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四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一数学3月月考试题 文


天全中学 2015 级高一(下)3 月月考试题数学(文科)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 、给出下面四个命题:① AB ? BA ?   ;② AB ? BC ? AC ;③ AB 0  -AC ? BC ; ④

0 ? AB ? 0 。其中正确的个数为 ( )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个



2、对于向量 a ? (1,?2) , b ? (2,1) ,则 ( ) A

a ∥b

B

a 与 b 的夹角为 60

C a ⊥b

D

a 与 b 的夹角为 30°


3、给出向量 a =(2,1), b =(3,4),则向量 a 在向量 b 方向上的投影为 ( A 2 5 B 2 C

5

D

10、

4、 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如右所示, 则此函数的解析式 ( ) A C

y ? 2 sin( 2 x ?

x ? ? y ? 2 sin( ? ) D y ? 2 sin( 2 x ? ) 2 3 3 ? ? ? ? 5、 向量 a ? ? ? ,1? , b ? ?1, ?1? , 且 a 与 b 的夹角为锐角, 则 ? 的取值范围为 (

2? ) 3

B

y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)



? ?1 B ? ?1 C ? ?1 D ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 6、当| a |=| b |,且 a 与 b 不共线时, a + b 与 a - b 的关系为( )
A A 平行 B 相等 C 相交但不垂直 D 垂直

? ? ? ? o 7、若平面向量 b 与向量 a =(1,-2)的夹角是 180 ,且| b |=3 5 ,则 b =( )
A (-3,6) B (3,-6) C (6,-3) D (-6,3) 8、在△ABC 中,a=10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( ) A

10 ? 3

B

10 3 ? 1

?

?
0

C

3 ?1


D

10 3

9、在△ABC 中,b= 3 ,c=3,B=30 ,则 a 等于(

3 3或2 3 A B 12 3 C D 2 10、设单位向量 e1,e2 的夹角为 60°,则向量 3e1+4e2 与向量 e1 的夹角的余弦值为(
A 3 . 4 B 5 37 C 25 . 37 D . 5 37 ) )

)

11、在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 的值为( A 79 B 69 C 5 D -5

12、已知△ABC 的三边长 a ? 3, b ? 5, c ? 6 ,则△ABC 的面积为 (

1

A

14

B

2 14

C

15

D

2 15

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13、向量 a ? (2,3) 与 b ? (?4, y) 共线,则 y = 14、设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c =2a, 3sin A=5sin B,则角 C=________ 15、已知△ABC 的三边分别是 a、b、c,且面积 S ?

a2 ? b2 ? c2 ,则角 C=____ 4

16、如图所示,半圆的直径 AB=2,O 为圆心,C 是半圆上不同于 A,B 的任意一点,若 P 为 → → → 半径 OC 上的动点,则(PA+PB)·PC的最小值是________.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(10 分)已知|a|=2,|b|=3,a 与 b 的夹角为 60°,c=5a+3b,d=3a+kb,当实数 k 为何值时,(1)c∥d; (2)c⊥d.

2

→ 18.(12 分)已知在△ABC 中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,-1),AD 为 BC 边上的高,求|AD |与点 D 的坐标.

19.(12 分)已知向量 m ? (1,1),向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n ;

3? , 且m ? n ? ?1. 4

(2)设向量 a ? (1,0),向量b ? (cosx, , sin x) ,其中 x ? R ,若 n ? a ? 0 ,试求 | n ? b | 的 取值范围.

20.(12 分)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A, (1)求 cos A 的值; 值.

(2)求 c 的

2

0

0

7

0

3

3

0

6

21.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,若 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值.

22.(12 分)已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

→ → (1)求证:AB⊥AD;

(2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两对角线所夹 锐角的余弦值.

4

天全中学 2015 级高一(下)3 月月考试题数学参考答案 班级: 姓名: 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 、给出下面四个命题:① AB ? BA ?   ;② AB ? BC ? AC ;③ AB 0  -AC ? BC ; ④

0 ? AB ? 0 。其中正确的个数为 ( )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

2、对于向量 a ? (1,?2) , b ? (2,1) ,则 ( ) A

a ∥b

B

a 与 b 的夹角为 60

C a ⊥b

D

a 与 b 的夹角为 30°


3、给出向量 a =(2,1), b =(3,4),则向量 a 在向量 b 方向上的投影为 ( A 2 5 B 2 C

5

D 10、

4、 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如右所示, 则此函数的解析式 ( ) A C

y ? 2 sin( 2 x ?

x ? ? y ? 2 sin( ? ) D y ? 2 sin( 2 x ? ) 2 3 3 ? ? ? ? 5、 向量 a ? ? ? ,1? , b ? ?1, ?1? , 且 a 与 b 的夹角为锐角, 则 ? 的取值范围为 (

2? ) 3

B

y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)



? ?1 B ? ?1 C ? ?1 D ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 6、当| a |=| b |,且 a 与 b 不共线时, a + b 与 a - b 的关系为( )
A A 平行 B 相等 C 相交但不垂直 D 垂直

? ? ? ? o 7、若平面向量 b 与向量 a =(1,-2)的夹角是 180 ,且| b |=3 5 ,则 b =( )
A (-3, 6) B (3,-6) C (6,-3) 8、在△ABC 中,a=10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( ) A D (-6,3)

10 ? 3

B

10 3 ? 1

?

?
0

C

3 ?1


D

10 3

9、在△ABC 中,b= 3 ,c=3,B=30 ,则 a 等于(

3 3或2 3 A B 12 3 C D 2 10、设单位向量 e1,e2 的夹角为 60°,则向量 3e1+4e2 与向量 e1 的夹角的余弦值为(
A 3 . 4 B 5 37 C 25 . 37 D . 5 37 ) )

)

11、在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 的值为( A 79 B 69 C 5 D -5

12、已知△ABC 的三边长 a ? 3, b ? 5, c ? 6 ,则△ABC 的面积为 (

5

A

14

B

2 14

C

15

D

2 15

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13、向量 a ? (2,3) 与 b ? (?4, y) 共线,则 y = 14、设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a, 3sin A=5sin B,则角 C=________ 15、已知△ABC 的三边分别是 a、b、c,且面积 S ?

a2 ? b2 ? c2 ,则角 C=____ 4

16、如图所示,半圆的直径 AB=2,O 为圆心,C 是半圆上不同于 A,B 的任意一点,若 P 为 → → → 半径 OC 上的动点,则(PA+PB)·PC的最小值是________.

一、选择题

题 号 答 案

1 B

2 C

3 B

4 A

5 D

6 D

7 A

8 B

9 C

10 D

11 D

12 B

二、填空题 13. -6 2π 1 4. 3 15. 45
0

1 16. - 2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(10 分)已知|a|=2,|b|=3,a 与 b 的夹角为 60°,c=5a+3b,d=3a+kb,当实数 k 为何值时,(1)c∥d; (2)c⊥d. 1 解 由题意得 a·b=|a||b|cos 60°=2×3× =3. 2 (1)当 c∥d,c=λ d,则 5a+3b=λ (3a+kb). 9 ∴3λ =5,且 kλ =3,∴k= . 5 (2)当 c⊥d 时,c·d=0,则(5a+3b)·(3a+kb)=0. 29 2 2 ∴15a +3kb +(9+5k)a·b=0,∴k=- . 14 → 18.(12 分)已知在△ABC 中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,-1),AD 为 BC 边上的高,求|AD |与点 D 的坐标. → → → 解:设 D 点坐标为(x,y),则AD=(x-2,y+1),BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2), → → → → ∵D 在直线 BC 上,即BD与BC共线,∴存在实数 λ ,使BD=λ BC, 即(x-3,y-2)=λ (-6,-3)∴?
?x-3=-6λ , ? ? ?y-2=-3λ .

∴x-3=2(y-2).

→ → 即 x-2y+1=0.①又∵AD⊥BC,∴AD·BC=0,即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0.②
6

由①②可得?

?x=1, ? ?y=1. ?

→ → 2 2 ∴|AD|= ?1-2? +2 = 5,即|AD|= 5,D(1,1).

19.(12 分)已知向量 m ? (1,1),向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n ;

3? , 且m ? n ? ?1. 4

(2)设向量 a ? (1,0),向量b ? (cosx, , sin x) ,其中 x ? R ,若 n ? a ? 0 ,试求 | n ? b | 的 取值范围.

? x ? y ? ?1 ? x ? ?1 ? x ? 0 ? 解: (1)令 n ? ( x, y ) 则? ?? 或? 3? 2 2 2 ? x ? y cos ? ?1 ? y ? 0 ? y ? ?1 ? 4 ?

? n ? (?1,0) 或 n ? (0,?1) ;
(2)? a ? (1,0), n ? a ? 0

?n ? (0,?1)



n ? b ? (cosx, , sin x ? 1)

n ? b = cos 2 x ? (sin 2 x ? 1) 2 = 2 ? 2 sin x = 2(1 ? sin x) ;
∵ ―1≤sinx≤1, ∴0≤

n ? b ≤2
(2)求 c 的

20.(12 分)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A, (1)求 cos A 的值; 值. 解: (1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A, 3 2 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得 = . sin A sin 2A 2sin Acos A 2 6 6 所以 = .故 cos A= . sin A 3 3 6 3 2 (2)由(1)知 cos A= ,所以 sin A= 1-cos A= . 3 3

2

0

0

7

1 2 2 2 2 又因为∠B=2∠A,所以 cos B=2cos A-1= .所以 sin B= 1-cos B= . 3 3
0 3

5 3 在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= . 9 5.

0

所以 c=
2 6 0

asin C = sin A

0

21.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,若 cos 2A-3cos(B+C)=1.
7

(1)求角 A 的大小;

(2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值.
0 3 0

解: (1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得
6

7

2cos A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0. 1 π 解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去). 因为 0<A<π ,所以 A= . 2 3 1 1 3 3 (2)由 S= bcsin A= bc· = bc=5 3,得 bc=20.又 b=5, 2 2 2 4 所以 c=4.由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A=25+16-20=21,故 a= 21.
2 2 2

2

b c bc 20 3 5 2 又由正弦定理,得 sin Bsin C= sin A· sin A= 2 ·sin A= × = . a a a 21 4 7
22.(12 分)已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). → → (1)求证:AB⊥AD;

(2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值. → → 解:(1)证明:A(2,1),B(3,2),D(-1,4).∴AB=(1,1 ),AD=(-3,3). → → → → 又∵AB·AD=1×(-3)+1×3=0,∴AB⊥AD. → → → → (2)∵AB⊥AD,若四边形 ABCD 为矩形,则AB=DC. 设 C 点的坐标为(x,y),则有(1,1)=(x+1,y-4), ∴?
?x+1=1, ? ?y-4=1, ?

∴?

?x=0, ? ?y=5. ?

→ → ∴点 C 的坐标为(0,5). 由于AC=(-2,4), BD=(-4,2),

→ → → → ∴AC·BD=(-2)×(-4)+4×2=16,|AC|=2 5,|BD|=2 5. 设对角线 AC 与 BD 的夹角为 θ ,则 cosθ = 16 4 = = >0. → → 20 5 |AC||BD|

AC·BD

→ →

4 故矩形 ABCD 两条对角线所夹锐角的余弦值为 5

8


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