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2012届浙江省高考数学文二轮专题复习课件:第01课时 不等式


专题一 不等式、函数与导数

1

1. 不 等 式 性 质 的 使 用 条 件 , 以 及 不 等 式 是 等 价 还是推出,这是不等式求解、证明、应用的基础. 2. 理 解 不 等 式 解 法 的 步 骤 及 其 原 理 , 一 次 、 二 次,绝对值不等式,都用公式法解;分式不等式,高 次不等式都用穿根法解.而指数、对数不等式是在保

证表达式有意义的情况下,用函数的单调性转化求解. ? f (x) ? g (x) 当 a ? 1时 , g a f ( x ) ? lo g a g ( x ) ? ? lo ; ? f (x) ? 0 ? f (x) ? g (x) 当 0 ? a ? 1时 , g a f ( x ) ? lo g a g ( x ) ? ? lo . ? g (x) ? 0

3. 含 参 数 的 不 等 式 求 解 , 在 掌 握 好 2中 方 法 的 前提下,对参数的讨论是非常自然的,甚至它不应 该成为一个难点. 如解 ( x ? 1)( x ? a ) ( x ? 2) ? 0 要 用 穿 根 法 ,标 根 " 时 a 与 1, "

? 2的 位 置 关 系 不 定 , 自 然 分 五 类 (即 a ? ? 2, a ? ? 2, ? 2 ? a ? 1, a ? 1和 a ? 1), 分 别 穿 根 写 解 集 即 可 . 4. 注 意 体 会 函 数 、 方 程 、 不 等 式 问 题 的 广 泛 联 系及灵活转化.

1.不等式性质
【 例 1 】 在 R 上 定 义 运 算 ? : x ? y ? x ?1 ? y ? . 若 不 等 式 ? x ? a ? ? ? x ? a ? ? 1 对 任 意 实 数 x 成 立 , 则 a的 取 值 区 间 是 (    ) A .? 1,1 ? ? 1 3 C .? , ) ( 2 2 B .0, 2 ? ? 3 1 D .? , ) ( 2 2

本小题是一道创新型试题,求解的切入点是对 新运算法则的准确理解,从而转化为二次不等式讨论.

4

依 题 意 得 不 等 式 ? x ? a ? ? ? x ? a ? ? 1对 任 意 实 数 x 成 立 等 价 于 ? x ? a ? ?1 ? x ? a ? ? 1 对 任 意 实 数 x 都 成 立 , 即x ? x ? ?a ? 1 ? a
2 2

? ? 0 对 任 意 实 数 x都 成 立 , 所 以
1 2 ? a ? 3 2 , 故 选 C.

1 ? 4 ? ?a ? 1 ? a

2

? ? 0恒 成 立 , 解 得 ?

定义新运算问题是创新问题的一种常见形式,问 题分析求解的关键是准确理解运算法则.

5

【 变 式 训 练 】2011 ? 金 丽 衢 十 二 校 联 考 ) x, y ? R , ( a ? 1, b ? 1, 若 a 2 x ? 1 y
因 为 x ? lo g a 2, y ? lo g b 2, 2 x 1 y 2 lg a ? lg b lg 2 lg a b lg 2
2

x

? b

y

? 2, a ?

b ? 4, 则

的最大值为  4。

lg ( ?

a? 2 lg 2

b

)

4

?

?

?

? lo g 2 1 6 ? 4 .

【 例 2 】 2 0 1 1 ? 4月 慈 溪 中 学 模 拟 ) 设 函 数 ( f

?x? ?

x - a ? x ? 1 ? ln ? x ? 1 ? ( x ? -1, a ? 0 ).

?1 ? 讨 论 函 数 f ? x ? 的 单 调 性 ; ? 2 ? 如 果 对 任 意 x1, x 2
求 a的 取 值 范 围 .

? (0, ? ),f 1 ? x ? - f 2 ? x ? ? 4 x1 - x 2 , ?

?1 ?

f ? ? x ? ? 1 ? a ln ? x ? 1 ? ? a, 当 f ? ? x ? ? 0时 ,

有 a ln ? x ? 1 ? ? 1 ? a . 若 a ? 0, 则 f ? ? x ? ? 1 ? 0, 函 数 f 单调递增;
1- a

? ? x ? 在 ( ? 1 , ? )上

若 a ? 0, 则 x 0 ? e

a

? 1,

当 x ? ( ? 1 , x 0 )时 , f ? ? x ? ? 0, f 单调递增; 当 x ? ( x 0 , ? )时 , f ? ? x ? ? 0, f ? 单调递减;

? x ? 在 ( ? 1 , x0 )上
? ? x ? 在 ( x 0, ? ) 上

? 2 ? 因 对 任 意 x1, x 2
则 f 2 ? x ? ? f1 ? x ? x 2 ? x1

? (0, ? ),f 1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? 4 x1 ? x 2 , ?

? f ? ? x ? ? k ? x ?,

则 要 满 足 k ? x ? ? | f ? ? x ? |? 4 , 而 f ? ? x ? ? 1 ? a ? a ln ? x ? 1 ? , 则 f ? ? x ? ? 4 或 f ? ? x ? ? ? 4 , 即 有 1 ? a ? a ln ? x ? 1 ? ? 4 或 1 ? a ? a ln ? x ? 1 ? ? ? 4 , 即a ? 5 1 ? ln ? x ? 1 ? 或a ? ?3 1 ? ln ? x ? 1 ?

因 此 a ? 5 或 a ? ? 3( 舍 去 ), 综 上 所 述 , a的 取 值 范 围 是 [5 , ? ). ?

【 变 式 训 练 】 若 直 线 a x ? b y ? 2 ? 0 ( a ? 0, b ? 0 ) 和 函 数 f 当

?x? ?
1 a ? 1 b

a

x ?1

? 1( a ? 0 且 a

的图象恒过同一个定点,则 _ ? x ? 的 解 析 式 是  _ _ _ _ _ _ _ .

取最小值时,函数f

10

函数f

?x? ?
1 2 2 2

a

x ?1

? 1 的 图 象 恒 过 定 点 ? ? 1, 2 ? ,

代 入 a x ? b y ? 2 ? 0 得 a ? b ? 1 , 又 a ? 0, b ? 0, 所以 1 a ? 1 b ? ( a ? b )( 1 a ? 1 b )? 3 2 ? b a ? a 2b ? 3 2 ? 2,

当且仅当b ? 将b ? 2 2

a时 取 等 号 , 1 2 a ? b ? 1,

a代 入

得 a ? 2 2 ? 2, 故 f

? x ? ? (2 2 ? 2)

x ?1

? 1.

11

3.线性规划

?x ? y ? 2 ? 0 ? 【 例 3】 已 知 ? x ? y ? 4 ? 0 , 求 : ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?

?1 ? z ?2? z ?3? z

? x ? 2 y ? 4的 最 大 值 ; ? x ? y ? 1 0 y ? 2 5的 最 小 值 ;
2 2

?

2y ?1 x ?1

的取值范围.

先根据不等式组画出可行域,利用 z 所 表示的几何意义找到最优解,代入求得最值及 取值范围.

作出可行域,如图所示.

并求出顶点的坐标A(1,3),B(3,1),C(7,9).

? 1 ? 易 知 可 行 域 各 点 均 在 直 线 x ? 2 y ? 4 ? 0的 上 方 , 故 x ? 2 y ? 4 ? 0, 将 C ? 7 , 9 ? 代 入 z ? x ? 2 y ? 4, 得 z m ax ? 2 1 . ? 2 ? z ? x 2 ? ( y ? 5) 2 表 示 可 行 域 内 任 一 点 ( x, y ) 到 定 点 M ? 0, 5 ? 的 距 离 的 平 方 , 过 M 作 直 线 A C 的 垂 线 , 易 知 垂 足
N 在 线 段 A C 上 , 故 z的 最 小 值 是 | M N | ?
2

9 2

.

?3? z

y ? (? ? 2?

1

)

2 表 示 可 行 域 内 任 一 点 ( x, y ) 与 定 点 Q ( ? 1, x ? ( ? 1) 1 7 3 ? ) 连 线 的 斜 率 的 两 倍 , 因 为 k Q A ? , k Q B ? , 故 z的 取 2 4 8 3 7 值 范 围 为 [ , ]. 4 2

线性规划中的求最值问题,要充分理解目 标函数的几何意义,如直线的截距,两点间的 距离(或距离的平方),点到直线的距离,过一 定点的直线的斜率等.

【 变 式 训 练 】 2 0 1 1 ? 浙 江 卷 ) 设 实 数 x、 y 满 足 不 等 式 组 ( ?x ? 2y ? 5 ? 0 ? ? 2 x ? y ? 7 ? 0 , 若 x、 y 为 整 数 , 则 3 x ? 4 y的 最 小 值 为 ? ? x ? 0, y ? 0 ? A .4 1 C .7 1 B .6 1 D .8 1

?

因为线性区域内边界的整点为(3,1),因此 最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2).对于点 (4,1) , z=3×4+4×1=16 , 对 于 点 (3,2) ,

z=3×3+4×2=17,因此3x+4y的最小值为16.所以
答案为B

1.不等式的性质是不等式求解、证明、应用的基础. 2.用基本不等式求最值,注意使用条件“一正、二定、 三相等”,三者缺一不可,相等的条件需要验证是否真 能满足,当和为定值时,积有最大值;当积为定值时,和 有最小值. 3.理解不等式解法的步骤及其原理,一次、二次、绝对 值不等式,都是公式法;分式不等式 、 高次不等式都是 穿根法.而指数、对数不等式是在保证表达式有意义的 情况下,利用函数的单调性转化求解.

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? f (x) ? g (x) 当 a ? 1 时 , lo g a f ? x ? ? lo g a g ? x ? ? ? ; ? f (x) ? 0 ? f (x) ? g (x) 当 0 ? a ? 1 时 , lo g a f ? x ? ? lo g a g ? x ? ? ? . ? g (x) ? 0

对 于 含 参 数 的 不 等 式 求 解 , 在 掌 握 好 2中 方 法 的 前 提下,对参数的讨论是非常自然的,甚至它不应该 成为一个难点.如解 ? x ? 1 ?? x ? a ? x?2 ? 0要 用 穿 根 法 ,

" 标 根 " 时 a 与1 , 2 的 位 置 不 定 , 自 然 分 为 三 类 , 分 别 ? 穿根写解集即可.
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4 . 线 性 规 划 的 本 质 是 “以 形 助 数 ”, 约 束 条 件 ? 可 行 域 , 目标函数 ? 直线系的纵截距.观察纵截距的取值范围 间 接 找 到 目 标 函 数 的 最 值 . 当 纵 截 距 中 z的 符 号 为 负 时 , 要 求 z的 最 大 值 , 需 要 纵 截 距 最 小 , 这 一 点 要 注 意 . 5 .注 意 体 会 函 数 、 方 程 、 不 等 式 问 题 的 广 泛 联 系 及 灵 活 转化.

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