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2.1.2椭圆的简单几何性质二


2.1.2椭圆的简 单几何性质(4)
高二数学 选修1-1

第二章

圆锥曲线与方程

题型一:直线与椭圆的位置关系
x 2 y2 例1:直线y=kx+1与椭圆 ? ? 1 恒有公共点, 5 m

求m的取值范围。

题型一:直线与椭圆的位置关系
? y ? kx ? 1 ? ? (m ? 5k 2 ) x2 ? 10kx ? 5 ? 5m ? 0 解 : ? x2 y 2 ?1 ? ? ?5 m
2 △? ( 10k) ? 4(m ? 5k 2( ) 5 ? 5m) ? 0 ? m2 ? (5k 2 ?1)m ? 0

? m ? 0,?5k 2 ? 1 ? m恒成立, ?1 - m ? 0 ? m ? 1, 且m ? 5

解法二? 直线y ? kx ? 1恒过定点( 0,1 ), 且与椭圆总有公共点, ? 定点必在椭圆上或或者 椭圆内 1 ? 0 ? ? 1,? m ? 1且m ? 5 m

题型一:直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
6 当k = ? 时有一个交点 3 当k> 当6 6 或k<时有两个交点 3 3

x2 y2 ? ?1 练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 9 4 交点情况满足( D )

6 6 ? k< 时没有交点 3 3

A.没有公共点
C.两个公共点

B.一个公共点
D.有公共点

题型一:直线与椭圆的位置关系
2 2

x y ? ? 1 , 直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 的距离的表达式.

4 ?5 尝试遇到困难怎么办?
2 2

d?

4 x0 ? 5 y0 ? 40

?

4 x0 ? 5 y0 ? 40 41
l


m

x0 2 25

?

y0 2 9
m

?1

作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.

题型一:直线与椭圆的位置关系
2 2

x y ? ? 1 , 直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 y 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少 ?
解:设直线m平行于l,

则l可写成: 4x ? 5 y ? k ? 0

?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 2 2 2 2 消去y,得25x ? 8kx ? k - 225 ? 0 由方程组 ? x y ?1 ? ? ? 25 9 由? ? 0,得64k 2 - 4 ? 25 (k 2 - 225) ?0
解得k1 =25,k 2 =-25

o

x

由图可知k ? 25.

题型一:直线与椭圆的位置关系
2 2

x y ? ? 1 , 直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少 ? y
?直线m为: 4 x ? 5 y ? 25 ? 0

直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 且d ? ? 41 42 ? 52 41 40 ? 25

o

x

dmax

思考:最大的距离是多少?

65 ? ? 41 42 ? 52 41

40 ? 25

知识点2:弦长公式

可推广到任意二次曲线

设直线L:y=kx+b与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则P1P2的长 度

弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x ? x |? 1 ? 1 | y ? y | A B A B 2

k

当直线斜率不存在时,则 AB ? y1 ? y2 .

题型二:弦长公式
例3:已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.
解 :由椭圆方程知 : a ? 4, b ? 1, c ? 3.
2 2 2

的右焦点,

右焦点F ( 3,0).
?y ? x ? 3 ? 2 ?x 2 ? y ?1 ? ?4

直线l方程为: y ? x ? 3. 消y得: 5x2 ? 8 3x ? 8 ? 0
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
8 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 5

8 3 8 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 5 5
? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

题型二:弦长公式

x2 y2 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点, 4 求 △F1 AB 的面积.

分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,

要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组

x y 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线,求 △F1 AB 的面积. 4 x2
解:∵椭圆

2

2

∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? x ?1 ? 由 ? x2 消去 y 并化简整理得 2 ? y ?1 ? ? 2
2

2

? y 2 ? 1 的两个焦点坐标 F1 (?1, 0), F2 (1, 0)

3x ? 4x ? 0

4 2 ? 2 ∴ AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 2 ? = ( x ? x ) ? 4 x x 2 1 2? ? 1 3

4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 0 3
0 ? ( ?1) ? 1 2

∵点 F1 到直线 AB 的距离 d ?
∴ S F1 AB

= 2

1 1 4 4 4 ? ? d ? AB = ? 2 ? 2= . 答: △F1 AB 的面积等于 2 2 3 3 3

题型三:中点弦问题
例5 :已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程. 解:

韦达定理→斜率 韦达定理法:利用韦达定理及中点坐标公式来构造

题型三:中点弦问题
例 5 已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.

点 作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造 出中点坐标和斜率.

题型三:中点弦问题
例5已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.

所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2,整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条 解后反思:中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件,灵活运用中点坐标公式及韦达定理,

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法; 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 2、弦长的计算方法: 弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · (x1 ? x2) ? 4 x1 x2

相交

=

1 1? 2 · (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 k

(适用于任何曲线)

3、中点弦问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率。


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