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2江苏省江阴市第二中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题


江苏省江阴市第二中学 2012-2013 学年高一上学期 期中考试数学试题
命题人:周孝东 审核人:贡建达 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 若 1 ? ? x , x
2

?, 则x ?
y 4 3 2 1 O A C

2.若集合 A 满足 {1} ? A ? {1

, 3 , 5} ,则集合 A= 3. 幂函数 f ( x ) 的图象经过 ( 2 ,
2 2 ) ,则 f ( 4 ) ? _______________

4.函数 f ( x ) ? log a ( 2 x ? 1) ? 2 ( a ? 0 且 a ? 1) 必过定点 5. 如图,函数 f ( x ) 的图象是折线段 A B C ,其中 A, B, C 的坐标
4 ( 0 (6 4 分别为 (0,),2,), ,) ,则 f ( f (0 )) ?

B 1 2 3 4 5 6 第 5 题图

x

6.函数 y ? lg( 3 ? 4 x ) + x 的定义域为_ 7.设 a ? lo g 0 .6 0 .8 , b ? log (从小到大排)
0 . 9 , c ? 1 .1
0 .8

_. ,则 a、 b、 c 由小到大的顺序是_ _.

1 .1

8. 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ( a 2 ? 1) x ? ( a ? 2 ) 的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,则实数 a 的取值范围为 ______________ . 9. 已知 lg 2 ? a , 10
b

? 3 ,

则 lg108=_______________ .(用 a, b 表示)

2 10. A ? ? x | x ? x ? 6 ? 0 ? , B ? ? x | m x ? 1 ? 0 ? , 且 A ? B ? A , 则 m 的 取 值 集 合 是

______ . 11.设 f ( x ) 是定义 在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ? x ? a ( a 为常数), 则
x
m]

f ( ? 1) ?

.

12. 若 f(x)为 R 上的偶函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 ( x ? 1) f ( x ) ? 0 的解 集为
2

.

13. 若函数 f ( x ) ? k x , x ? R 的图像上的任意一点都在函数 g ( x ) ? 1 ? kx , x ? R 的下方, 则 实数 k 的取值范围是 14.下列判断正确的是 . (把正确的序号都填上).

1

? ?x-1,x>1 ①函数 y=|x-1|与 y=? 是同一函数; ?1-x,x<1 ?

②若函数 f ( x ) 在区间 ( ? ? , 0 ) 上递增,在区间 [0, , ? ? ) 上也递增,则函数 f ( x ) 必在 R 上递增; ③对定义在 R 上的函数 f ( x ) ,若 f ( 2 ) ? f ( ? 2 ) ,则函数 f ( x ) 必不是偶函数; ④函数 f ( x ) ?
1 x

在 ( ? ? , 0 ) ? (0, ? ? ) 上单调递减;

⑤若 x1 是函数 f ? x ? 的零点,且 m ? x1 ? n ,那么 f ? m ? ? f ? n ? ? 0 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.(本题14分)已知集合A={x| x ? 6 x ? 5 ? 0 },B={x|?1≤x<1},
2

(1)求 A ? B ;

(2)若全集U=R,求CU(A∪B);

(3)若 C ? ?x x ? a ? ,且 B ? C ? B ,求 a 的取值范围.

16. (本题 14 分)计算下列各式的值: (1) (ln 5 ) ? ( )
0

9

? 0 .5

?

(1 ?

2) ? 2
2

log

4

2



4

(2) log 2 1 ? lg 3 ? log

3

2 ? lg 5

2

17.(本题 14 分)已知 f ? x ? ? log (1)求 f ? x ? 的定义域;

1? x
a

1? x

?a

? 0 , 且 a ? 1?

(2)求使 f ? x ? >0 成立的 x 的取值范围.

18. (本题 16 分) 已知函数 f ( x ) ? (1)求实数 a , b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的值域;

1? a ?2 2
x

x

?b

是奇函数, 并且函数 f ( x ) 的图像经过点 (1, 3 ) ,

(3)证明函数 f ( x ) 在(0,+ ? ) 上单调递减,并写出 f ( x ) 的单调区间.

3

19.(本题 16 分)已知二次函数 (1)求函数
f (x)

f (x)

满足

f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 4 x ;
2

的解析式 ;

2 (2)若 f ( x ) ? a 在 x ? ?? 1, ? 上恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)求当 x ? ?0, a ? ( a >0)时

f (x)

的最大值 g ( a ) .

20. (本题 16 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况 下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的 车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千 米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时) f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

4

江苏省江阴市第二中学 2012-2013 学年高一上学期期中考试数学试 题答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1、 -1 2、 {3,5}或{1,3,5} 3、
1 2

4、(0,2)

5、

2

6、 [ 0 , 3 )
4
? ? 1 1? ? 2?

7、 b ? a ? c

8、 (-2,1)

9、

2 a ? 3b

10、 m ? ? 0 , , ?
3

11、 -2

12、(-3,0)∪(1,3)

13、 (-4,0 ]

14、



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15、 A ? ?x ? 5 ? x ? ? 1? ·····································( 1 ) ··········· ·········· ··········· ····· ·········· ··········· ··········· ···· (1) A ? B = ? ;········································· ( ··········· ·········· ··········· ········· ·········· ··········· ··········· ········· (2)CU(A∪B)= ( ?? , ? 5 ] ? [1, ?? ) ······························ ··········· ·········· ········ ( ·········· ··········· ········ (3) a 的取值范围为 a ? 1 ···································· ··································· (14 ·········· ··········· ··········· ··· 16、⑴
2 3

5 ) 10 ) ) 7 )

··············································( ··········· ·········· ··········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·········· ···

⑵-1 ·············································( 14 ) ··········· ·········· ··········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·········· ·· 17、解:(1)?
1? x 1? x ? 0 ,? x ?1 x ?1 ? 0 , 即 ? x ? 1 ?? x ? 1 ? ? 0 .

? ? 1 ? x ? 1,? f ? x ?的定义域为

? ? 1, ? ····························· ( 4 ) 1 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········
f ? x ? >0,则
1? x 1? x ?1

(2)解:①当 a>1 时,

,则

1? x x ?1

? 1 ? 0,

2x x ?1

? 0

? 2 x ? x ? 1 ? ? 0 ,? 0 ? x ? 1

因此当 a>1 时,使 f ? x ? ? 0 的 x 的取值范围为(0,1). ················( ········ ········ ②当 0 ?
1? x 1? x 1? x 1? x
a ? 1 时,

9 )

f ?x ? ? 0, 则 0 ?

1? x 1? x

?1

? 1 ? 0,



解得 ? 1 ?
? 0,

x ? 0

因此 当 0 ?

a ? 1 时,

使 f ? x ? ? 0 的 x 的取值范围为(-1,0). ··········· ····· ( ·····
5

14 )

18、解:⑴法一:由题意得 ?

? f (1 ) ? 3 ? f ( ? 1) ? ? 3

··········· ··········· ······ ( ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ·······

2 )

解得 a ? 1, b ? ? 1 .经检验 f ( x ) 为奇函数 ························ 5) ··········· ·········· ·· ( ·········· ··········· ·· 法二? f ( x ) 是奇函数,? f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,即
1? a ?2 2
?x ?x

?b

?

1? a ?2 2
x

x

?b

? 0 ,得 ( ab ? 1) 2

2x

? 2(a ? b)2

x

? ab ? 1 ? 0 ,

所以 ?

? ab ? 1 ? 0 ?a ? b ? 0

,得 ?

?a ? 1

?a ? ?1 或? , ?b ? ? 1 ?b ? 1
? 3 ,即 2 a ? 3 b ? 5

…………………………3 分

又 f (1) ? 3 ,所以

1 ? 2a 2?b

所以 a ? 1, b ? ? 1 .
1? 2 2
?2
x

…………………………………………………………5 分
2 2
x

x

(2)法一: f ( x ) ?

x

?1

=1 ?

?1
x

, ·····························( 7 ) ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ·······
2 2
x

? 0



2

x

? 1 ? ? 1, 且 2

?1 ? 0



?1

? ? 2或 2

2
x

?1

? 0



f ( x ) ? ? 1或 f ( x ) ? 1

∴ f ( x )的值域为(

- ? , 1) (1, ? )······························( 10) - ? ? ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········
1? 2 2
x x

法二:由

f (x) ?

?1

得2 ?
x

y ?1 y ?1

··········· ··········· ······· ( ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········

7 )

?2

x

? 0



y ?1 y ?1

? 0

解得 y ? ? 1或 y ? 1

∴ f ( x )的值域为(

- ? , 1) (1, ? )····························· ( 10 ) - ? ? ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········
2(2 (2
x1 x2

⑶ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? …………
f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) >0

? 2
x2

x1

) ? 1)

? 1 )( 2

∴函数 f ( x ) 在(0,+ ? ) 上单调递减 ∵函数 f ( x ) 是奇函数,∴ f ( x ) 在(-∞,0)上也是递减 ··················( ··········· ······· ·········· ······· 15 )

6

∴ f ( x ) 的单调减区间为(-∞,0),(0,+ ? ) ·························( ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···
2

16 )

19、(1) f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 ····································( 5) ··········· ·········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ···
2 ⑵ f ( x ) 在 x ? ?? 1, ? 上的最小值为 f (1) ? ? 2 ························( ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··

8)

∴ a ? ? 2 ········································· ( 10 ) ··········· ·········· ··········· ········· ·········· ··········· ··········· ·········
?? 1 g (a ) ? ? 2 ⑶ ?a ? 2a ? 1 0 ? a ? 2 a ? 2

···························· 16 ) ··········· ·········· ······ ( ·········· ··········· ······

20、(1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60; ···························( ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ····· 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,
?200a+b=0, ? 再由已知得? 解得 ? ?20a+b=60,

3 )

?a=-3, ? 200 ?b= 3 .
1

··········· ··········· ···· ( 7 ) ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ·····

0≤x<20, ?60, ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 ··········· ········ ( 8 ) ··········· ········ ·········· ········· ?3?200-x?,20≤x≤200. ?

0≤x<20, ?60x, ? (2)依题意并由(1)可得 f(x)=?1 ? ?3x?200-x?,20≤x≤200.

··········· ········· ··········· ········ ( ·········· ·········

9 )

当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200; ········· 12 ) ········ ( ········ 1 10000 1 2 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)= ? ? x ? 100 ? ? . 3 3 3 10000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10000 ≈3333. ·············· ( 15 ) ··········· ··· ·········· ···· 3 16 )

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. ·····( ····· ····

7


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