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函数零点函数模型(教师版)


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教学设计表
学科:数学 教师姓名: 伍玉彬
章节名称

学生姓名 : 教学日期: 2015.2.6 本学期第 次课
学时:2

函数的应用 函数的应用

【考点精讲】 一、方程的根与函数的零点

>1、一元二次方程和二次函数的关系 一元二次方程 ax 时,二次函数
2

2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 与二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的关系为 y ? 0

y ? ax2 ? bx ? c 就变成了一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ,方程的根即为二次函数

的图象与 x 轴交点的横坐标。 ①当 ? ? b ? 4ac ? 0 ,方程有两个不相等实根,对应的二次函数与 x 轴有两个交点。
2

②当 ? ? b ? 4ac ? 0 ,方程有两个相等实根,对应的二次函数与 x 轴只有一个交点。
2

③当 ? ? b ? 4ac ? 0 ,方程在实数范围内无解,对应的二次函数与 x 轴没有交点。
2

b c ? 0 , x1 ? x2 ? ? 0 , a a b c 2 2)若方程有两个不相等的负实根,则有 ? ? b ? 4ac ? 0 , x1 ? x2 ? ? ? 0 , x1 ? x2 ? ? 0 a a
2 1)若方程有两个不相等的正实根,则有 ? ? b ? 4ac ? 0 , x1 ? x2 ? ?

3)若方程有一正根一负根,则有 ? ? b ? 4ac ? 0 , ac ? 0
2

2、函数零点概念 (1)对于函数 Y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 Y=f(x)的零点。 (2)等价关系: 方程 f(x)=0 有实数根 函数 Y=f(x)的图象与 X 轴有交点

函数 Y=f(x)有零点 注意: (1)函数的零点不是真正意义上的点,而是实数。 (2)函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? g ( x) 的实数根,也就是函数 y ? f ( x) 与函数

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y`? g ( x) 的图像交点的横坐标。
3、零点存在性定理 如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 f ( a ) · f (b) <0,那么,函数

y ? f ? x ? 在 ? a, b ? 内有零点,即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f ? c ? ? 0 ,这个 c 也就是 f ? x ? ? 0 的根。
注意: (1)如果函数 y=f(x) 在[a,b]上图象是连续的,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即 f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么,这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。 (2)此定理只能判断出零点的存在性,而不能判断出零点的个数。 (3)此判定定理不可逆,因为 f ( a ) · f (b) <0 可以推出函数 y ? f ( x) 在区间[a,b]内存在零点。
2 但是, 函数 y ? f ( x) 在区间 (a,b) 内存在零点, 却不一定能推出 f ( a ) ·f (b) <0。 例如: 函数 y ? x ? 2 x ? 1

在区间(-2,0)内存在零点,但 f (?2) ? f (0) ? 0 。 4、求函数的零点 两种方法:①代数法:求出方程 f ( x) ? 0 的实数根;②几何法:画出函数 y ? f ( x) 的图像,则图像与 x 轴 的交点的横坐标即为函数的零点。 函 数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的 零 点 就 是 方 程 f ( x ) ? g ( x ) 的 实 数 根 , 也 就 是 函 数 y ? f ( x ) 与 函 数

y`? g ( x) 的图像交点的横坐标,通常采用代数法解出,当函数比较复杂时,常用图像法解出。
5、判断函数零点、方程的根所在的区间 三个步骤:①代:将区间的端点代入函数求出函数的值;②判:把所得函数值相乘,并进行符号判断;③ 结:若符号为正值且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点;若符号为负且函数图像连续,则 在该区间内至少有一个零点。 5、函数零点个数的判断 (1)分解因式法:可以转化为一元 n 次方程根的个数问题; (2)判别式法:可以转化为一元二次方程根的 个数,通常用判别式法来判断根的个数; (3)图像法:指数函数和对数函数零点个数问题一般用图像法来 解决; (4)单调性法:常规方法不易判断时,可利用函数的单调性来判断函数零点的 个数。

二、函数模型及其应用
1.几类不同增长的函数模型及其增长差异 x 2 x x 分别作出函数 y ? 2 ,y ? x ,y ? log2 在第一象限的图象如图. 函数 y ? log2 刚 开始增长得最快,随后增长的速度越来越慢;函数 y ? 2 刚开始增长得较慢,随后增
x

长的速度越来越快;函数 y ? x 增长的速度也是越来越快,但越来越不如 y ? 2 增长
2 x

得快.函数 y ? x 和 y ? 2 的图象在 x ? 0 有两个交点(2,4)和(4,16).在 x∈(2,4)时, log2 ? 2 ? x ,
2 x x x 2

在 x∈(0,2)∪(4,+∞)时, log2 ? x ? 2 ,所以当 x>4 时, log2 ? x ? 2 .
x 2 x x 2 x

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x 一般地,在区间(0,+∞)上,尽管函数 y ? a x (a>1), y ? loga (a>1)和 y ? x a (a>0)都是增函数,但它

们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上. 随着 x 的增大, y ? a x (a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y ? x a (a>0)的增长速度,而
x (a>1)的增长速度则会越来越慢. y ? loga

因此,总会存在一个 x0,使当 x>x0 时,就有 logax<x <a . 这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长. [例]下列函数中,随 x 的增大,增长速度最快的是( A.y=1,x∈Z B.y=x C.y=2
x

n

x

)
x

D.y=e

解析 指数函数模型增长速度最快,并且 e>2,因而 y=e 增长速度最快. 答案 D 2.几类常见的函数模型 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b (k、b 为常数,k≠0); (2)反比例函数模型:f(x)= +b (k、b 为常数,k≠0); (3)二次函数模型:f(x)=ax +bx+c (a、b、c 为常数,a≠0); 注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见. (4)指数函数模型:f(x)=ab +c (a、b、c 为常数,a≠0,b>0,b≠1); (5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n (m、n、a 为常数,a>0,a≠1); 说明:随着新课标的实施,指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用,在高考的舞台上将会扮 演愈来愈重要的角色. (6)幂函数模型:f(x)=ax +b(a、b、n 为常数,a≠0,n≠1); (7)分段函数模型:这个模型实际是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.
n x
2

x

k x

【变式训练】
1.能使不等式 log2 x<x2<2x 成立的 x 的取值范围是( A.(0,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(0,2)∪(4,+∞) 答案 D 2.一个高为 H,盛水量为 V0 的水瓶的轴截面如图所示,现以均匀速度往水瓶中灌水,直到灌满为止, 如 果 水 深 h 时 水 的 体积为 V,则函数 V=f(h)的图象大致是( ) )

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答案 D 解析 考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较. 3.由图可推得 a、b、c 的大小关系是 ( )

A.c<b<a

B.c<a< b

C.a<b<c

D.a<c<b【答案】A ) C a ? b ?1 D b ? a ? 1 【答案】B

4..若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则( A 0 ? a ? b ?1 B 0 ? b ? a ?1

5.函数 f ( x) ? 2 x ? 3 的零点为 (

)

3 ( , 0) A. 2
6.函数 f ( x) ? 2 A、 2
?x

3 (0, ) 2 B.

3 C. 2


2 D. 3 【答案】C

? x2 ? 3 的零点个数为(
C、 1

B、 3

D、 4 【答案】A ) D. (e,+∞)【答案】A

7. 函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) 的零点所在的区间为 ( A. (1,

3 ) 2

B. (

3 ,2) 2

C. (2,e)

【解析】试题分析:结合函数图象可知 f (1) ? 0 , f ( ) ? 0 ,根据函数的零点存在定理知该函数的零点所

3 2

3 ). 2 ax 8.若函数 y ? 的图像关于直线 y ? x 对称,则 a 为 1? x
在的区间为(1, A. 1 B. ?1 C. ?1 D.任意实数

【答案】B【解析】考查反函数,因为图像本身关于直线 y ? x 对称故可知原函数与反函数是同一函数,所

走进翔博,找到成功的钥匙,;走出翔博,迎接------辉煌的人生! 以先求反函数再与原函数比较系数可得答案。或利用反函数的性质,依题知(1,a/2)与(a/2,1)皆在 原函数图故可得 a=-1 9.已知 f ?x ? 是奇函数, g ?x ? 是偶函数,且 f ?? 1? ? g ?1? ? 2 , f ?1? ? g ?? 1? ? 4 ,则 g ?1? =( ) A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B

【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 已 知 可 得 f ? ?1? ? ? f ?1? , g ? ?1? ? g ?1? , 由 ?

? ?? 2 ? f ? ?1? ? g ? 1 ,即 f 1 ? g ? 1 ? 4 ? ? ? ? ? ?

? ?? 2 ?? f ?1? ? g ? 1 ,两式相加得 g ?1? ? 3 .故正确答案为 B.考点:函数奇偶性的应用. ? ?? 4 ? ? f ?1? ? g ? 1
10. 已知函数 f(x)= ? A.k≤2

? kx+2,x ? 0, (k∈R), 若函数 y=|f(x)|+k 有三个零点, 则实数 k 的取值范围是( ?ln x,x ? 0
C.-2≤k<-1 D.k≤-2

)

B.-1<k<0

【答案】D【解析】由 y=|f(x)|+k=0 得|f(x)|=-k≥0,所以 k≤0,作出 函数 y=|f(x)|的图像,要使函数 y=-k 与 y=|f(x)|的图像有三个交点,则 有-k≥2,即 k≤-2. 11.若 0 ? x ? y ? 1 ,则( A. log x 3 ? log y 3 C. log4 x ? log4 y )

y x B. 3 ? 3

x y D. ( ) ? ( ) 【答案】C

1 4

1 4

【解析】试题分析:注意到指数函数、对数函数在底数大于 1 时,函数为增函数;底数小于 1 时,函数为 减函数。而 0 ? x ? y ? 1 ,所以, log4 x ? log4 y
2

,选 C。 【答案】 [ ?1, ]

12.若函数 f ( x) ? mx ? (m ?1) x ? m 有零点,则实数 m 的取值范围是 13.已知函数 f ( x) ? ?
2 ? ? x ? 4 x, ( x ? 0) 2 ,若 f (2 ? a ) ? f (a) ,则 a 的范围是 2 ?4 x ? x , ( x ? 0) ?

1 3

【答案】 a ? 2 ? a ? 1

?

?

14.已知 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式 f(x)+f(x-8)≤2.

走进翔博,找到成功的钥匙,;走出翔博,迎接------辉煌的人生! 【答案】 8<x≤9 【解析】 根据题意, 由 f(3)=1,得 f(9)=f(3)+f(3)=2.又 f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)] ,故 f [x(x-8)]

? x ? 0, ? ≤f(9).∵f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,∴ ? x ? 8 ? 0, 解得 8<x≤9. ? x( x ? 8) ? 9, ?
15.已知 f ( x) ? 2x ? a ? a  (a ? R) ,不等式 f ( x) ? 2 的解集为 {x | ?1 ? x ? 3} . (1)求 a 的值; (2)若 | f ( x) ? f ( x ? 2) |? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1)2; (2) m ? 4 .【解析】试题分析: (1)我们首先求出不等式 f ( x) ? 2 的解集,这个解集与 (2) f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2x ? 2 ? 2x ? 2 ,一种方法,这个函数是分 {x | ?1 ? x ? 3} 相等,由此可求得 a ; 段函数,我们把它化为一般的分段函数表达式,以便求出它的最大(小)值,从而求得 f ( x) ? f ( x ? 2) 的最 大值,得到 m 的取值范围,也可应用绝对值不等式的性质 ? a ? b ? a ? b ? a ? b ,求得最大值. 试题解析:解法一: (1)由不等式|2x-a|-a≤2,得|2x-a|≤2+a,∵解集不空,∴2+a≥0. 解不等式可得{x∣-1≤x≤1+a}. ∵-1≤x≤3, ∴1+a﹦3, 即 a=2. (2) 记 g(x)=f(x)-f(x+2)=|2x-2| -|2x+2|, 4,(x≤-1)则 g(x)=-4x,(-1﹤x﹤1). -4,(x≥1) 所以-4≤g(x)≤4,∴|g(x)|≤4,因此 m≥4. 解法二:∵f(x)-f(x+2)=|2x-2|-|2x+2|, ∵|2x-2|-|2x+2|≤|(2x-2)-(2x+2)|=4. |2x-2|-|2x+2|≥|2x|-2-(|2x|+2) =-4. ∴-4≤|2x-2|-|2x+2|≤4.∴|f(x)-f(x+2)|≤4.∴m≥4. 分段函数的最值,不等式恒成立问题. 考点: (1)解绝对值不等式; (2)


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