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山师大附中2013届高三12月第三次模拟检测 文科数学


山东师大附中 2010 级高三模拟考试 数学(文史类)
2012 年 12 月 12 日

注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟. 2. 此卷内容主要涉及集合与简易逻辑、复数、函数与导数、三角函数、数列、不等式、推 理与证明和算法内容。填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明

、证明过程或演算步 骤。

第Ⅰ 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.复数 z ?

1 ? 2i (i为虚数单位) 在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 【答案】D 【解析】 z ? 限,选 D.

3 1 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? i) 3 ? i 3 1 = ? ? ? i ,对应的点为 ( , ? ) ,所以为第四象 2 2 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2 1 2

2.已知 A ? { y | y ? log 2 x, x ? 1}, B ? { y | y ? ( ) , x ? 1}, 则A ? B ?
x

A. ? 【答案】A

B. ? ?,0 ) (

C. (0, )

1 2

D. ? ?, (

1 ) 2

B 【解析】A ? {y | y ? log2 x, x ? 1} ? {y y ? 0} , ? { y | y ? ( ) , x ? 1} ? { y | 0 ? y ? } ,
x

所以 A ? B ? ? ,选 A.

1 2

1 2

3.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a3 ? 5, a5 ? 9 ,则 S7 等于 A.13 【答案】C B.35 C.49 D.63

7(a1 ? a7 ) 7(a3 ? a5 ) 7 ? (5 ? 9) ? ? ? 49 ,选 C. 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 0 4. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2,0) , b ? 1 ,则 a ? b ?
【解析】在等差数列中, S7 ? A.9 B. 7 C. 3 D. 7

【答案】B 【

? ? ? ? ? ? 1 a? ? a b cos ? a, b ?? 2 ?1? ? 1 b 2 ? ? ? ?2 ?2 ?2 ? ? a ? b ? a ? b ? 2a? ? 4 ? 1 ? 2 ? 7 ,所以 a ? b ? 7 ,选 B. b
解 析 】 ,

? a ?2

,





5. 数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a n ?

1 a n ?1
4 3

? 1,则 a4 等于
C.1 D.

A.

5 3

B.

2 3

【答案】A 【 解 析 】 由 a1 ? 1, a n ?

1 a n ?1

? 1 得 , a2 ?

1 1 1 3 ? 1 ? 2 , a3 ? ? 1 ? ? 1 ? , a1 a2 2 2

a4 ?

1 2 5 ? 1 ? ? 1 ? ,选 A. a3 3 3

6. 下列有关命题的说法正确的是
2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” .

B. x ? 6 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. “
2

C. “对任意 x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0 ” 命题 的否定是: 存在 x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0 ” “ .
2

2

D.命题“若 x ? y ,则 cos x ? cos y ”的逆否命题为真命题. 【答案】D 【解析】在 D 中,若 x ? y ,则有 cos x ? cos y 成立,所以原命题为真,所以它的逆否命题 也为真,选 D. 7.在 ?ABC中,A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列,则

B?
A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

【答案】C 【解析】因为 a cos C , b cos B , c cos A成等差数列,所以 a cos C ? c cos A ? 2b cos B ,根 据正弦定理可得

sin A cos C ? sin C cos A ? 2sin B cos B ,即 sin( A ? C ) ? 2sin B cos B ,

即 sin B ? 2sin B cos B ,所以 cos B ? 2 ,即 B ? 3 ,选 C. 8. 已知平面内一点 P 及 ?ABC ,若 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与 ?ABC 的位置关系是 A.点 P 在线段 AB 上 C.点 P 在线段 AC 上 【答案】C 【解析】 PA ? PB ? PC ? AB 得 PA ? PC ? AB ? PB ? AP , P ? P? 由 即 C A A P 所以点 P 在线段 AC 上,选 C. 9. 下列三个不等式中,恒成立的个数有 ①x? B.点 P 在线段 BC 上 D.点 P 在 ?ABC 外部

1

?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

? ?? ? ?? ? ??

A 2 P ?



1 ? 2( x ? 0) x



c c ? (a ? b ? c ? 0) a b



a?m a ? (a, b, m ? 0, a ? b) . b?m b
D.0

A.3 【答案】B

B.2

C.1

【解析】当 x ? 0 时,①不成立。由 a ? b ? c ? 0 ,得 立。③恒成立,所以选 B.

1 1 c c ? , 所以 ? 成立,所以②横成 a b a b

?y ? x ? 10. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? 3x ? 6 ?
A. 2 【答案】B B. 3 C. 4 D. 9

【解析】做出可行域如图

, 设 z ? 2 x? y , 即

y ? ?2 x ? z ,平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知当直线经过点 C 时,直线 y ? ?2 x ? z 的
截距最小,此时 z 最小。由 ? 所以最大值为 3,选 B. 11.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则
a b

?y ? x ?x ? 1 ,解得 ? ,即 B(1,1) ,代入得 z ? 2 x ? y ? 3 , ?x ? y ? 2 ?y ?1
1 1 ? 的最小值 a b
D.8

A. 2 【答案】C

B.

1 4

C. 4

【 解 析 】 由 题 意 知 3a ? 3b ? ( 3)2 , 即 3

a ?b

? 3 , 所 以 a ?b ?1 。 所 以

b a 1 1 1 a?b a ?b b a b a ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ,当且仅当 ? ,即 a ? b ? 时, 2 a b a b a b a b a b
取等号,所以最小值为 4,选 C. 12.设函数 f ? x ? ? x ? 4x ? a ? 0 ? a ? 2? 有三个零点 x1、x2、x3 , 且x1 ? x2 ? x3 ,
3

则下列结论正确的是( A. x1 ? ?1 【答案】C

) B.

x2 ? 0

C. 0 ? x2 ? 1

D. x3 ? 2

【解析】因为 f (?3) ? a ? 15? 0, f (?1) ? 3 ? a ? 0 , f (0) ? a ? 0 f (1) ? a ? 3 ? 0 ,

f (2) ? a ? 0 ,所以函数的三个零点分别在 (?3, ?1),(0,1),(1, 2) 之间,又因为 x1 ? x2 ? x3 ,
所以

?3 ? x1 ? ?1,0 ? x2 ? 1 ? x3 ? 2 ,选 C.

山东师大附中 2010 级高三模拟考试 数学(文史类)
第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.

13. 不等式

x ?1 ? 0 的解集是 x?2

【答案】 (?2,1) 【解析】原不等式等价为 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 1 ,即原不等式的解集为 (?2,1) 。 14. 已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a2 ? a6 ? 9a4 , a2 =1,则 a1 = 【答案】

1 3

【解析】由 a2 ? a6 ? 9a4 得 a2 ? a2q4 ? 9a2q2 ,解得 q 2 ? 9 ,所以 q ? 3 或 q ? ?3 (舍去) , 所以由 a2 ? a1q ,所以 a1 ?

a2 1 ? 。 q 3

15.程序框图(如图)的运算结果为

【答案】 24 【解析】第一次循环为 s ? 1, n ? 2 ;第二次循环为 s ? 1? 2 ? 2, n ? 3 ;第三次循环为

s ? 2 ? 3 ? 6, n ? 4 ;第四次循环为 s ? 6 ? 4 ? 24, n ? 5 ;第五次循环此时条件不成立,输
出 s ? 24 。 16.已知等差数列

{an } 中, a3 ? 7,a6 ? 16 ,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:

则此数阵中第 20 行从左到右的第 10 个数是_________ 【答案】598 【 解 析 】 由

a3 ? 7, a6 ? 16 , 解 得 公 差 d ? 3 , 所 以 通 项 公 式 为

an ? 3 ? a (

n ? ) d ? 7 ? 3 n ? 3 )。则前 19 行的共有 1 ? 2 ? ? ? 19 ? 190 项,所以 3 ( ?n 3? 2

第 20 行第 10 个数为等差数列中的第 190 ? 10 ? 200 项,所以 a200 ? 3 ? 200 ? 2 ? 598 。 三、解答题:本大题共 6 个小题.共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 A ? 45 , cos B ?
?

4 . 5

(1)求 sin C 的值; (2)若 BC ? 10, D 为 AB 的中点,求 CD 的长. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

(1)求函数 f ? x ? 的最小值和最小正周期;

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x ? R. 2 2

、 、 ( 2 ) 设 ?ABC 的 内 角 A、 B C 的 对 边 分 别 为 a、 b c, 且 c ? 3 , f ? C ? 0, ? sin B ? 2sin A ,求 a , b 的值.

19.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的首项为 a ,公差为 d ,且方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的解为 1, d .
2

(1)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn 公式; (2)求数列{ 3
n ?1

an }的前 n 项和 Tn .

20.(本小题满分 12 分)
x 已知 x ? 1 是函数 f ? x ? ? ? ax ? 2? e 的一个极值点. ( a ? R )

(1)求 a 的值; (2)任意 x1 , x2 ??0, 2? 时,证明: | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? e 21.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } , {cn } 满足条件: a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1, c n ? (1)求证数列 {an ? 1} 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,并求使得 Tn ? 值. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ?

1 . (2n ? 1)(2n ? 3)

1 * 对任意 n? N 都成立的正整数 m 的最小 am

2 ? a ln x, a ? R . x

(1)若函数 f (x) 在 [1,??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围.
2 (2)记函数 g ( x) ? x [ f ?( x) ? 2x ? 2] ,若 g (x) 的最小值是 ? 6 ,求函数 f (x) 的解析式.

山东师大附中 2010 级高三模拟考试 2012 年 12 月 6 日 数学(文史类)参考答案
一、选择题 DACBA DCCBB CC 二、填空题 13. x ? 2 ? x ? 1

?

?

14.

1 3

15. 24

16.598

三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 解: (1)? 三角形中, cos B ?

4 3 ,所以 B 锐角? sin B ? --------3 分 w 5 5

所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? (2) 三角形 ABC 中,由正弦定理得

7 2 --------6 分 w 10

AB BC ? , sin C sin A

? AB ? 14 ,

--------9 分 w

又 D 为 AB 中点,所以 BD=7 在三角形 BCD 中,由余弦定理得 ? CD ? BC ? BD ? 2BC ? BD ? cos B ? 37
2 2 2

? CD ? 37
18. (本小题满分 12 分) 解:(1) f ( x) ?

w--------12 分

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 6
最小值为-2 ????????6 分

????????4 分

故T ? ?
(2) ∴ 2C ?

f (C ) ? sin( 2C ?

?
6

) ?1 ? 0

而 C ? (0, ? )

?
6

?

?
2
2

,得 C ?

?

由正弦定理

3 sin B ? 2 sin A 可化为 b ? 2a
2 2 2

????????9 分

由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC ? a ? 4a ? 2a ? 3a
2 2

2

∴ a ? 1, b ? 2 19. (本小题满分 12 分)

????????12 分



2 :( 1 ) 方 程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的 两 根 为 1,d .

利用韦达定理得出

a ? 1, d ? 2 .
由 -----------6 分 此

-----------2 分 知

a n ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1



sn ? n2

(2)令 bn ? 3n?1 an ? (2n ? 1) ? 3n?1 则 Tn ?b1 ?b2 ? b3 ? ?? bn ? 1?1 ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? ?? (2n - 1) ? 3n?1

3Tn ? 1? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ?? (2n - 3) ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n
-----------8 分 两 式 相 减 , 得

? 2Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 3n ?1 ? ( 2n - 1) ? 3n

-----------10 分

? 1?

6(1 ? 3n ?1 ) ? (2n - 1) ? 3n 1? 3

? ?2 ? (n ? 1) ? 3n . 2
.

?Tn ? 1 ? (n ? 1) ? 3n
------------12 分 20. (本小题满分 12 分) (1)解: f '( x) ? (ax ? a ? 2)e x , 由已知得 f ' (1) ? 0 ,解得 a ? 1 . 当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 2)e x ,在 x ? 1 处取得极小值.所以 a ? 1 . --------------------2 分

---4 分

(2)证明:由(1)知, f ( x) ? ( x ? 2)e x , f '( x) ? ( x ?1)ex .
当 x ? ?0,1? 时, f ' ( x) ? ( x ? 1)e ? 0 , f (x) 在区间 ?0,1? 单调递减;
x

当 x ? ?1, 2? 时, f '( x) ? ( x ?1)e ? 0 , f (x) 在区间 ?1, 2? 单调递增.
x

所以在区间 ? 0, 2? 上, f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ?e .------ 8 分 又 f (0) ? ?2 , f (2) ? 0 ,

所以在区间 ? 0, 2? 上, f ( x ) 的最大值为 f (2) ? 0 . ----------10 分 对于 x1 , x2 ??0, 2? ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f max ( x) ? f min ( x) . 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? (?e) ? e . 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ n?1 ? 2an ? 1 a ∴ n?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,∵ 1 ? 1 , a1 ? 1 ? 2 ? 0 …………2 分 a a ∴ 数列 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 . ∴ n ? 1 ? 2 ? 2 n?1 ∴ n ? 2 n ? 1 a a ( Ⅱ ) ∵ cn ? …………4 分 分 -------------------12 分

1 1 1 1 ? ( ? ) , (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

…………6

T ∴n ?

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ??? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3
…………8 分

?

1 1 1 n n ( ? )? ? . 2 3 2n ? 3 3 ? (2n ? 3) 6n ? 9
∵ n?1 ?

T Tn

n ? 1 6n ? 9 6n2 ? 15n ? 9 9 ? ? ? 1? 2 ? 1 ,又 Tn ? 0 , 2 6n ? 15 n 6n ? 15n 6n ? 15n

∴ n ? Tn?1 , n ?N*,即数列 {Tn } 是递增数列. T ∴ n ? 1 时, Tn 取得最小值 当 要使得 Tn ?

1 . 15

…………10 分

1 1 1 ? m 对任意 n?N*都成立,结合(Ⅰ )的结果,只需 ,由此得 15 2 ? 1 am
…………12 分

m ? 4 .∴ 正整数 m 的最小值是 5.
22. (本小题满分 14 分) ⑴ f ' ( x) ? 2 ? 令 h( x ) ?

2 a ? ?0 x2 x

a ∴ ?

2 ? 2 x 在 [1,??) 上恒成立…………2 分 x

2 ? 2 x, x ? [1,?? ) x

h ∵ ( x) ? ?
'

2 ? 2 ? 0 恒成立 x2

∴ ( x)在[1,??)单调递减…………4 分 h … ………6 分 … ………7 分

h( x) max ? h(1) ? 0
a ∴ ?0
(2) g ( x) ? 2x 3 ? ax ? 2, x ? 0 ∵ ' ( x) ? 6 x 2 ? a g 易知 a ? 0 时, g ' ( x) ? 0 恒成立

…………9 分

∴ ( x)在(0,??)单调递增 无最小值,不合题意 g , 令 g ( x) ? 0 ,则 x ?
'

a ∴ ? 0 …………11 分

?a (舍负) 6

列表如下,(略)可得,

g ?x ? 在 ( (0,
值点。

?a ?a ?a 是函数的极小 ) 上单调递减,在 ( , ? ?) 上单调递增,则 x ? 6 6 6

g ( x) min ? g ( x) 极小 ? g (
解得 a ? ?6

?a ) ? ?6 6
2 ? 6 ln x x

…………13 分 …………14 分

f ( x) ? 2 x ?


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