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指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)


一、指数的性质 (一)整数指数幂
1.整数指数幂概念: a ? a ? a??a ? ? ?? ? ?
n n个a

(n ? N ? )

a 0 ? 1? a ? 0 ?

a?n

1 ? n ? a ? 0, n ? N ? ? a

2.整数指数幂的运算性质: (1)a ? a ? a
m n

? m, n ? Z ? n n n (3) ? ab ? ? a ? b ? n ? Z ?
m?n

m (2) a

? ?

n

? a mn ? m, n ? Z ?

其中 a ? a ? a ? a
m n m

?n

? a m?n ,

n an ?a? ? ? a ? b ?1 ? ? a n ? b ? n ? n . ? ? b ?b?

n

3. a 的 n 次方根的概念
n

一般地,如果一个数的 n 次方等于 a n ? 1, n ? N 即: 若 x ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根, 例如:27 的 3 次方根 3 27 ? 3 , 32 的 5 次方根 5 32 ? 2 ,

?

? ,那么这个数叫做 a 的 n 次方根, ?n ? 1, n ? N ?
? ?

? 27 的 3 次方根 3 ? 27 ? ?3 , ? 32 的 5 次方根 5 ? 32 ? ?2 .

说明: ①若 n 是奇数, a 的 n 次方根记作 n a ; 若 a ? 0 则 n a ? 0 , a ? o 则 n a ? 0 ; 则 若 ②若 n 是偶数,且 a ? 0 则 a 的正的 n 次方根记作 n a , a 的负的 n 次方根,记作:

?n a; (例如:8 的平方根 ? 8 ? ?2 2
④? 0 ? 0 n ? 1, n ? N
n

16 的 4 次方根 ? 4 16 ? ?2 )

③若 n 是偶数,且 a ? 0 则 n a 没意义,即负数没有偶次方根;

?

?

?

∴ n 0 ? 0;

⑤式子 n a 叫根式, n 叫根指数, a 叫被开方数。 ∴

? a?
n

n

?a.

. 4. a 的 n 次方根的性质
一般地,若 n 是奇数,则 a
n
n n

?a;

若 n 是偶数,则 a ? a ? ?
n

?a ?? a

a?0 a?0



5.例题分析: 例 1.求下列各式的值:
3 (1) 3 ? 8

?

?

(2)

?? 10 ?2

( 3 ) 4 ?3 ? ? ?

4

(4)

?a ? b ?2 ?a ? b ? 解:略。
? 例 2.已知 a ? b ? 0, n ? 1, n ? N , 化简: n ?a ? b ? ? n ?a ? b ? .
n n

解:当 n 是奇数时,原式 ? (a ? b) ? (a ? b) ? 2a 当 n 是偶数时,原式 ?| a ? b | ? | a ? b |? (b ? a) ? (?a ? b) ? ?2a 所以, n ?a ? b ? ? n ?a ? b ? ? ?
n n

? 2a n为奇数 . ? ?2a n为偶数

例 3.计算: 7 ?

40 ? 7 ? 40
解: 7 ?

40 ? 7 ? 40 ? ( 5 ? 2 ) 2 ? ( 5 ? 2 ) 2 ? 2 5

例 4.求值:

5 9 ? ? 5. 2 4
2 5 9?4 5 5 ( 5 ? 2) ? ? ? 2 4 2 4

解:

5 9 ? ? 5 ? 2 4

?

5 5?2 ? ? 2 2

6?2 5 ( 5 ?1 2 ) ? ? 4 4

5 ?1 2

(二)分数指数幂
1.分数指数幂:
5

a10 ? a 2 ? a 5 ? a ? 0 ?

10

3

a12 ? a 4 ? a 3 ? a ? 0 ?

12

即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;
k 如果幂的运算性质(2) a

? ?
3

n

? a kn 对分数指数幂也适用,
4

2 2 5 ?3 ?4 ? 2? ? 5? 2 5 3 2 3 3 4 4 ? a ,? a ? ? a ? a , ∴ a ? a 3 例如:若 a ? 0 ,则 ? a ? ? a ? ? ? ?

4

a ?a .
5

4 5

即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。
m

规定: (1)正数的正分数指数幂的意义是 a n ? (2)正数的负分数指数幂的意义是 a
m ?n

n

a m ? a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1? ;
1 a
m n

?

?

1
n

a

m

? a ? 0, m, n ? N

?

, n ? 1? .

2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用



?1? a r a s ? a r ? s ? a ? 0, r , s ? Q ? r , r ? 3?? ab ? ? a r br ? a ? 0 b ? 0 ,? Q ?

? 2? ? ar ?

s

? a r s a ? 0 , r , s ?Q ? ?

说明: (1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用; (2)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没意义。 3.例题分析: 例 1. 用分数指数幂的形式表示下列各式 ? a ? o ? :

a2 ? a ,
1

a3 ? 3 a 2 ,
2? 11 1 2

a a.
5

2 2 解: a ? a = a ? a 2 ? a 2

? a2 ;

a3 ? 3 a 2 = a3 ? a 3 ? a 3 ;
1 2 3 ? ? ? 3 ?2 a a =? a ?a2 ? ? ? a2 ? ? a4 . ? ? ? ? 1 1

例 2.计算下列各式的值(式中字母都是正数) .
1 5 1 1 ? 2 1 ?? ? ? ? 3 2 2 3 (1) ? 2a b ? ? ?6a b ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ; ? ?? ? ? ? 2 1 1 5 1 1 ? ?? ? ? ? 解(1) ? 2a 3 b 2 ? ? ?6a 2 b 3 ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ? ?? ? ? ?
3 ? 1 ?8 ? 4 (2) ? m n ? ; ? ? 8

= ? 2 ? ? ?6 ? ? ? ?3? ? a 3 ? ? = 4ab ? 4a ;
0
8 8

2 1 1 ? ? 2 6

b2

1 1 5 ? ? 3 6

3 3 ? 1 ?8 ? ? 1 ? ? ?8 ? m2 2 ?3 4 4 (2) ? m n ? = ? m ? ? n ? = m n ? 3 . n ? ? ? ? ? ? 例 3.计算下列各式: a2 (1) 3 5 ? 125 ? 4 5 (2) ? a ? 0? . a 3 a2 3 1 3 1 ? 2 ? 1 2 解: (1) 3 5 ? 125 ? 4 5 = ? 5 3 ? 5 2 ? ? 5 4 = 5 3 ? 5 4 ? 5 2 ? 5 4 ? ?

8

?

?

?

?

12 5 = 512 ? 5 4 = 5 ? 5 4 5 ;

5

5

(2)

a2 a a
3 2

=

a2 a a
1 2 2 3

? a ? 6 a5 .

5 6

(三)综合应用
例 1.化简: 5 解: 5
x ?1 x ?1

? 5x ? 5x ?1 .

? 5x ? 5x ?1 = 5x?1 (1 ? 5 ? 25) = 31? 5x?1 =
1 1 1 1

31 x ?5 . 5

例 2.化简: ( x 2 ? y 2 ) ? ( x 4 ? y 4 ) .

解: ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? ( x ? y )( x ? y ) ? ( x ? y ) ? x ? y .
1 1

1 2

1 2

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

评述: 此题注重了分子、 分母指数间的联系, ( x 4 ) 2 ? x 2 , 即 由此联想到平方差公式的特点, 进而使问题得到解决。 例 3.已知 x ? x
1
?1
1 ? 1 3 ? 3

(1) x 2 ? x 2 ; (2) x 2 ? x 2 . ? 3 ,求下列各式的值:
? 1

解: (1)? ( x 2 ? x 2 )2 ? ( x 2 )2 ? 2 x 2 x
1 2 ? 1 2
?1

? ( x 2 )2 ? x1 ? x?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ,
1 2 ? 1 2

1

1

?

1 2

?

1

∴x ?x

?? 5,
? 3 得 x ? 0 ,∴ x ? x
? 0,
1 ? 2

又由 x ? x
1 2

所以 x ? x

? 5.

(2) (法一) x ? x
1 ? 1

3 2

?

3 2

=(x 2 )3 ? ( x 2 )3 ? ( x 2 ? x 2 )[( x 2 )2 ? x 2 x

1

?

1

1

?

1

1

1

?

1 2

? ( x 2 )2 ]

?

1

? ( x 2 ? x 2 )[( x ? x?1 ) ?1] ? 5(3 ? 1) ? 2 5 ,
(法二) [( x 2 ) ? ( x 2 )]2 ? ( x 2 )2 ? ( x 2 )2 ? 2 x 2 x 而x ?x
3 ?3

3

?

3

3

?

3

?

3

?

3 2

? x3 ? x?3 ? 2

? ( x ? x ?1 )( x 2 ? x ?2 ? 1)
3

? ( x ? x ?1 )[( x ? x ?1 )2 ? 3] ? 3 ? (32 ? 3) ? 18
∴ ( x 2 ? x 2 )2 ? 20 , 又由 x ? x
3
?1

3

?

? 3 ? 0 得 x ? 0 ,∴ x ? x
? 3 2

3 2

?

3 2

? 0,

所以 x 2 ? x

? 20 ? 2 5 .

二、指数函数
1.指数函数定义: 一般地,函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R .
x

2.指数函数 y ? a 在底数 a ? 1 及 0 ? a ? 1这两种情况下的图象和性质:
x

a ?1

0 ? a ?1

图 象

性 质

(1)定义域: R (2)值域: (0, ??) (3)过点 (0,1) ,即 x ? 0 时 y ? 1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

例 1.求下列函数的定义域、值域:
1

(1) y ? 8 2 x ?1

(2)y ? 1 ? ( ) ∴x?

1 2

x

(3) y ? 3

?x

(4)y ?

a x ?1 (a ? 0, a ? 1) . ax ?1

解: (1)? 2 x ? 1 ? 0 令t ?

1 2

原函数的定义域是 {x x ? R, x ? } ,

1 2

1 则 t ? 0, t ? R 2x ?1 t ∴ y ? 8 (t ? R, t ? 0) 得 y ? 0, y ? 1 , 所以,原函数的值域是 { y y ? 0, y ? 1} .
(2)?1 ? ( ) ? 0
x

1 2

∴x?0

原函数的定义域是 ? 0, ?? ? ,

令 t ? 1 ? ( ) ( x ? 0)
x

? y ? t 在 ? 0,1? 是增函数
所以,原函数的值域是 ? 0,1? . (3)原函数的定义域是 R , 令t ? ? x 则t ? 0,

1 2

则 0 ? t ? 1, ∴ 0 ? y ? 1,

? y ? 3t 在 ? ??, 0 ? 是增函数, ∴ 0 ? y ? 1 ,
所以,原函数的值域是 ? 0,1? . (4)原函数的定义域是 R ,

a x ?1 y ?1 (a ? 0, a ? 1) 得 a x ? ? , x a ?1 y ?1 y ?1 ∴? ∴ ?1 ? y ? 1 , ? 0, ?ax ? 0 y ?1 所以,原函数的值域是 ? ?1,1? .
由y? 说明:求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。 例 2.当 a ? 1 时,证明函数 y ? 证明:由 a ? 1 ? 0 得, x ? 0 ,
x

ax ?1 是奇函数。 a x ?1

故函数定义域 {x x ? 0} 关于原点对称。

f (? x) ?

a ? x ? 1 (a ? x ? 1)a x 1 ? a x ? ? ? ? f ( x) a ? x ? 1 (a ? x ? 1)a x 1 ? a x

∴ f ( ? x) ? ? f ( x) 所以,函数 y ?

ax ?1 是奇函数。 a x ?1

例 3.设 a 是实数, f ( x) ? a ?

2 ( x ? R) , 2 ?1
x

(1)试证明:对于任意 a, f ( x) 在 R 为增函数; (2)试确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数。 分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生 注意不同题型的解答方法。 (1)证明:设 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,则

2 2 ) ? (a ? x2 ) 2 ?1 2 ?1 2 2 ? x2 ? x1 2 ?1 2 ?1 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? x1 , (2 ? 1)(2 x2 ? 1) x x x x x 由于指数函数 y ? 2 在 R 上是增函数,且 x1 ? x2 ,所以 2 1 ? 2 2 即 2 1 ? 2 2 ? 0 , x ?1 x ?1 x 又由 2 ? 0 ,得 2 1 ? 0 , 2 2 ? 0 , 所以, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 因为此结论与 a 取值无关,所以对于 a 取任意实数, f ( x) 在 R 为增函数。
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?
x1

评述:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性。 (2)解:若 f ( x) 为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) ,

2 2 ? ?(a ? x ) 2 ?1 2 ?1 2 ? 2x 2 2(2 x ? 1) ? ? x 变形得: 2a ? ? x , (2 ? 1) ? 2 x 2 x ? 1 2 ?1 解得: a ? 1 , 所以,当 a ? 1 时, f ( x) 为奇函数。
即a?
?x

三、对数的性质
1.对数定义:一般地,如果 a ( a ? 0且a ? 1 )的 b 次幂等于 N, 就是 a b ? N ,那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数,记作 loga N ? b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 即a ? N ,
b

log a N ? b

a
指数式 a b ? N 底数

N


b
指数

对数式 loga N ? b

对数的底数 都有 a 0 ? 1

真数

对数

说明:1.?在指数式中幂 N > 0,∴在对数式中,真数 N > 0. (负数与零没有对数) 2.?对任意 a ? 0 且 a ? 1 ,
b

∴ log a 1 ? 0 ,同样: log a a ? 1 .
loga N

3.如果把 a ? N 中的 b 写成 log a N , 则有 a 2.对数式与指数式的互换 例如:

. ? N (对数恒等式)

42 ? 16
4 ?2
1 2

l o g 1? 6 4
log 2 ? 4

2

1 02 ? 1 0 0

log10 100 ? 2

1 2 例 1.将下列指数式写成对数式:
(1) 54 ? 25 ; (2) 2?6 ? 1 ;
64

1 0?2 ? 0 . 0 1 log10 0.01 ? ?2
(3) 3a ? 27 ; (4) ? 1 ? ? 5.37 . ? ? ?3? (4)log 1 5.37 ? m .
3
m

解: (1)log5 625 ? 4 ; (2)log 2 1 ? ?6 ;(3)log 3 27 ? a ; 64 3.介绍两种特殊的对数: ①常用对数:以 10 作底 log10 N 写成 lg N ②自然对数:以 e 作底为无理数, e = 2.71828…… , 例 2. (1)计算:

log e N

写成

ln e .

log 9 27 , log 3


54

625 .

解:设 x ? log 9 27 令 x ? log 3

3 a x ? 27 , 32 x ? 33 , ∴ x ? ; 2

54

625 , ∴

? ?
3

54

x

? 625 , 5 3 ? 54 , ∴ x ? 5 .
② log?
?

4

x

(2)求 x 的值:① log 3 x ? ? 解:① x ? 3 ② 3x
2
? 3 4

3 ; 4

2 ? ? 2 x ?1?
?

? 3x

2

? 2 x ? 1? ? 1 .

?

4

1 ; 27

? 2 x ?1 ? 2 x 2 ?1 ? x 2 ? 2 x ? 0 ? x ? 0, x ? ?2

? 2 x2 ?1 ? 0 ? 但必须: ? 2 x 2 ? 1 ? 1 , ∴ x ? 0 舍去 ,从而 x ? ?2 . ?3x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ?
(3)求底数:① log x 3 ? ? 解:① x
7 8

3 , 5
∴x

② log x 2 ?

7 . 8

?

3 5

? 3 ? (3 3 )
7

?

5

?

3 5

? 3 3;

?

5

? 8 ?8 ② x ? 2 ? ? 27 ? , ? ? ? ?

∴ x ? 2.

4.对数的运算性质: 如果 a > 0 , a ? 1, M > 0 ,N > 0, 那么 (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ; (2) log a

M ? log a M - log a N ; N

(3) log a M ? n log a M (n ? R) .
n

例 3.计算: (1)lg14 ? 21g

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg 243 7 (2) ; (3) . ? lg 7 ? lg 18 ; lg 1.2 lg 9 3 7 解: (1)解法一: lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3 ? lg(2 ? 7) ? 2(lg 7 ? lg 3) ? lg 7 ? lg(32 ? 2) ? lg 2 ? lg 7 ? 2lg 7 ? 2lg3 ? lg 7 ? 2lg3 ? lg 2 ? 0 ;
解法二: lg 14 ? 2 lg

7 ? lg 7 ? lg 18 3

7 ? lg14 ? lg( )2 ? lg 7 ? lg18 3 14 ? 7 = lg ? lg1 ? 0 ; 7 2 ( ) ? 18 3 5 lg 243 lg 3 5 lg 3 5 ? ? ? ; (2) 2 lg 9 2 lg 3 2 lg 3

3 1 1 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(33 ) 2 ? lg 23 ? 3lg10 2 2 3 (3) = ? ? . 2 lg 1.2 3? 2 lg 3 ? 2 lg 2 ? 1 2 lg 10 log m N 5.换底公式: log a N ? ( a > 0 , a ? 1 ; m ? 0, m ? 1) log m a
x 证明:设 log a N ? x ,则 a ? N ,

两边取以 m 为底的对数得: log m a ? log m N ,∴ x log m a ? log m N ,
x

从而得: x ?

log m N , log m a

∴ log a N ?

log m N . log m a

说明:两个较为常用的推论: (1) log a b ? logb a ? 1 ; (2) log am b ?
n

n . log a b ( a 、 b ? 0 且均不为 1) m

证明: (1) log a b ? log b a ? (2) log am b ?
n

lg b lg a ? ? 1; lg a lg b

lg b n n lg b n ? ? log a b . m lg a m lg a m
; (2) log 4 3 ? log9 2 ? log 2
4

例 4.计算: (1) 5 解: (1)原式 =

1? log0.2 3

32 .

5 ? 15 ; 1 5 3 1 1 5 1 5 3 (2) 原式 = log 2 3 ? log 3 2 ? log 2 2 ? ? ? . 2 2 4 4 4 2 b 例 5.已知 log18 9 ? a , 18 ? 5 ,求 log 36 45 (用 a, b 表示) .
log0.2 3

5

?

5

1 log5 5 3

?

解:∵ log18 9 ? a , ∴ log18 2 ? 1 ? a , 又∵ 18 ? 5 , ∴ log18 5 ? b ,
b

∴ log18

18 ? 1 ? log18 2 ? a , 2

log18 45 log18 9 ? log18 5 a ? b ? ? . log18 36 1 ? log18 2 2?a 1 1 1 例 6.设 3 x ? 4 y ? 6 z ? t ? 1 ,求证: ? ? . z x 2y 证明:∵ 3 x ? 4 y ? 6 z ? t ? 1 , lg t lg t lg t ∴ x? , ,y ? ,z ? lg 3 lg 4 lg 6 1 1 lg 6 lg 3 lg 2 lg 4 1 ∴ . ? ? ? ? ? ? z x lg t lg t lg t 2 lg t 2 y 例 7.若 log8 3 ? p , log3 5 ? q ,求 lg 5 .
∴ log 36 45 ? 解:∵ log8 3 ? p , ∴ log 2 3 ? 3 p ? lg 3 ? 3 p lg 2 ? 3 p(1 ? lg 5) ,

lg 5 ?q, lg 3 ∴ lg 5 ? q lg 3 ? 3 pq(1 ? lg 5) , ∴ (1 ? 3 pq) lg 5 ? 3 pq 3 pq ∴ lg 5 ? . 1 ? 3 pq
又∵ log 3 5 ?

四、对数函数
1.对数函数的定义:函数 y ? log a x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数。 2.对数函数的性质: (1)定义域、值域:对数函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的定义域为 (0,??) ,值域为

(??,??) .
(2)图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数 函数图象作关于 y ? x 的对称图形,即可获得。 同样:也分 a ? 1 与 0 ? a ? 1 两种情况归纳,以 y ? log 2 x (图 1)与 y ? log 1 x (图 2)为
2

例。

y ? 2x y?x
1 1

1 y ? ( )x 2
1 1

y?x

y ? log2 x

y ? log 1 x
2

(图 1)

(图 2)

(3)对数函数性质列表:

a ?1 x ?1
图 象

0 ? a ?1
x ?1

y ? log a x

(1, 0)
(1)定义域: (0, ??) 性 质 (2)值域: R (3)过点 (1, 0) ,即当 x ? 1时, y ? 0

(1, 0)

y ? log a x

(4)在(0,+∞)上是增函数 例 1.求下列函数的定义域: (1) y ? log a x ;
2

(4)在 (0, ??) 上是减函数 (3) y ? log a (9 ? x ) .
2

(2) y ? log a (4 ? x) ;

分析:此题主要利用对数函数 y ? log a x 的定义域 (0, ??) 求解。 解: (1)由 x >0 得 x ? 0 ,
2
2 ∴函数 y ? log a x 的定义域是 x x ? 0 ;

?

?

(2)由 4 ? x ? 0 得 x ? 4 , (3)由 9- ? x ? 0 得-3 ? x ? 3 ,
2

∴函数 y ? log a (4 ? x) 的定义域是 x x ? 4 ;
2 ∴函数 y ? log a (9 ? x ) 的定义域是 x ? 3 ? x ? 3 .

?

?

?

?

例 2.比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 2 3.4 , log 2 8.5 ; (2) log 0.3 1.8 , log 0.3 2.7 ; (3) log a 5.1 , log a 5.9 . 解: (1)对数函数 y ? log 2 x 在 (0, ??) 上是增函数, 于是 log 2 3.4 ? log 2 8.5 ; (2)对数函数 y ? log 0.3 x 在 (0, ??) 上是减函数, 于是 log 0.3 1.8 ? log 0.3 2.7 ; (3)当 a ? 1 时,对数函数 y ? log a x 在 (0, ??) 上是增函数, 于是 log a 5.1 ? log a 5.9 , 当 o ? a ? 1时,对数函数 y ? log a x 在 (0, ??) 上是减函数, 于是 log a 5.1 ? log a 5.9 . 例 3.比较下列比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 6 7 , log 7 6 ; (2) log 3 ? , log 2 0.8 ; (3) 1.1 , log1.1 0.9 , log 0.7 0.8 ; 解: (1)∵ log 6 7 ? log 6 6 ? 1 ,
0.9

(4) log 5 3 , log 6 3 , log 7 3 .

log 7 6 ? log 7 7 ? 1 ,
∴ log 6 7 ? log 7 6 ; (2)∵ log3 ? ? log3 1 ? 0 ,

log 2 0.8 ? log 2 1 ? 0 , ∴ log 3 ? ? log 2 0.8 .

(3)∵ 1.10.9 ? 1.10 ? 1 ,

log1.1 0.9 ? log1.1 1 ? 0 , 0 ? log 0.7 1 ? log 0.7 0.8 ? log 0.7 0.7 ? 1 ,
∴ 1.10.9 ? log 0.7 0.8 ? log1.1 0.9 . (4)∵ 0 ? log 3 5 ? log 3 6 ? log 3 7 , ∴ log 5 3 ? log 6 3 ? log 7 3 . 例 4.已知 log m 4 ? log n 4 ,比较 m , n 的大小。 解:∵ log m 4 ? log n 4 , ∴

1 1 , ? log 4 m log 4 n 1 1 当 m ? 1, n ? 1 时,得 0 ? , ? log 4 m log 4 n ∴ log 4 n ? log 4 m , ∴ m ? n ? 1. 1 1 当 0 ? m ? 1 , 0 ? n ? 1 时,得 ? ?0, log 4 m log 4 n ∴ log 4 n ? log 4 m , ∴ 0 ? n ? m ? 1 . 当 0 ? m ? 1 , n ? 1 时,得 log 4 m ? 0 , 0 ? log 4 n , ∴ 0 ? m ?1, n ? 1, ∴ 0 ? m ?1? n . 综上所述, m , n 的大小关系为 m ? n ? 1或 0 ? n ? m ? 1 或 0 ? m ? 1 ? n .
2

例 5.求下列函数的值域:
2 (1)y ? log 2 ( x ? 3) ; (2)y ? log 2 (3 ? x ) ; (3)y ? log a ( x ? 4 x ? 7)( a ? 0 且 a ? 1 ) .

解: (1)令 t ? x ? 3 ,则 y ? log 2 t , ∵ t ? 0 , ∴ y ? R ,即函数值域为 R . (2)令 t ? 3 ? x ,则 0 ? t ? 3 , ∴ y ? log 2 3 , 即函数值域为 (??, log 2 3] .
2

(3)令 t ? x ? 4 x ? 7 ? ( x ? 2) ? 3 ? 3 ,
2 2

当 a ? 1 时, y ? log a 3 , 即值域为 [log a 3, ??) , 当 0 ? a ? 1时, y ? log a 3 , 即值域为 (??, log a 3] . 例 6.判断函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ? x) 的奇偶性。
2

解:∵ x ? 1 ? x 恒成立,故 f ( x) 的定义域为 (??, ??) ,
2

f (? x) ? log 2 ( x 2 ? 1 ? x) 1 ? ? log 2 x2 ? 1 ? x
? ? log 2 x2 ? 1 ? x ( x 2 ? 1) 2 ? x 2

? ? log 2 x 2 ? 1 ? x ? ? f ( x) , 所以, f ( x) 为奇函数。
例 7.求函数 y ? 2log 1 ( x ? 3x ? 2) 的单调区间。
2 3

解:令 u ? x ? 3x ? 2 ? ( x ? ) ?
2 2

3 2

1 3 3 在 [ , ??) 上递增,在 ( ??, ] 上递减, 4 2 2

又∵ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,
2

∴ x ? 2 或 x ? 1, 又∵ y ? 2log 1 u 为减函数,
3

故 u ? x ? 3x ? 2 在 (2, ??) 上递增,在 (??,1) 上递减,
2

所以,函数 y ? 2log 1 ( x ? 3x ? 2) 在 (2, ??) 上递增,在 (??,1) 上递减。
3

例 8.若函数 y ? ? log 2 ( x ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数, a 的取值范围。
2

解:令 u ? g ( x) ? x ? ax ? a ,
2

∵函数 y ? ? log 2 u 为减函数, ∴ u ? g ( x) ? x ? ax ? a 在区间 (??,1 ? 3) 上递减,且满足 u ? 0 ,
2

?a ? ? 1? 3 ∴?2 ,解得 2 ? 2 3 ? a ? 2 , ? g (1 ? 3) ? 0 ?
所以, a 的取值范围为 [2 ? 2 3, 2] .


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