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2013高中数学高考题详细分类考点38 直线的倾斜角与斜率、直线的方程、直线的交点坐标与距离公式


考点 38 直线的倾斜角与斜率、直线的方程、直 线的交点坐标与距离公式
一、选择题 1. ( 2013·湖南高考理科·T 8 )在等腰直角三角形 ABC 中, AB=AC ? 4, 点P 是边 AB 上异于 A, B 的一点,光线从点 P 出发,经 BC, CA 发射后又回到原点 P (如图 1 ) .若光线 QR 经过 ?ABC 的重心,则 AP 等于( A. 2 C


8 3



B. 1 D.
4 3

【解题指南】 本题首先要明白点光源关于反射面的对称点在反射光线的反向 延长线上 ,故可用坐标法完成 ,先建立直角坐标系 ,求直线 BC 的方程 ,然后求 出点 P 关于直线 BC,AC 的对称点 , 由题意知这两点所在直线必过三角形的重 心 ,然后用三点共线完成解答 . 【解析】选 D.以 A 为原点 ,AB 为 x 轴 ,AC 为 y 轴建立直角坐标系 ,设 AP=m, 则 P(m,0),A(0,0),B(4,0),C(0,4), 直线 BC 的方程为 x+y=4,则点 P 关于直线 BC 的对称点 P1 的坐标为 (4,4-m), 点 P 关于直线 AC 的对称点 P2 的坐标为 (-m,0), 而三角形 ABC 的重心为 G ( , ) ,根据光学性质知点 P1 , P2 ,G 三点共 线,则 k P P ? k P G, 故
1 2 2

4 4 3 3

4 ?m 3

4 3

?

4 4 4?m ,解之得 m ? ,故 AP ? 3 3 4?m

2. ( 2013 ·辽宁高考文科·T 9)与( 2013 ·辽宁高考理科·T 9 )相同 已知点 O(0, 0), A(0, b), B (a, a3 ). 若 ?OAB 为直角三角形,则必有(
A.
B.



b ? a3
b ? a3 ? 1 a

C.

1 (b ? a 3 )(b ? a 3 ? ) ? 0 a

D.

b ? a3 ? b ? a3 ?

1 ?0 a

【解题指南】 结合题意,对可能的直角顶点分类讨论;利用直线垂直的等 价条件 【解析】 选 C. 由题意, 点 O(0,0), A(0, b), B(a, a3 ) 不能共线, 故 a ? 0. 从而点 B( a, a3 ) 不在坐标轴上。 当点 A(0,b )为直角顶点时, OA ? AB ,此时 b ? a3 ;
3 当 点 B( a, a )为 直 角 顶 点 时 , OB ? AB , 此 时 OB ? A B, 由 O(0,0) A(0, b) B(a, a3 ). 得

OB ? (a, a3 ), AB ? (a, a3 ? b)
1 。 a 1 1 综上, b ? a3 或 b ? a 3 ? ,故 (b ? a 3 )(b ? a 3 ? ) ? 0. a a

OB ? AB ? a2 ? a3 (a3 ? b) ? 0 ,化简得 b ? a 3 ?

3.(2013 ·新课标全国Ⅱ高考理科·T12) 已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1), 直 线 y=ax+b(a>0) 将 △ ABC 分 割 为 面 积 相 等 的 两 部 分 , 则 b 的 取 值 范 围 是 ( ) B. ? ?1 ?
? ? 2 1? , ? 2 2? ?

A.( 0, 1) 【解析】选 B.

C. ? ?1 ?
?

?

2 1? , 2 3? ?

1 1? D. ? ?3 , 2 ? ? ?

由题意画出图形 , 如图 (1). 由图可知 ,直线 BC 的方程为 x+y=1.
1? b a ? b ? ? b ? 由错误!未找到引用源。解得 M ? , ? ? . 可求 N(0,b),D ? ? , 0 ? . ? a +1 a ? 1 ? ? a ?

因为直线 y=ax+b 将△ ABC 分割为面积相等的两部分 , 所以 S△ BDM=错误!未找到引用源。 S△ ABC. 又 S△ BOC= S△ ABC,所以 S△ CMN=S △ ODN, 即 ? ? ×b=
1 2 b a
1 1? b ? (1-b)× ? ? ?. 2 ? a ?1?
2

1 2

b2 ?1 ? b ? 整理得 ? . a a ?1

?1 ? b ? = 1 ? a ,所以 1 -1= 所以 2
2

b

a

b

1?

2 , a

所以 = 1 ? +1,

1 b

2 a

即 b=

1 ,可以看出 ,当 a 增大时 ,b 也增大 . 1 1? ?1 a
1 2

当 a→ +∞时 ,b→ ,即 b<错误!未找到引用源。 . 当 a→ 0 时 ,直线 y=ax+b, 接近于 y=b.
S CN 2 ?1 ? b ? 1 当 y=b 时 ,如图 (2), ?CDM ? 2 ? 2 ? . . S ?ABC CO 1 2
2

所以 1-b=

2 2 ,所以 b=1,所以 b>1-错误!未找到引用源。 . 2 2
1 2

由上分析可知 1- 错误!未找到引用源。 <b< ,故选 B. 二、填空题 4. ( 2013·四川高考理科·T 15 )设 P , Pn 为平面 ? 内的 n 个点,在平面 1, P 2, 若点 P 到 P 则称点 P 为 P , Pn 点的距离之和最小, , Pn ? 内的所有点中, 1, P 2, 1, P 2, 点的一个“中位点”.例如,线段 AB 上的任意点都是端点 A, B 的中位点.现 有下列命题: ①若三个点 A,B,C 共线 ,C 在线 AB 上 ,则 C 是 A,B,C 的中位点 ; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点 ; ③若四个点 A,B,C,D 共线 ,则它们的中位点存在且唯一 ; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点 . 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号 )

【解题指南】本题是新定义题目 , 在求解过程中需要通过利用定义中的距离 之和最小进行判断 . 【解析】根据“中位点”的定义可知 :①若 A,B,C 三个点共线 ,C 在线 AB 上 , 则 C 是 A,B,C 的中位点 ,正确 .②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个 顶点的中位点 ,错误 .应该是直角三角形斜边上的高线的垂足 .③若四个点 A,B,C,D 共线 ,则它们的中位点存在但是并不唯一 , 故错误 .④梯形对角线的 交点是该梯形四个顶点的唯一中位点 ,正确 . 【答案】①④ 5. ( 2013 ·四川高考文科·T 15 )在平面直角坐标系内,到点 A(1, 2) ,B(1,5) ,
C (3, 6) , D(7, ?1) 的距离之和最小的点的坐标是 _______ 。

【解题指南】分析已知条件可知四边形 ABCD 是凸四边形,要求的点需要到 四点距离之和最小,可知该点应是 AC 与 BD 的交点 .

【解析】由题可知 A(1, 2) , B(1,5) , C (3, 6) , D(7, ?1) ,四边形 ABCD 对角线的交 点到 四 点距 离之 和最 小 ,直线 AC 的方 程为 2 x ? y ? 0 ,直 线 BD 的方程 为
x ? y ? 6 ? 0 ,所以其交点为 (2, 4)

【答案】 (2, 4)


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