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河北省唐山市2017届高三上学期期末考试理数试题 Word版含答案


第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A ? ??2, ?1, 0, 2,3? , B ? y | y ? x 2 ? 1, x ? A ,则 A ? B 中元素的个数是 ( A. 2 ) B. 3 C. 4 D. 5 )

?



?

2. i 是虚数单位,复数 z ? a ? i ? a ? R ? 满足 z 2 ? z ? 1 ? 3i ,则 z ? ( A. 2 或 5 B. 2 或 5 C. 5 D. 5

3. 设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,且 a ? ? ?2,1? , a ? 2b ? ? 2,3 ? ,则 cos ? ? ( A. ?

?

?

?

?

?



3 5

B.

3 5

C.

5 5

D. ?

2 5 5

4. 已知 tan ? ? A. 7

1 ?? ? ,则 tan ? ? 2? ? ? ( 2 ?4 ?
B. ?7



C.

1 7

D. ?

1 7

5. 《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的 三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为 ( )

A. 4 6. 已知数列

B. 6 ? 4 2

C. 4 ? 4 2

D. 2

?an ? , ?bn ? 满足

bn ? an ? an ?1 ,则“ 数列 ?an ? 为等差数列” 是“ 数列
) B.必要不充分条件

?bn ? 为

等差数列” 的(

A.充分不必要条件

C.充分必要条件

D.即不充分也不必要条件 )

7. 执行如图所示的程序框图,则输出的 a ? (

5 2 b 10 8.在 ? x ? 2 ? 展开式中, 二项式系数的最大值为 a , 含 x 7 项的系数为 b , 则 ?( a 80 21 21 80 A. B. C. ? D. ? 21 80 80 21
A. 1 B. ?1 C. ?4 D. ?



?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 2 2 9. 设实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值为 ?3 x ? y ? 10 ? 0 ?
A. 10 B. 10 C. 8





D. 5

10. 现有一半球形原料, 若通过切削将该原料加工成一正方体工件, 则所得工件体积与原料 体积之比的最大值为 ( A. ) B.

6 3?

6 6?

C.

3 2 8?

D.

3 2 4?

11. 已知 O 为坐标原点, F 是双曲线 ? :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点, A, B 分别 a 2 b2

为 ? 的左、右顶点, P 为 ? 上一点,且 PF ? x 轴, 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于 点 M ,与 y 轴交于点 E ,直线 BM 与 y 轴交于点 N ,若 OE ? 2 ON ,则 ? 的离心 率为 (
A. 3 ) B. 2 C.

3 2

D.

4 3

12. 已知函数 f ? x ? ? ln e x ? e ? x ? x 2 ,则使得 f ? 2 x ? ? f ? x ? 3? 成立的 x 的取值范

?

?

围是(
A. ? ?1,3? C. ? ?3,3?

) B. ? ??, ?3? ? ? 3, ?? ? D. ? ??, ?1? ? ? 3, ?? ?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 曲线 y ? x 与 y ?
3

x 所围成的封闭图形的面积为

. .

14. 已知 ?an ? 是等比数列, a5 ? 15.设 F1 , F2 为椭圆 C :

1 , 4a3 ? a7 ? 2 ,则 a7 ? 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,经过 F1 的直线交椭圆 C 于 a 2 b2


A, B 两点,若 ?F2 AB 是面积为 4 3 的等边三角形,则椭圆 C 的方程为
16. 已知 x1 , x2 是函数 f ? x ? ? 2sin 2 x ? cos 2 x ? m 在 ? 0,

? ?? 内的两个零点,则 ? 2? ?

sin ? x1 ? x2 ? ?



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .已知

a cos A cos B ? b sin 2 A ? c cos A ? 2b cos B .
(1)求 B ; (2)若 b ?

7a, S ?ABC ? 2 3 ,求 a .

18. (本小题满分 12 分)在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生 人数之比为 1: 3 ,且成绩分布在 ? 40,100? ,分数在 80 以上(含 80 )的同学获奖. 按文理 科用分层抽样的方法抽取 200 人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图(见下图). (1) 填写下面的 2 ? 2 列联表, 能否有超过 95 0 0 的把握认为 “获奖与学生的文理科有关” ? (2)将上述调査所得的频率视为概率,现从参赛学生中,任意抽取 3 名学生,记“获奖” 学生人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

文科生 获奖 不获奖 合计

理科生

合计

5

200

附表及公式:

n ? ad ? bc ? K ? ? a ? b ?? a ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

,其中 n ? a ? b ? c ? d

P?K2 ? k?

0.15
2.072

0.10
2.706

0.05
3.841

0.025
5.024

0.010
6.635

0.005
7.879

0.001

k

10.828

19. (本小题满分 12 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,

?ABC ? 60? , PB ? PC ? PD .
(1)证明: PA ? 平面 ABCD ; (2)若 PA ? 2 ,求二面角 A ? PD ? B 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C : 2 py ? p ? 0 ? ,圆 O : x ? y ? 1 .
2 2

(1)若抛物线 C 的焦点 F 在圆上,且 A 为 C 和圆 O 的一个交点,求 AF ;

(2)若直线 l 与抛物线 C 和圆 O 分别相切于点 M , N ,求 MN 的最小值及相应 p 的值. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? (1)求 y ? f ? x ? 的最大值; (2)当 a ? ? 0, ? 时,函数 y ? g ? x ? , x ? ? 0, e ? 有最小值. 记 g ? x ? 的最小值为 h ? a ? , e

ln x ax ? ? , g ? x ? ? x ? ln x ? ? 1? . x 2 ? ?

? 1? ? ?

?

?

求函 数 h ? a ? 的值域.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : x ? y ? 4 ,曲线 C2 : ? 原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C1 , C2 的极坐标方程;

? x ? 1 ? cos ? , 以坐标 (? 为参数) ? y ? sin ?

(2)若射线 l : ? ? ? ? p ? 0 ? 分别交 C1 , C2 于 A, B 两点, 求 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

OB OA

的最大值.

已知函数 f ? x ? ? a x ? 1 ? x ? a ? a ? 0 ? .
(1)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ; (2)若 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围.

唐山市 2016~2017 学年高三年级理数期末试题参考答案 唐山市 2016—2017 学年度高三年级期末考试

理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:BCADB ACDBA AD B 卷:BCADD ACDBA AB 二、填空题: 5 (13)12 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)由正弦定理得: 2sin Bcos B=sin Acos Acos B-sin Bsin 2A-sin Ccos A =sin Acos (A+B)-sin Ccos A =-sin Acos C-sin Ccos A =-sin (A+C) =-sin B, ∵sin B≠0, 1 2π ∴cos B=- 2 ,B= 3 . 1 (Ⅱ)由 b2=a2+c2-2accos B,b= 7a,cos B=- 2 得 c2+ac-6a2=0,解得 c=2a, 1 3 由 S△ABC= 2 acsin B= 2 a2=2 3,得 a=2. (18)解: (Ⅰ) 文科生 获奖 不获奖 5 45 理科生 35 115 合计 40 160 ?10 分 ?12 分 ?6 分 (14)1 x2 y2 (15) 9 + 6 =1 2 5 (16) 5

合计

50

150

200

200(5×115-35×45)2 25 k= 50×150×40×160 = 6 ≈4.167>3.841, 所以有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”. 1 (Ⅱ)由表中数据可知,抽到获奖同学的概率为 5 , 1 将频率视为概率,所以 X 可取 0,1,2,3,且 X~B 3, 5 . ?6 分

(

)

1 k P(X=k)=C3 × 5

( ) (1 - 1 5)
k

3-k

(k=0,1,2,3),

X P ?10 分 1 3 E(X)=3× 5 = 5 . (19)解:

0 64 125

1 48 125

2 12 125

3 1 125

?12 分

(Ⅰ)证明:连接 AC,则△ABC 和△ACD 都是正三角形. 取 BC 中点 E,连接 AE,PE, 因为 E 为 BC 的中点, 所以在△ABC 中,BC⊥AE, 因为 PB=PC,所以 BC⊥PE, 又因为 PE∩AE=E, 所以 BC⊥平面 PAE,又 PA?平面 PAE, 所以 BC⊥PA. 同理 CD⊥PA, 又因为 BC∩CD=C, 所以 PA⊥平面 ABCD.

?6 (Ⅱ)如图,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 B( 3,-1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

→ PD =(0,2,-2),→ BD =(- 3,3,0),
设平面 PBD 的法向量为 m=(x,y,z),

m· n 15 则 cos?m,n?= |m|· |n|= 5 , 15 所以二面角 A-PD-B 的余弦值是 5 . (20)解: (Ⅰ)由题意得 F(1,0),从而有 C:x2=4y.
?x2=4y, 解方程组? 2 2 ,得 yA= 5-2,所以|AF|= 5-1. ?x +y =1

?12 分

?5 分

x0 (Ⅱ)设 M (x0,y0),则切线 l:y= p (x-x0)+y0, 整理得 x0x-py-py0=0.
2 由|ON|=1 得|py0|= x0 +p2= 2py0+p2,

?6 分

2y0 所以 p= 2 且 y2 0-1>0, y0-1
2 2 所以|MN|2=|OM|2-1=x2 0+y0-1=2py0+y0-1

?8 分

4y2 4 0 = 2 +y2 -1=4+ 2 +(y2 0 0-1)≥8,当且仅当 y0= 3时等号成立, y0-1 y0-1 所以|MN|的最小值为 2 2,此时 p= 3. ?12 分

(21)解: 1-ln x (Ⅰ)f ′ (x)= x2 (x>0) , 当 x∈(0,e)时,f ′ (x)>0,f (x)单调递增; 当 x∈(e,+∞)时,f ′ (x)<0,f (x)单调递减, 1 所以当 x=e 时,f (x)取得最大值 f (e)= e . ln x (Ⅱ)g′ (x)=ln x-ax=x x -a ,由(Ⅰ)及 x∈(0,e]得: ?4 分

(

)

1 ln x ①当 a= e 时, x -a≤0,g′ (x)≤0,g (x)单调递减, e 当 x=e 时,g (x)取得最小值 g (e)=h (a)=- 2 . 1 1 ②当 a∈ 0, e ,f (1)=0≤a,f (e)= e >a, ?6 分

[

)

所以存在 t∈[1,e),g′ (t)=0 且 ln t =at, 当 x∈(0,t)时,g′ (x)<0,g (x)单调递减, 当 x∈(t,e]时,g′ (x)>0,g (x)单调递增, 所以 g (x)的最小值为 g (t)=h (a). t ln t 令 h (a)=G (t)= 2 -t, ln t -1 e 因为 G′(t)= 2 <0,所以 G(t)在[1,e)单调递减,此时 G (t)∈ - 2 ,-1 . ?9 分

(

]

e 综上,h (a)∈ - 2 ,-1 .

[

]

?12 分

(22)解: (Ⅰ)C1:ρ(cos θ+sin θ)=4, C2 的普通方程为(x-1)2+y2=1,所以 ρ=2cos θ. π π (Ⅱ)设 A(ρ1,α),B(ρ2,α),- 4 <α< 2 , 4 则 ρ1= ,ρ2=2cos α, cos α+sin α |OB| ρ2 1 = = ×2cos α(cos α+sin α) |OA| ρ1 4 1 1 = 4 (cos 2α+sin 2α+1)= 4 ?6 分 ?4 分

[

π 2cos 2α- 4 +1 ,

(

) ]

?8 分

|OB| π 1 当 α= 8 时, 取得最大值 4 ( 2+1). |OA| (23)解:

?10 分

?-3x+4,x<1, ? 1≤x≤2, (Ⅰ)f (x)=2|x-1|+|x-2|=?x, ? ?3x-4, x>2.
所以,f (x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增, 8 8 又 f (0)=f 3 =4,故 f (x)≤4 的解集为 x|0≤x≤ 3 .

( )

{

}

?4 分

(Ⅱ) ①若 a>1,f (x)=(a-1)|x-1|+|x-1|+|x-a|≥a-1, 当且仅当 x=1 时,取等号,故只需 a-1≥1,得 a≥2. ②若 a=1,f (x)=2|x-1|,f (1)=0<1,不合题意. ③若 0<a<1,f (x)=a|x-1|+a|x-a|+(1-a)|x-a|≥a(1-a), 当且仅当 x=a 时,取等号,故只需 a(1-a)≥1,这与 0<a<1 矛盾. 综上所述,a 的取值范围是[2,+∞). 解法 2 f (x)≥1?f (1)=|1-a|≥1 且 a>0,解得 a≥2. ?6 分 ?9 分 ?10 分 ?6 分 ?7 分

? ?-(a+1)x+2a,x<1, 1≤x≤a, 当 a≥2 时,f (x)=a|x-1|+|x-a|=?(a-1)x, ?(a+1)x-2a, x>a. ?
所以,f (x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,则 f (x)≥f (1). f (x)≥1?f (1)=a-1≥1,解得 a≥2. 综上所述,a 的取值范围是[2,+∞). ?10 分 ?8 分


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