y2 ?x2+ =1 9 ? (k2+9)x2+2kmx+m2-9=0,

Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0, 即 k2-m2+9>0① -2km 设 M(x1, 1), 2, 2), x1+x2= 2 y N(x y 则 , k +9 1 ∵线段 MN 中点的横坐标为- , 2 -2km k2+9 1 1 ∴ ·2 =- ,即 m= ② 2 k +9 2 2k 把②代入①解得 k2>3, k> 3或 k<- 3, 即 ∴直线 l 的倾斜角的取值范围为 ?π π? ?π 2π? ? , ?∪? , ?. ?3 2? ?2 3? ? ? ? ?

题型四

圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题 x2 例4 已知椭圆 2 +y2=1的左焦点为F,O为坐 标原点. (1)求过点O、F,并且与直线l:x=-2相切 的圆的方程; (2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交 于点G,求点G横坐标的取值范围.
思维启迪:(1)求出圆心和半径,得出圆的标准 方程; (2)设直线AB的点斜式方程,由已知得出线段AB 的垂直平分线方程,利用求值域的方法求解.

(1)∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0), 1 ∵圆过点 O,F,∴圆心 M 在直线 x=- 上. 2 ? 1 ? ? 设 M?-2,t?,则圆半径 ? ? ? ?? 1? ? 3 ?? ? r=??-2?-?-2??= , ? 2 ? ?? ? ? 1? 3 ? ?2 2 由|OM|=r,得 ?-2? +t =2,解得 ? ? t=± 2, ? 1?2 9 ? ? 2 ∴所求圆的方程为?x+2? +(y± 2) = . 4 ? ? 解

(2)设直线 AB 的方程为 y=k(x+1) (k≠0), x2 2 代入 +y =1, 2 整 理 得 (1 + 2k2)x2 + 4k2x + 2k2 - 2 =0. ∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F 且不 垂直于 x 轴, ∴方程有两个不等实根. 记 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 N(x0,y0), 4k2 则 x1+x2=- 2 , 2k +1 1 2k2 x0= (x1+x2)=- 2 , 2 2k +1 y0=k(x0+1)= k 2k2+1

∴AB 的垂直平分线 NG 的方程为 1 y-y0=- (x-x0). k 令 y=0,得 2k2 k2 xG=x0+ky0=- 2 + 2 2k +1 2k +1 k2 1 1 =- 2 =- + 2 , 2 4k +2 2k +1 1 ∵k≠0,∴- <xG<0, 2 ∴点
? 1 ? ? G 横坐标的取值范围为?-2,0?. ? ? ?

探究提高

直线与圆锥曲线位置关系的判

断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透 对函数方程思想和数形结合思想的考查,一 直是高考考查的重点,特别是焦点弦和中点 弦等问题,涉及中点公式、根与系数的关系 以及设而不求、整体代入的技巧和方法,也 是考查数学思想方法的热点题型.

变式训练4

已知过点A (-4,0)的动直线l 与
???? ??? ? AC ? 时,? 4 A B .

抛物线G :x2=2py(p>0)相交于B 、C 两点. 当直线l 的斜率是
1 2

(1)求抛物线G的方程; (2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b, 求b的取值范围.



(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜 1 1 率是2时,l的方程为y=2(x+4), 即x=2y-4. ?x2=2py, ? 由? 得2y2-(8+p)y+8=0, ?x=2y-4 ? ?y1y2=4, ① ? ∴? 8+p ② ?y1+y2= 2 , ? → → 又∵AC=4AB,∴y2=4y1,③ 由①②③及p>0得:y1=1,y2=4,p=2, 则抛物线G的方程为x2=4y.

(2)设 l:y=k(x+4),BC 的中点坐标为(x0,y0),

?x2=4y ? 由? 得 x2-4kx-16k=0,④ ?y=k?x+4? ?
xC+xB ∴x0= =2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k. 2 ∴线段 BC 的中垂线方程为 1 y-2k2-4k=- (x-2k), k ∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为: b=2k2+4k+2=2(k+1)2, 对于方程④,由 Δ=16k2+64k>0 得 k>0 或 k<-4. ∴b∈(2,+∞).

规范解答 17.圆锥曲线中的函数思想 x2 y2 试题: 分)已知椭圆 + =1 上的两个动点 (12 4 2 P,Q,设 P(x1,y1),Q(x2,y2)且 x1+x2=2. (1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定 点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B,求|PB| 的最小值及相应的 P 点坐标
审题视角 (1)由x1+x2=2可得PQ的中点横坐

标,引入参数PQ中点的纵坐标,先求kPQ,利 用直线PQ的方程求解.(2)建立|PB|关于动点 坐标的目标函数,利用函数的性质求最值.

规范解答 (1)证明 ∵P(x1,y1),Q(x2,y2), 且 x1+x2=2.

?x2+2y2=4 y1-y2 1 1 1 x1+x2 当 x1≠x2 时,由? 2 ,得 =-2· . 2 x1-x2 y1+y2 ?x2+2y2=4
y1-y2 1 设线段 PQ 的中点 N(1, n)∴kPQ= =-2n, 分] [3 x1-x2 ∴线段 PQ 的垂直平分线方程为 y-n=2n(x-1), ∴(2x-1)n-y=0, 1 该直线恒过一个定点 A(2,0).[6 分] 1 当 x1=x2 时,线段 PQ 的中垂线也过定点 A(2,0). 1 综上,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A(2,0)[7 分]

(2)解

由于点B与点A关于原点O对称, 1 故点B(-2,0).[8分] ∵-2≤x1≤2,-2≤x2≤2, ∴x1=2-x2∈[0,2], 12 2 1 7 9 2 2 |PB| =(x1+2) +y1=2(x1+1) +4≥4[10分] 3 ∴当点P的坐标为(0,± 2)时,|PB|min=2. [12分]

批阅笔记

(1)本题是圆锥曲线中的综合问

题,涉及到了定点问题以及最值问题.求圆 锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问 题,通常是先建立一个目标函数,然后利用 函数的单调性、函数的图象、函数的有界性 或重要不等式等求最值,本题是建立二次函 数、利用二次函数的图象求最值. (2)本题的第一个易错点是,表达不出线段PQ 的中垂线方程,原因是想不到引入参数表示 PQ的中点.第二个易错点是,易忽视P点坐标 的取值范围.实质上是忽视了椭圆的范围

思想方法 感悟提高
方法与技巧 1.解决直线与椭圆的位置关系问题,如果直 线与椭圆有两个不同交点,①若根据已知条件 能求出两交点的坐标,这不失为一种彻底有效 的方法;②若两交点的坐标不好表示,可将直 x2 y2 线方程 y=kx+c 代入椭圆方程 2+ 2=1 整理 a b 出关于 x(或 y)的一元二次方程 Ax2+Bx+C= 0,Δ=B2-4AC >0,可利用根与系数之间的关 2 Δ 系求弦长(弦长为 1+k ); |A|

2. 弦的中点问题,以及与原点连线的垂直等 问题。①求弦长可注意弦是否过椭圆焦点; ②弦的中点问题还可利用“点差法”和“对 称法” ③解决 ;
AO ? BO

AO ? BO

,可以利用向量

的充要条件即 AO

? BO ? 0

失误与防范 在解决直线与抛物线的位置关系时,要特别注 意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况

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