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高一第一学期期末试卷数学


郑州市高中一年级 2010—2011 学年上期期末考试





第Ⅰ卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩ A.{3,5,7} B.

{1,5,7} 2.在区间(0,+∞)上不是增函数的是 A.y= 2
x

C B=
N

C.{1,3,9}

D.{1,2,3}

B.y= log2 x

C.y=

2 x

D.y=2x

3.在空间中,下列命题中正确的是 A.若两直线 a,b 与直线 l 所成的角相等,那么 a∥b B.若两直线 a,b 与平面 ? 所成的角相等,那么 a∥b C.如果直线 l 与两平面 ? , ? 所成的角都是直角,那么 ? ∥ ? D.若平面 ? 与两平面 ? , ? 所成的二面角都是直二面角,那么 ? ∥ ? 4.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0 和直线(5a-2)x+(a+4)y-7=0 相互垂直, 则 a 值为 A.0 B.1 C.0 或-1 D.0 或 1

? 2-x -1, x≤0, ? 5.设函数 f(x)= ? 1 若 f (x0)>1,则 x0 的取值范围是 2 ?x >0, ?
A. (-1,1) B. (-1,+∞) C. (-∞,-2)∪(0,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 6.两条平行线 l1:3x+4y-2=0, l2:ax+6y=5 间的距离等于 A.

4 15

B.

7 5
1 2

C.

7 15

D.

2 3

7.函数 f(x)=2 log2 x - x 的零点所在的大致区间为 A. (1,2) B. (2,4)
2

C. (4,8)

D. (

1 ,1) 4

8.过点 P(1, 3 )的圆 x +y -4x=0 的切线方程为
1

2

A.x+ 3 y-2=0 C.x- 3 y+4=0 9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ①DA1 与 BC1 平行; ②DD1 与 BC1 垂直; ③BC1 与 AC 所成角为 60°. 以上三个结论中,正确结论的序号是 A.① B.② C.③ D.②③ 10.设 a= log3 2 ,b=ln2,c= 5 ,则
1 2

B.x- 3 y+2=0 D.x+ 3 y-4=0

A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 11.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个 几何体的体积是

A.4 cm3 B.5 cm3 C.6 cm3 D.7 cm3 12.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)的图像关于 y 轴对称,并且对任意的 x1,x2∈ (-∞,0](x1≠x2) ,有(x2-x1) (f(x2)-f(x1) )>0.则当 n∈N﹡时,有 A.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)

第Ⅱ卷
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡上相应位置. ) 13.已知两个球的表面积之比为 9 :4,则这两个球的体积之比为_______________. 14.在空间直角坐标系中,在 z 轴上求一点 C,使得点 C 到点 A(1,0,2)与点 B(1,1, 1 ) 的 距 离 相 等 , 则 点 C 的 坐 标 为 _______________________.
2

15 . 以 直 线 3x - 4y + 12 = 0 夹 在 两 坐 标 轴 间 的 线 段 为 直 径的圆的方程为 _____________________. 16. 如图,二面角α -l-β 的大小是 60°, 线段 AB ? α , B∈l, 与 l 所成的角为 30°. AB 则 AB 与平面β 所成的角的正弦值是_____________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 求过点 P(1,1) ,并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

18. (本小题满分 12 分) 如下的三个图中,左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和 侧视图已在下面画出(单位:cm) . (Ⅰ)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (Ⅲ)按照给出的尺寸, 求该多面体的表面积.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= log a ( x+ ,g(x)= log a (1 ? x) , (其中 a>0 且 a≠1) . 1) (Ⅰ)求函数 f(x)-g(x)的定义域; (Ⅱ)判断 f(x)-g(x)的奇偶性,并说明理由.

3

20. (本小题满分 12 分) 圆 x +y =8 内一点 P(-1,2) 。过点 P 的直线的倾斜角为α ,直线 l 交圆于 A、B 两
2 2

点. (Ⅰ)当α =135°时,求 AB 的长; (tanl35°=-1) (Ⅱ)当弦 AB 被点 P 平分时,求直线 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 一个四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,且 SA=a,SB=SD= 2 a. (Ⅰ)求证:SA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)若 SC 为四棱锥中最长的侧棱,点 E 为 AB 的中点,求直线 SE 与平面 SAC 所成角 的正弦值.

22. (本小题满分 12 分) 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用水 超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元.某月甲、乙两户共缴水费 y 元,已知甲、乙两用 户该月用水量分别为 5x 吨,3x 吨. (Ⅰ)求 y 关于 x 的函数解析式; (Ⅱ)若甲、乙两户该月共缴水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.

4

2010—2011 学年上期期末考试 高中一年级
一、选择题

数学参考答案

1-12 BCCD
二、填空题 13. 27:8

DAAB

CAAA

14. (0,0,1)
3 25 15. (x+2)2+ ? y ? ? ? ? ? ? ? 2? 4
2

16.

3 4

三、解答题 17 解:由已知,所求直线的斜率显然存在,设为 k 设所求直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , ············· 2 分 ··········· ·· ·········· ··· 令 x=0,得 y=1 ? k,令 y=0,得 x= 1 ? 由 1 ? k =1 ?

1 k

············5 分 ··········· · ·········· · ··········· · 分 ··········· 7 ·········· · ·········· 10 分 ·········· ··········

1 ,得 k=1 或 ?1 k

所以 x ? y ? 0或x ? y ? 2 ? 0 18.解: (Ⅰ)如图 2 6 4 (正视图)

2 2

6 4 2

4 (侧视图)

2 (俯视图) ··········· ········ 分 ··········· ········ ·········· ········ 3

(Ⅱ)所求多面体体积
5

V ? V长方体 ? V正三棱锥
1 ?1 ? ? 4? 4? 6 ? ? ? ? 2? 2?? 2 3 ?2 ?
? 284 (cm 3 ) . ············7 分 ··········· · ·········· · 3

(Ⅲ)所求多面体的表面积

S ? S长方体 ? S正三棱锥侧 ? S?EFG
1 1 ? 4 ? 4 ? 6 ? 4 ? 4 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? 2 2 ? (2 2) 2 ? ( 2) 2 2 2
= 122 ? 2 3 (cm2) . ···· 分 ··· 12 ···

?x ?1 ? 0 19.解: (Ⅰ)若要 f ( x ) ? g( x ) 有意义,则 ? ,即 ?1 ? x ? 1 . ?1 ? x ? 0
所以所求定义域为 x ?1 ? x ? 1

········ 分 ······· 4 ·······

?

?

···· 5 分 ···· ····

(Ⅱ) f ( x ) ? g( x ) 为奇函数。证明如下: 设 F ( x ) ? f ( x ) ? g( x ) ? loga

1? x , 1? x

····· 分 ····· ···· 7

由(1)知 F ( x ) 的定义域关于原点对称 且 F ( ? x ) ? loga

1? x 1? x ? ? loga ? ?F ( x) . 1? x 1? x

···· 10 分 ···· ···· ··· 分 ··· ·· 12

所以 f ( x ) ? g( x ) 是奇函数 20.解:(Ⅰ)当 ? = 135 时,kAB=-1,? 直线 AB 的方程为 y-2= ? (x+1) , 即 x+y-1=0.? 故圆心(0,0)到 AB 的距离 d=
0 ? 0 ?1 2 ? 2 ,? 2
6
?

··········· ··· 2 分 ··········· ··· ·········· ····

··········· ·· 分 ··········· · 4 ·········· ··

从而弦长|AB|=2 8 ?

1 ? 30 .? 2

··········· ··· 分 ··········· ··· ·········· ··· 6

(Ⅱ)解一:由题可知 kop ? ?2 ,故 k AB ?
1 2

1 , 2

··········· ·· 分 ··········· · 9 ·········· ·· ·········· 分 ········· 12 ·········

所以 l 的方程为 y-2= (x+1) ,即 x-2y+5=0. 解二:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2= ? 2,y1+y2=4.?

··········· · 8 分 ··········· · ·········· ··

? x12 ? y12 ? 8, 由 ? x 2 ? y 2 ? 8, 2 ? 2
两式相减得(x1+x2) 1-x2)+(y1+y2) 1-y2)=0,? (x (y 即-2(x1-x2)+4(y1-y2)=0,? ∴kAB=

y1 ? y 2 1 ? .? x1 ? x2 2
1 2

··········· ····· 分 ··········· ····· ··············· 10

∴直线 l 的方程为 y-2= (x+1) , 即 x-2y+5=0. 21. 解: (Ⅰ)证明:? SA ? a, SB ? 2a, SD ? 2a ··········· ··· 分 ············· 12 ·········· ···

AB ? AD ? a

? SA ? AB, SA ? AD ,

··········· ········· 3 分 ··········· ········· ·········· ··········

而 AB ? AD ? A ∴ SA ? 平面 ABCD . ··········· ········· 分 ··········· ········· ·········· ········· 6 (Ⅱ ) 作 EF⊥AC 交于 F,连接 SF,易证 EF⊥SA ∴EF⊥平面 SAC ··········· ···· 分 ··········· ··· 8 ·········· ···· ∴∠ESF 是直线 SE.与平面 SAC 所成角。 而 EF=

1 2 5 BD ? a , SE= a 4 4 2 EF 10 ? SE 10

··········· ····· 分 ··········· ····· ··············· 10

∴ sin ?ESF ?

··········· ········· 分 ··················· 12 ·········· ·········

22. 解: (Ⅰ)当甲的用水量不超过 4 吨时,即 5x≤4,乙的用水量也不超过 4 吨, y=(5x+3x)×1.8=14.4x;? ···· 分 ··· 2 ··· 当甲的用水量超过 4 吨,乙的用水量不超过 4 吨时,? 即 3x≤4 且 5x>4,?
7

y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.? 当乙的用水量超过 4 吨时,? 即 3x>4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6,?
? ?14.4 x ? 所以 y= ?20.4 x ? 4.8 ? ? ? ?24 x ? 9.6 ? 4 (0 ? x ? ) 5 4 4 ( ? x ? ). 5 3 4 (x ? ) 3

···· 4 分 ···· ···· ····· 分 ···· 6 ····

··········· ····· 7 分 ··········· ····· ·········· ······ (Ⅱ) 由于 y=f(x)在各段区间上均为单调递增,? 当 x∈[0, ]时,y≤f( )<26.4;? 当 x∈( , ]时,y≤f( )<26.4;? 当 x∈( ,+∞)时,令 24x-9.6=26.4,解得 x=1.5,?
4 3 4 5 4 3 4 3 4 5 4 5

···· 分 ···· ··· 10

所以甲户用水量为 5x=7.5 吨,? 付费 S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元);? 乙户用水量为 3x=4.5 吨,? 付费 S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元). ············12 分 ··········· · ·········· ··

8


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