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【金版学案】2014-2015学年高中数学(必修五,苏教版)课时训练 3.2 一元二次不等式


数学· 必修 5(苏教版)

3. 2

一元二次不等式

情景导入: 某项体育活动中,甲小组有 n 人?n>5?,游戏规则是每人在规定 时间内从 A 地跑到 B 地可得?n-4?分,经测试甲小组至多有 5 人不 能在比赛时完成这个任务,甲小组在比赛中得分要多于 56 分,问至 少应有多少人参赛?,你能解决这个问题吗?学

完一元二次不等式后 你将很容易地解决这类问题.

? 基础巩固 一、选择题 1.不等式 2x2-x-1>0 的解集是(
? 1 ? A.?-2,1? ? ?

)

B.(1,+∞)

? 1? C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.?-∞,-2?∪(1,+∞) ? ?

1 解析:∵2x2-x-1>0?(2x+1)(x-1)>0?x<- 或 x>1. 2 答案:D

2.下列命题中正确的是( ) 2 A.不等式 x >1 的解集是{x|x>± 1} 2 B.不等式-4+4x-4x ≤0 的解集是 R C.不等式-4+4x-x2≥0 的解集是空集

5 D.不等式 x2-2ax-a- >0 的解集是 R 4 解析:结合三个二次的关系. 答案:B x-1 ≤0 的解集为( 2x+1

3.不等式
?

)

? 1 ? A.?-2,1? ? ? 1 ? B.?-2,1? ? ? ? 1? C.?-∞,-2?∪[1,+∞) ? ? ? 1? D.?-∞,-2?∪[1,+∞) ? ?

? ??x-1??2x+1?≤0, x-1 1 解析: ≤0?? ? - <x≤1. 2 2x+1 ? ?2x+1≠0

答案:A

4.不等式(x-1)(x-3)>0 的解集为( A.{x|x<1} B.{x|x>3} C.{x|x<1 或 x>3} D.{x|1<x<3}

)

解析:结合图象求解. 答案:C

5.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2) <0 的实数 x 的取值范围是( ) A.(0,2) B.(-2,1) C.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 解析:根据定义,x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2< 0,解得-2<x<1. 答案:B 二、填空题 6.(2013· 广东卷)不等式 x2+x-2<0 的解集为________. 解析:由 x2+x-2=(x+2)(x-1)<0 得-2<x<1. 答案:(-2,1) 7.已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析:x2-ax+2a>0 恒成立?Δ<0,即 a2-4×2a<0,解得 0 <a<8. 答案:(0,8) x2-9 8.不等式 >0 的解集是________. x-2 ?x+3??x-3? >0,利用穿根法,易得-3 x-2

解析:原不等式可化为

<x<2 或 x>3. 答案:(-3,2)∪(3,+∞)

三、解答题

9.求函数 y=lg(x2-2x-3)+

1 的定义域. -x +3x+10
2

?x2-2x-3>0, ? 解析:依题意可得? 2 ? ?-x +3x+10>0, ? ?x<-1或x>3, ∴? ?-2<x<5, ? ∴不等式组的解是-2<x<-1 或 3<x<5, ∴函数的定义域为(-2,-1)∪(3,5).

10.解不等式 ax2-(a+1)x+1<0(a>0).

解析:原不等式可化为:(ax-1)(x-1)<0(a>0), ? ? 1? ①当 0<a<1 时,原不等式的解集为?x?1<x<a?; ? ? ? ? ?1 ? ②当 a>1 时,原不等式的解集为?x?a<x<1? ; ? ? ? ③当 a=1 时,原不等式的解集为?.

? 能力升级 一、选择题 11 . (2013· 安 徽 卷 ) 已 知 一 元 二 次 不 等 式 f(x) < 0 的 解 集 为 ? ? 1 ? ?x?x<-1或x> ?,则 f(10x)>0 的解集为( ) 2 ? ? ? A.{x|x<-1 或 x>lg 2} B.{x|-1<x<lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2}

1 1 解析:由题意得-1<10x< ? x<lg =-lg 2. 2 2 答案:D

?x-a??x-b? ≥0 x-c 的解集为{x|-1≤x<2 或 x≥3},则 P(a+b,c)点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 12.(2013· 云南玉溪一中月考)关于 x 的不等式 C.第三象限 D.第四象限

解析:由解集的形式可知,c=2,a,b 中有一个是-1,另一个 是 3,∴a+b=-1+3=2,故 P(2,2). 答案:A 13.关于 x 的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0 的两根异号,且 负根的绝对值比正根大,那么 m 的取值范围是( ) A.(-3,0) B.(0,3) C.(-∞,-3)∪(0,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞)

解析:由题意知,

? ?x +x = 4m <0, m+3 ? 2m-1 ? x x = <0. ? m+3
1 2 1 2

Δ=16m2-4?m+3??2m-1?>0,

解得-3<m<0. 答案:A

二、填空题 a2 14.关于 x 的不等式 x +ax+ -c<0 的解集为(m,m+6),则 4 实数 c=________.
2

2 a2 a a? 解析:由 x +ax+ -c<0,得 ? <c, 即- c- <x< c x + ? ? 4 2 ? 2? ? a? ? a? a - ,∴? c-2?-?- c-2?=6.解得 c=9. 2 ? ? ? ? 答案:9

2

15.(2013· 云南玉溪一中月考)对于满足 0≤a≤4 的实数 a,使 x2 +ax>4x+a-3 恒成立的 x 的取值范围是________. 解析:原不等式等价于 x2+ax-4x-a+3>0,即(x-1)a+x2- ? ?f?0?>0, 2 4x + 3 > 0 , 令 f(a) = (x - 1)a + x - 4x + 3 , 则 有 ? ? ?f?4?>0 ?
2 ? ?x -4x+3>0, ? 2 ? x<-1 或 x>3. ? ?x -1>0

答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)

三、解答题 16.(2013· 上海卷)甲厂以 x 千克/小时的速度生产某种产品(生产 3 条件要求 1≤x≤10),每小时可获得利润是 100(5x+1- )元. x (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元, 求 x 的取 值范围. 3 3 解析:(1)根据题意 200(5x+1- )≥3 000? 5x-14- ≥0 即 5x2 x x -14x-3≥0? 3≤x≤10.

(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应选取 何种生产速度?并求最大利润.

解 析 : (2) 设 利 润 为 y 元 , 则 y =

? 3? 900 ×100 ?5x+1-x? = x ? ?

2 ? ? 1 1 ? ? 61 ? 4? 9×10 ? —3? — ? + ? ,故 x=6 时,ymax=457 500 元. ? x 6 ? 12 ? ? ? ?

答:按 6 千克/小时的生产速度,可使利润最大,且最大利润为 457 500 元.


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