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集合与简易逻辑


第一章

集合与简易逻辑

¤第一部分·集合与集合运算¤
◆内容概述◆ 集合是现代数学的基本概念,专门研究集合的理论叫做集合论。 “疯人数学家”康托尔 (Cantor,G.F.P,1845-1918 年,德国人)是集合论的创始者。目前集合论的基本思想已渗透 到现代数学的所有领域。 集合的思想、 集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函 数、数列、方程和不等式、立体几何、解析几何等中都被广泛的使用。要求理解集合、子集、 补集、交集、并集的概念。了解空集和全集的意义。了解属于、包含、相等关系的意义。掌 握有关术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合。 ◆知识点拨◆ ※< 1 >※ 集合与元素。一般地,某些指定的对象 集在一起就成为一个集合(确定性) 。集 ..... 合中每个对象叫做这个集合的元素。 【注意】①集合的确定性如何体现?(例如很高的山,一条快乐的鱼能成为一个集合么) ②元素与集合的关系。 (属于 ? 、不属于 ? ) 【例题】设集合 A ? {x | x ? 2k , k ? Z}, B ? {x | x ? 2k ? 1, k ? Z} ,若 a ? A, b ? B ,试 判断 a+b 与 A、B 的关系。 〖分析〗两个集合中的 k 不可以理解成是同一个变量,即解作:

? a ? A,? a ? 2k ,? b ? B,? b ? 2k ? 1,? a ? b ? 4k ? 1, k ? Z ? , 此法失去任意性。
〖解答〗

? a ? A,? a ? 2k1 , k1 ? Z ,? b ? B,? b ? 2k 2 ? 1, k 2 ? Z , ? a ? b ? 2(k1 ? k 2 ) ? 1. ? k1 ? k 2 ? Z ,? a ? b ? B, a ? b ? A.

③集合中元素的三个特征。 (确定性、互异性、无序性) 【例题】已知 A ? {a ? 3,2a ? 1, a 2 ? 1} ,其中 a ? R 。 (1)若 ? 3 ? A ,求实数 a 的值; (2)当 a 为何值时,集合 A 的表示不正确?

(1)显然 ? 3 ? a 2 ? 1,? ?3 ? a ? 3或 ? 3 ? 2a ? 1, 解得a ? 0或a ? ?1;
〖解答〗

(2)由集合中元素的互异性 , 当3个元素有重复情况时 , 集合A表示不正确 , 即 : a ? 3 ? 2a ? 1或a ? 3 ? a 2 ? 1或2a ? 1 ? a 2 ? 1时, A的表示不正确 ,

? a ? R,? a ? ?2.
④集合的表示方法有哪些?(列举法、描述法、图示法、区间法) 【思考】 各表示方法的特点, 比如描述法注意限制决定条件、 条件决定元素、 元素决定集合。 【例题 1】用符号语言表示图中阴影部分的集合,

〖解答〗(1)(CU A) ? B或B ? A或B ? ( A ? B);(2)CU ( A ? B) ? ( A ? B); (3)(C A B) ? C 。

1

【例题 2】

已知集合P ? y ? x 2 ? 1 ,Q ? y | y ? x 2 ? 1 ,R ? x y ? x 2 ? 1 , M ?

??x, y ? | y ? x

?

2

? 1 , N ? ?x | x ? 1?, 则?

?

?

?

?

?

?

?

A.P=M B.Q=R C.R=M D.Q=N 〖解答〗D.集合中的许多概念都是用“元素”来定义的,因此遇到集合问题时首先要弄清 楚集合中的元素是什么,这是解题的关键。

? ?纯虚数 ?虚数 : P ? ?非纯虚数 ? ? ?无理数 — —无限不循环小数 ? ? ? ⑤常用数集记住了吗? ( 复数 : C ? ) ?分数 ? ? ?实数 : R ? ?正整数 : N ? ? ? ? ? 有理数 : Q 自然数 : N ? ? ? ? ? 整数 : Z ?零 ? ? ? ? ? ? ? ? ?负整数 ? ? ?
※< 2 >※ 集合与集合之间的关系。 (对于集合 A、B、C、U)

?子集:x ? A ? x ? B, 记A ? B, 另有A ? A; ? ? A ? ? ①包含关系: ?集合相等:A ? B, B ? A ? A ? B ?真子集:A ? B且A ? B, 记A ? B(或A ? B),另有? ? A( A非空) ? ? ? ? ?

个集合的全部元素,用 U表示。 ?全集:含有所研究的各 ? ?补集:CU A ? {x | x ? U , 且x ? A}(注意前提是A ? U ),另有CU A ? B ? ②运算关系: ?? A ? B ? ?, A ? B ? U . ?交集:A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B}; 并集:A ? B ? {x | x ? A, 或x ? B}. ? ? ?差集:A ? B ? A / B ? {x | x ? A, 且x ? B} ? A ? ( A ? B).
? A ? B, B ? C ? A ? C (传递性) ? ? A ? A ? A, A ? ? ? ?, A ? CU A ? ?, A ? B ? B ? A; ? A ? A ? A, A ? ? ? A, A ? CU A ? U , A ? B ? B ? A; ? 把集合变大) ③重要性质及结论: ? A ? B ? A(或B ) ? A ? B; (交集把集合变小,并集 ?C ( A ? B ) ? (C A) ? (C B ), C ( A ? B ) ? (C A) ? (C B ); U U U U U ? U ? A ? B ? A ? A ? B, A ? B ? A ? B ? B; ? 0 1 n 其子集个数为 2 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn . ?n个元素构成的有限集合
【注意】ⅰ)注重数与形的结合是解集合问题的常用技巧,解题时要尽可能地借助数轴(多 用于集合运算,含绝对值不等式求解,标根法等) 、直角坐标系或文氏图(多用于集合关系 的表示等)等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想 方法解决。 【例题 1】 (08 北京 1)已知全集 U=R,集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3}, B ? {x | x ? ?1或x ? 4} , 那么集合 A ? (CU B) 等于( D )
2

A.{x | ?2 ? x ? 4} B.{x | x ? 3或x ? 4} C. {x | ?2 ? x ? ?1} D.{x | ?1 ? x ? 3} 【例题 2( 】05 全国Ⅰ理 2) 设 I 为全集, S1 , S 2 , S 3 是 I 的三个非空子集且 S1 ? S 2 ? S3 ? I , 则下面判断正确的是( ) B. S1 ? (CI S 2 ? CI S3 ) D. S1 ? (CI S 2 ? CI S3 )

A. CI S1 ? (S 2 ? S3 ) ? ? C. CI S1 ? CI S 2 ? CI S3 ? ?

〖解答〗C.本题是抽象集合的关系问题,结合已知画出文氏图观察即可,也可以用特例法。 【例题 3】已知集合 A ? {x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0}, B ? {x | ( x ? a)(x ? 3a) ? 0}.

(1)若A ? B, 求a的取值范围; (2)若A ? B ? ?, 求a的取值范围; (3)若A ? B ?
?

{x | 3 ? x ? 4}, 求a的取值范围。

A ? {x | 2 ? x ? 4}, B集合a与3a的大小不确定需讨论 (1)a ? 0 ? a ? x ? 3a ?a ? 2 ?3a ? 2 4 ? A? B ? ? ? ? a ? 2(等号不同时取 )同理a ? 0 ? ? ?? ? 3 ?3a ? 4 ?a ? 4 〖解答〗 ?a ? 4 ?a ? 2 4 2 综上a ? [ ,2]; (2)a ? 0 ? ? ? 0 ? a ? 或a ? 4, a ? 0 ? ? ? 3 3 ?3a ? 2 ?3a ? 4 2 a ? 0, a ? 0也成立,综上 a ? 4或a ? .(3)显然a ? 0且a ? 3。 3
☆方法技巧☆ 处理集合运算问题先确定集合是前提, 同时要清楚集合中的元素是什么, 对 于含参数的集合要注意讨论, 然后根据集合之间的关系借助于数轴列出符合题意的不等式组 求解。 ⅱ)注意对空集的讨论,空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 【例题】 集合 A ? x | x ? 2x ? 3 ? 0 ,B ? ?x | ax ? 1? ,若B ? A, 则实数 a 的值构成的集
2

?

?

合为



〖解答〗 {?1,0, } 。注意对 B ? ?, B ? ? 情况的讨论,即对 a ? 0, a ? 0 进行讨论。 ⅲ)注重一些结论的应用。 【例题 1】 (06 重庆理 1)已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则 集合 (CU A) ? (CU B) =( ) A. {1,6} B. {4,5} C. {2,3,4,5,7} D. {1,2,3,6,7}

1 3

〖解答〗D.利用德摩根定律 (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) 即可。 【例题 2】若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有( A. A ? C B. C ? A C. A ? C D. A ? ? )

〖解答〗A.? A ? ( A ? B) ? ( B ? C ) ? C,? A ? C. 本题也可以由图示法求得。 【例题 3】设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是( A.1 B.3 C.4 D. 8
3



〖解答〗C.由已知只需求集合 A 的子集个数即可,即 2 ? 4 个。
2

ⅳ)会用“补集思想”解决问题(排除法、间接法) 。 【例题】已知函数 f ?x? ? 4x 2 ? 2? p ? 2?x ? 2 p 2 ? p ? 1,在区间 ?? 1,1? 上至少存在一个实 数 c 使 f(c)>0,求实数 p 的取值范围。 〖解答〗设所求 p 的范围为 A,

1?上函数 f ? x ? ? 4 x 2 ? 2? p ? 2?x ? 2 p 2 ? p ? 1 ? 0 , 则 C I A ? p 在区间?? 1,
注意到函数 f ?x ? 的图象开口向上,∴ C I A ? ? p

?

?

? ? ? ?

f ?1? ? ?2 p 2 ? 3 p ? 9 ? 0 ? ? , ? f ?? 1? ? ?2 p 2 ? p ? 1 ? 0 ? ?

? ? ? p p ? ?3或p ? ?

? 3? ? ,∴ A ? ? p ? 3 ? p ? 2? ?

3? ?。 2?

¤第二部分·简易逻辑¤
◆内容概述◆ 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科, 是人们认识和研究问题不可缺少的工具。 对 本部分的考查主要分两方面,一是直接考查命题真假的判定、复合命题的组成、四种命题及 充要条件的判定,以客观题为主;二是体现其工具作用,从理解题意、分析解决问题、叙述 问题、寻找等价问题等进行广义上的考查。要求我们理解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的 含义。理解四种命题及其相互关系。掌握充要条件的意义。 ◆知识点拨◆ ※< 3 >※ 语句与命题。可以判断真假 的语句叫做命题,一般为陈述句(也有反问句) 。 .... 【例题】 下列语句为命题的是 , ①集合 A={x|x=2n,n∈Ζ }是奇数集;②2x=1;③x<3; 2 ④x +1≥0;⑤小于直角的角 ;⑥很高的山顶常常终年积雪 ;⑦垂直于同一条直线的两条直线 2 必平行吗?⑧求证:若 x∈R,方程 x -x+1=0 无实根。 〖解答〗①是假命题;④是真命题。②③为开语句(含有变量) ,在给出变量值之前无法判 断;⑤⑥有不确定因素;⑦是疑问句不是命题;⑧是祈使句不是命题(例:把门关上) 。 【注意】1.区分好逻辑联结词与日常用语。 常用的逻辑联结词有“或”(∪)具有选择性,即至少有一个成立; “且”(∩)具有兼有 性,即同时成立; “非”(?)具有否定性,即对原命题的否定。 2.命题按是否含有逻辑联结词可分为简单命题与复合命题(由简单命题和逻辑联结词构成 的命题) 。对复合命题真值的判断可分为三步:①确定复合命题的构成形式;②判断各简单 命题的真值;③用真值表判断复合命题的真值。附真值表如下 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p且q 真 假 假 假 p或q 真 真 真 假

【例题 1】命题 p:若 a,b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件。命题 q:函数

y ? | x ? 1 | ?2 的定义域是 (??,?1] ? [3,??) ,则( D )
4

A.p 或 q 为假 B.p 且 q 为真 C.p 真 q 假 D.p 假 q 真 【例题 2】如果命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假,则( D ) A.命题 p 和命题 q 都是假命题 B.命题 p 和命题 q 都是真命题 C.命题 p 和命题非 q 真值不同 D.命题 p 和命题非 q 真值相同 ☆方法技巧☆ 由真值表中原命题与命题的否定之间的真值相反 的关系, 我们能得到一种证 .... 明问题的重要方法,即反证法(从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明原命题成立的 证明方法) ,属于间接证法。当直接证明比较困难,如结论中含有“至多” 、 “至少” 、 “唯一” 等语句时或证明一些存在性问题时往往采用此法。其证明命题的一般步骤如下: ⑴假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立(反设) ; ⑵从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾(归谬) ; ⑶由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确(判定) 。 【例题 3】证明:不论 x,y 取任何非零实数,等式

1 1 1 ? ? 总不成立。 x y x? y

〖证明〗 假设存在非零实数 x0 y 0 使

1 1 1 2 2 ? ? 成立, 带入整理有 x0 ? y0 ? x0 y0 ? 0 , x y x? y

即 ( x0 ?

y0 2 3 2 ) ? y 0 ? 0,? x0 , y 0 ? 0 ,出现矛盾,所以假设不成立,原命题成立。 2 4
1 。 2

【例题 4】若 f ( x) ? x 2 ? ax ? b ,试证|f(0)|,|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个大于等于

〖证明〗

?| f (0) |? 1 / 2 ?? 1 / 2 ? b ? 1 / 2?? (1) ?? 1 / 2 ? b ? 1 / 2 ? ? 假设?| f (1) |? 1 / 2 ? ?? 1 / 2 ? 1 ? a ? b ? 1 / 2?? (2) ? ? ?? 3 / 2 ? b ? ?1 / 2, ?| f (?1) |? 1 / 2 ?? 1 / 2 ? 1 ? a ? b ? 1 / 2?? (3) ? ? 方法二: ? 2 ?| 1 ? a ? b ? 1 ? a ? b ? 2b |?| f (1) ? f (?1) ? 2 f (0) |? 2 | f (0) | ? | f (1) | ? | f (?1) |? 2,产生矛盾, ?略。

不等式组无解,即产生 矛盾,所以假设错误, 原命题成立。

※< 4 >※ 命题的四种形式及其相互关系。命题由条件和结论两部分构成,即一般都可以 写成若 p 则 q 的形式,附四种形式关系图: 【思考】①原命题为真,它的逆命题、否 命题不一定为真; ②互为逆否命题的两个命题同真假。 ☆ 方法技巧 ☆ 当一个命题的真值难以 判断时, 可以考虑其逆否命题的真值判断。 【例题 1】设原命题是“已知 a,b,c,d 是 实数,若 a=b 且 c=d,则 a+c=b+d”写出它 的逆命题、 否命题、 逆否命题并判断真值。 〖解答〗逆命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c=b+d,则 a=b 且 c=d。假(举反例即可) 否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a≠b 或 c≠d,则 a+c≠b+d。假(与逆命题真值相同) 逆否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a≠b 或 c≠d。真(与原命题真值相同) 2 2 【例题 2】在原命题“若 a>b,则 a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个
5

数为 3 个。 【思考】命题的四种形式中真(或假)命题的个数的特点(答:只能是偶数个) 【注意】①区分命题的否定(只否定结论)和否命题(条件和结论全否)。 *命题的否定只否定结论(若 p 则?q) ,强调语意的全面否定 ,其真值必然与原命题相反。 ....... *否命题对条件和结论要完全否定(若?p 则?q) ,其真值与原命题无关。 附常见否定词表: 原词语 否定词语 任意的 某个 = ≠ 能 不能 > ≤ p或q ?p 且?q
2 2

< ≥ p且q ?p 或?q

是 不是 都是 不都是

至多有一个 至少有 2 个 对所有 x 成立 存在某个 x 不成立

至少有一个 一个也没有 对任给 x 不成立 存在某 x 成立

【例题】若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0。写出其否定形式 。 2 2 〖解答〗若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 不全为 0。 【例题】命题“四边相等的四边形是正方形”的否命题是 。 〖解答〗四边不相等的四边形不是正方形。 ②确定命题为正确的要有严格的证明,确定命题为假只需举一个反例即可(证成立要严密, 不成立举反例) 。 ※< 5 >※ 充分条件与必要条件。 ☆方法技巧☆ 判断充分条件、必要条件及充要条件的方法主要有: (1)定义法:若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。定义反映了条件和结 论的因果关系, 其情况 (p 作条件, q 作结论时) 有 4 种, 即充分不必要条件 ( p ? q, q ?? p ) ; 充要条件( p ? q ) ; 必 要不 充分 条 件 ( q ? p, p ?? q ) ; 既 不 充分 也不 必 要 条 件 ( p ?? q.q ?? p ) 。表述时需要注意语序,一种是结论的什么条件是什么;另一种是条件 是结论的什么条件。 2 【例题 1】若 p:-2<a<0,0<b<1,q:关于 x 的方程 x +ax+b=0 有两个小于 1 的正根,则 p 是 q 的什么条件? 2 2 〖解答〗若 a=-1,b=1/2,则△=a -4b<0, 关于 x 的方程 x +ax+b=0 无实根,则 p ?? q 。 若关于 x 的方程 x +ax+b=0 有两个小于 1 的正根,不妨设为 x1,x2, 且 0<x1 ≤ x2<1, 则 0<x1+x2=-a<2,0<x1x2=b<1,则 q ? p ,可见 p 是 q 的必要不充分条件。 【例题 2】 命题 p: 不等式
2

x x 的解集为{x|0<x<1}, 命题 q: 在 Δ ABC 中, “A>B” ? x ?1 x ?1

是“sinA>sinB”成立的必要非充分条件,则( A ) A. p 真 q 假 B. p 且 q 为真 C. p 或 q 为假 D. p 假 q 真 (2)图示法(传递法) :对于较复杂的、多个的或抽象的关系,常用 ?, ?, ? 等符号进行 传递。 【例题】若 p 是 r 的充分不必要条件,r 是 q 的必要条件,r 又是 s 的充要 条件, q 是 s 的必要条件, 则(1)s 是 p 的什么条件; (2)r 是 q 的什么条件? 〖解答〗如右图,s 是 p 的必要不充分条件;r 是 q 的充要条件。 (图示中各 语句构成“顺次封闭环”,则互为充要条件) (3)集合法:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件(小集合能推出大集合,反之不可以,集合相等时互为充要条件); 【例题 1】已知 p:|2x-3|<1,q:x(x-3)<0,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 〖解答〗A.由已知 p:1<x<2,q:0<x<3,则 p ? q, q ?? p 。 【例题 2】 已知 p:x -8x-20>0,q:x -2x+1-a >0 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则正实数 a 的取
6
2 2 2

值范围是



〖分析〗从集合观点看,建立命题 p,q 相应的集合。 p : A ? {x | p( x)成立} ,

q : B ? {x | q( x)成立} ,那么有如下对应关系:
p是q的 集合 A、B
充分条件 充分非必要 必要条件 必要不充分 充要条件 既不充分也不必要条件

A? B

A? B
?

B? A

B? A
?

A?B

A ? B且B ? A

p : x ? 10或x ? ?2, 令A ? {x | x ? 10或x ? ?2}; q : x ? 1 ? a或x ? 1 ? a(a ? 0)
〖解答〗 令B ? {x | x ? 1 ? a或x ? 1 ? a, a ? 0},由p ? q, q ?? p,即A ? B。
?

?1 ? a ? ?2 利用数轴观察有 , 又a ? 0 ? 0 ? a ? 3. ? ?1 ? a ? 10
(4)等价命题法:即利用等价关系 " A ? B? ?B??A" 进行判断,对于条件或结论是不等 关系(或否定式)的命题,一般运用此法。 【例题】已知 p :| 5 x ? 2 |? 3, q :

1 ? 0 ,则 ? p是? q 的 x ? 4x ? 5
2

条件。

? ? ? ? 答: ? p是? q 充分不必要条件。可根据 q ? p, p ?? q 等价于 p? q, q ?? p 。

7


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