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平面与平面平行的性质-例题


《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲

第二章 点、直线、平面之间的位置关系?

第?15?讲? §2.2.4? 平面与平面平行的性质
¤学习目标:通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中面面平行的性质,掌握面面平行的 性质定理,灵活运用面面平行的判定定理和性质定理,掌握“线线” “线面” “面面”平行的转化.? ¤

知识要点:? 1.? 面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线 平行.? 用符号语言表示为:?a // b , g I a = a, g I?b = b ? a //?b .? 2.? 其它性质:①?a // b , l ? a ? l //?b ; ②?a // b , l ^ a ? l ^ b ; ③夹在平行平面间的平行线段相等.? A ¤例题精讲: C? 【例 1】如图,设平面α∥平面β,AB、CD 是两异面直线,M、N 分别是 AB、? a CD 的中点,且 A、C∈α,B、D∈β.? 求证:MN∥α.? M? 证明:连接 BC,取 BC 的中点 E,分别连接 ME、NE, N? E? 则 ME∥AC,∴? ME∥平面α, D? 又? NE∥BD, ∴? NE∥β, b B? 又 ME∩NE=E,∴平面 MEN∥平面α, ∵?MN ? 平面 MEN,∴MN∥α.? 【例 2】如图,A,B,C,D 四点都在平面a,b外,它们在a内的射影 A1,B1,C1,D1?是平行四边形的四 个顶点,在b内的射影 A2,B2,C2,D2?在一条直线上,求证:ABCD 是平行四边形. 证明:∵? A,B,C,D 四点在b内的射影 A2,B2,C2,D2?在一条直线上, ∴A,B,C,D 四点共面. 又 A,B,C,D 四点在a内的射影 A1,B1,C1,D1?是平行四边形的四个顶点, ∴平面 ABB1A1∥平面 CDD1C1. ∴AB,CD 是平面 ABCD 与平面 ABB1A1,平面 CDD1C1?的交线. ∴AB∥CD. 同理 AD∥BC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 【例 3】如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1?中,E、F、G 是侧面对角线上的点,且 BE = CF = AG ,求证: 平面 EFG∥平面 ABC.? 证明:作?EP ^ BB1?于? P,连接? PF.? 在正三棱柱?ABC—A1B1C1?的侧面?ABB1 A? 1?中, 易知?A1 B1 ^ BB1?, 又?EP ^ BB1?, 所以?EP // A1 B1? //?AB?.? ∴? 又∵? BE = CF ,BA ? 1 = CB1? , ∴?

BE BP? = ,EP? ? //?平面 ABC.? BA1 BB1?

CF BP? = , ∴? PF //?BC , 则?PF?//?平面 ABC.? CB1 BB1? ∵? EP I PF = P ,∴ 平面 PEF//平面 ABC.? ∵? EF ? 平面 PEF, ∴? EF//平面 ABC.? 同理,GF//平面 ABC.? ∵? EF I GF = F ,∴ 平面 EFG//平面 ABC.? 点评:将空间问题转化为平面问题,是解决立体几何问题的重要策略,关键在于选择或添加适当的平面或 线,并抓住一些平面图形的几何性质,如比例线段等.? 此题通过巧作垂线,得到所作平面与底面平行,由性质? a // b , l ? a ? l //?b 易得线面平行,进而转化出待证的面面平行,突出了平行问题中转化思想.?
【例 4】如图,已知正方体?ABCD - A1 B1C1 D1?中,面对角线?AB? 1?,?BC? 1? 上分别有两点 E、F,且?B1 E =?C1?F .? 求证:EF∥平面 ABCD.? 证明:过 E、F 分别作 AB、BC 的垂线,EM、FN 分别交 AB、BC 于 M、N,连接 MN.? ∵?BB1⊥平面 ABCD, ∴BB1⊥AB, BB ? 1⊥BC, ∴ EM∥BB1, FN ? ∥BB1, ∴EM∥FN, C? D? 1? 1? ∵?AB1=BC1,B1E=C1F,∴AE=BF, 又∠B1AB=∠C1BC=45°, B? ∴ Rt△AME≌Rt△BNF,∴EM=FN.? 1? A? 1 F? ∴ 四边形 MNFE 是平行四边形,∴EF∥MN.? E? G? 又 MN ? 平面 ABCD,∴EF∥平面 ABCD.? E? D? C? 证法二:过 E 作 EG∥AB 交 BB1?于 G,连接 GF, N? B E B G? C F B G? ∴? 1 = 1? ,?B1 E = C1?F ,?B1 A = C1?B ,∴? 1 = 1? , ∴FG∥B1C1∥BC.? B? M? A? B1 A B1?B C1 B B1?B 又∵EG I? FG? =G,AB I?BC=B,∴平面 EFG∥平面 ABCD.? b 又 EF ? 平面 EFG,∴EF∥平面 ABCD.? 点评:在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后,空间平行问题的证明,紧紧抓住“线线平行 ? 线 面平行 ? 面面平行”之间的互相转化而完成证明.?
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