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山西省忻州市第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


2015-2016 学年度第一学期期中考试试题 高 一 数 学 注意事项: 1.考生务必用 0.5mm 黑色中性笔答题. 2.请把答案做在答题卡上,交卷时只交答题卡,不交试题,答案写在试题上无效。 3.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.设集合∪

=R,M={x||x|<2},N={y|y=2 ?1},则(CUM)∪(CUN)=
x

(

)

A.(-1,2)

B.(-∞,-1]∪ ( )

? {1,2,3,4,5},则集合 A 的个数有 2.已知集合 A 满足条件{1,2}?A≠ A.8 B.7 C.4 D.3

3.下列函数与错误!未找到引用源。表示同一函数的是 A.错误!未找到引用源。 找到引用源。 B.错误!未找到引用源。

(

)

C.错误!未找到引用源。错误!未

D.错误!未找到引用源。
2

4.如果函数 f(x)的定义域为,那么函数 f(x -1)的定义域是 A. B. C. D.

(

)

x 5.若 a ? 1 , ?1 ? b ? 0 ,则函数 y ? a ? b 的图象一定不过 ....

(

)

A.第一象限 6.已知函数 f ( x) ? ? A.

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 ( )

?log2 x( x ? 0) ?3 ( x ? 0)
x

,则 f [ f ( )] 的值为 C. ? 9
1.3

1 4

1 9

B.9
0.1

D. ?

1 9
( )

7.已知 a=log20.3,b=2 ,c=0.2 ,则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. a ? c ? b

4 8.若 loga <1,则 a 的取值范围是 5 4 A.( ,1) 5 4 C.(0, )∪(1,+∞) 5 4 B.( ,+∞) 5 4 4 D.(0, )∪( ,+∞) 5 5

(

)

9.已知不等式 ax ? 2ax ? 2a ? 3 ? 0 的解集为 R,则 a 的取值范围是
2

(

)

A.a≥0

`

B.a>0

C.a≥-3

D.a>-3 )

b 2 10. 若函数 y=ax 与 y= 错误! 未找到引用源。 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax +bx 在(0,+∞)上是( x A.增函数 C.先增后减
x

B.减函数 D.先减后增 ( )

11.已知 a>0,且 a≠1,函数 y=a 与 y=loga(?x)的图像只能是下图中的

A

B

C

D

12 .函数 f ( x) ? log2 (a ? 2 x ) ? x ? 2 ,当 x ? [0, ] 时, f ( x) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( ) B. ( 2 ,4] C. (??,3 2 ] D. ( 2 ,3 2 ]

1 2

A. (??,4]

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 2 13.已知函数 f(x)=(log 1 x) -(log 1 x)+5,x∈[ ,4] ,则 f(x)的最小值是 4
4 4



14.函数 y=log2(?x ?4x+5)的单调递增区间是
2

. .
2

15.已知函数 f(x)=ax +bx +cx-18,且 f(-3)=32,那么 f(3)=
3

5

3

16.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x ?x ?2x?8,则当 x?0 时, 函数 f(x)的解析式为 .

三.解答题:共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答题卡的 相应位置上. 17.(本小题满分 10 分)已知集合 A={x|-2≤x≤17},B={x|2m+3≤x≤3m-1},若 A∪B?A,求实数 m 的取值范 围.

18.(本小题满分 12 分) 1 (1)计算:log535+2log0.5 2?log5 ?log514. 50
1 1 2 0.75 1 0 1 (2)化简:(0.027)? 3?(? )? ?256 ?|?3|? +(?5.55) ?10(2? 3)? . 6

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x +(2a?1)x?3,
2

(1)当 a=2,x∈时,求函数 f(x)的值域. (2)若函数 f(x)在上的最大值为 1,求实数 a 的值.

20.(本小题满分 12 分)设 0≤x≤2,求函数 y=9 的值.

(x?

1 2

)

?3

(x+1)

31 + 的最大值、最小值,并求取得最值时的 x 4

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=log2 (1)解不等式 f(x)≤1;

x . 1?x

(2)根据函数单调性的定义,证明函数 f ( x) 在定义域内是增函数.

22.(本小题满分 12 分)商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数是羊毛衫标价的一次函数,标价越高,购 买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格,已知无效价格为每件 300 元.现在这种羊毛衫 的成本价是 100 元/件,商场以高于成本价的价格(标价)出售.问: (1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元? (2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的 75%,那么羊毛衫 的标价为每件多少元?

附加题(每小题 5 分,共 15 分) 1.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 f(x)=min{2 ,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)最 大值为=________.
x

2.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 当 x∈时,f(x)=-x,则 f(1)?f(2)? f(3)?…?f(2015)=________. 3.函数叫做取整函数(也称高斯函数),表示不超过 x 的最大整数,例如=2,=3,=-3,设函数 f (x) 2 1 = x- ,则函数 y=+的值域为________. 1+2 2
x

2015-2016 学年度第一学期期中考试试题 高 一 数 学(参考答案) 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1?6 BBCDDA 7?12 DCACBD

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 19 4

14. (?2,1)答案写成时,求函数 f(x)的值域. (2)若函数 f(x)在上的最大值为 1,求实数 a 的值. 19. 【解】:(1)当 a=2 时,f(x)=x +3x-3,x∈, 3 对称轴 x=- ∈, 2 3 9 9 21 ∴f(x)min=f(? )= - -3=- , 2 4 2 4 …(2 分) …(4 分) …(6 分)
2

? 21 ? f(x)max=f(3)=15,∴值域为?- ,15?. ? 4 ?
2a-1 (2)对称轴为 x=- . 2 2a-1 1 ①当- ≤1,即 a≥- 时,f(x)max=f(3)=6a+3, 2 2 1 ∴6a+3=1,即 a=- 满足题意; 3 2a-1 1 ②当- >1,即 a<- 时, 2 2 f(x)max=f(-1)=-2a-1, ∴-2a-1=1,即 a=-1 满足题意. 1 综上可知 a=- 或-1. 3 20.(本小题 12 分)设 0≤x≤2,求函数 y=9 20.解:令 t=3 ,0≤x≤2,则 1≤t≤9 1 9 2 ∴g(t) = (t? ) +1 3 2 9 x 9 当 t= 时 g(t)取得最小值 1,此时 3 = ,x=2?log32,ymin=1 2 2 31 31 x 当 t=9 时 g(t)取得最大值 ,此时 3 =9,x=2,ymax= 4 4
x (x? 1 2 )

…(9 分)

…(12 分) ?3
(x+1)

+

31 的最大值、最小值,并求取得最值时的 x 的值. 4 …2 分 …6 分 …9 分

31 ∴x=2?log32,ymin=1;x=2,ymax= 4 21.(本小题 12 分)已知函数 f(x)=log2 (1)解不等式 f(x)≤1; x . 1?x

…12 分

(2)根据函数单调性的定义,证明函数 f ( x) 在定义域内是增函数. 21.(1)解:由

x ? 0 ,得 x(1 ? x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 , 1? x
…2 分 …5 分 …6 分

? 函数的定义域为 (0,1)
x 2 f(x)≤1 得 log2 ≤1,则 x≤ 或 x>1 1?x 3 ∴不等式 f(x)≤1 的解为 0<x≤ 2 3

(2)证明:任取 x1 、 x2 ? (0,1) 且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log 2

x1 x ? log 2 2 1 ? x1 1 ? x2

x 1 ? x2 x 1 ? x2 ? log 2 ( 1 ? ) ? log 2 ( 1 ? ) 1 ? x1 x2 x2 1 ? x1

0 ? x1 ? x2 ? 1,?0 ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 ? 1
?0 ? x1 1 ? x2 x 1 ? x2 ? 1 ,且 0 ? ? 1 ,即 0 ? 1 ? ?1 x2 1 ? x1 x2 1 ? x1

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
故函数 f ( x ) 是增函数. …12 分

22.商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数是羊毛衫标价的一次函数,标价越高,购买人数越少.把购买 人数为零时的最低标价称为无效价格,已知无效价格为每件 300 元.现在这种羊毛衫的成本价是 100 元/ 件,商场以高于成本价的价格(标价)出售.问: (1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元? (2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的 75%,那么羊毛衫 的标价为每件多少元? 22.解: (1)设购买人数为 n 人,羊毛衫的标价为每件 x 元,利润为 y 元, 则 x∈(100,300] n=kx+b(k<0) , …3 分

∵0=300k+b,即 b= ?300k, ∴n=k(x?300) y=(x?100)k(x?300)

=k(x?200) ?10000k(x?(100,300])
2

…5 分

∵k<0, ∴x=200 时,ymax= ?10000k, 即商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件 200 元. (2)解:由题意得,k(x?100)( x?300)= ?10000k?75% x ?400x+37500=0
2

…7 分 …8 分 …10 分

解得 x=250 或 x=150 所以,商场要获取最大利润的 75%,每件标价为 250 元或 150 元 附加题

…11 分 …12 分

1.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 f(x)=min{2 ,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)最 大值为=________. 6

x

2.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 当 x∈时,f(x)=-x,则 f(1)?f(2)? f(3)?…?f(2015)=________. 0

3.函数叫做取整函数(也称高斯函数),表示不超过 x 的最大整数,例如=2,=3,=-3,设函数 f (x) 2 1 = x- ,则函数 y=+的值域为________. 1+2 2 {-1,0}
x


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