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2013-2014学年度第二学期期末考试高一数学(必修2)试卷及答案


2013~2014 学年度第二学期期末考试 高一数学(必修 2)试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题恰有一项 是符合题目要求的.) .... 1.若直线 l 经过原点和点 A(-2,-2),则它的斜率为( A.-1 B.1
0

11.已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则该圆关于直线 y ? x 对称圆的方程为( A. x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 C. x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 B. x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 )



) D.0

C.1 或-1 )

12.若斜线段 AB 是它在平面 α 上的射影的长的 2 倍,则 AB 与平面 α 所成的角是 ( A.60° B.45° C.30° D.120°

2.经过点 P(?4,3) ,倾斜角为 45 的直线方程是( A. x ? y ? 7 ? 0 B. x ? y ? 7 ? 0

C. x ? y ? 7 ? 0

D. x ? y ? 7 ? 0

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.空间直角坐标系中点 A 和点 B 的坐标分别是 ?? 1 , 0, 2? , ?0, 3, ? 1? ,则 | AB |? ___ 14.两条平行直线 3x ? 4 y ? 10与 6 x ? 8 y ? 15 ? 0 的距离是 . _.

3.下列命题:①三个点确定一个平面; ②一条直线和一个点确定一个平面;③两条相交直线确定一个平面; ④两条平行直线确定一个平面;⑤梯形一定是平面图形. 其中正确的个数有( ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 4.直线 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 与直线 5 x ? y ? 9 ? 0 的交点坐标是( A. ?1 , 2? B. ?2, 1? C. ?3, 1? D. ?1 , 3? ) )

15.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两相互垂直,且三个侧面的面积分别为 S1,S2,S3,则 这个三棱锥的体积为 .

5.已知直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 和 l 2 : x ? ?a ? 2?y ? a ? 0 ,若 l1 ? l 2 ,则 a 的值为( A.

16.右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中: ① BM 与 DE 平行;② CN 与 BE 是异面直线; ③ CN 与 BM 成 60 ? 角;④ DM 与 BN 垂直. 其中,正确命题的序号是______________________.

3 2

B. 3

C.

4 3

D. 4 )

6.直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0 ,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A. ?1 , 0? B. ?0, 1? C. ?3, 1? D. ?1 , 3?

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.) 17.(本小题满分 10 分)分别求满足下列条件的直线方程: ) (1)过点 (0,?1) ,且平行于 l1 : 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的直线; (2)与 l 2 : x ? y ? 1 ? 0 垂直,且与点 P(?1,0) 距离为 2 的直线.

7.一个正方体的各个顶点均在同一个球的球面上,若正方体的边长为 2, 则该球的体积为( A. 4? B. 2? C. 4 3? D.4

8.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n / /? ,则 m ? n ; ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n ; 其中正确命题的序号是 ( ) A.①和④ B.①和②
2 2 2 2

②若 ? / / ? , ? / /? , m ? ? ,则 m?? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? . 18.(本小题满分 12 分)右图是一个几何体的三视图(单位: cm ). C.③和④ D.②和③ ) (1)计算这个几何体的体积; (2)计算这个几何体的表面积.

5

15 10 正视图 8 侧视图

9.圆 x ? y ? 2 x ? 0 和圆 x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是(

A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 10.在空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点,如果 EF、GH 相交于点 P,那么( A.点 P 必在直线 AC 上 B.点 P 必在直线 BD 上 C.点 P 必在平面 DBC 内 D.点 P 必在平面 ABC 外

)

俯视图

19.(本小题满分 12 分)已知圆 C 同时满足下列三个条件:①与 y 轴相切;②在直线 y=x 上截得弦长为 2 7 ; ③圆心在直线 x-3y=0 上. 求圆 C 的方程.

21. (本小题满分 12 分)已知圆 C :(x-1)2+(y-2)2=2,点 P 坐标为(2,-1),过点 P 作圆 C 的切线,切 点为 A,B. (1)求直线 PA,PB 的方程; (2)求过 P 点的圆的切线长;

22. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD 20.(本小题满分 12 分)已知长方体 A1 B1C1 D1 ? ABCD 的高为 2 ,两个底面均为边长为 1 的正方形.
A1

=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)求证:PA∥平面 EDB; (2)求证:PB⊥平面 EFD.

(1)求证: BD // 平面A1 B1C1 D1 ; (2)求异面直线 A1C 与 AD 所成角的大小; (3)求二面角 A1 ? BD ? A 的平面角的正弦值.
A B B1 C1

D1

D C

2013~2014 学年度高一数学第二学期 期末考试参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题恰有一项 是符合题目要求的.) ....

20.证明:(1)连结 B1 D1 ,

? A1 B1C1 D1 ? ABCD是长方体,

? B1B//D1D且B1B ? D1D ,?四边形B1BDD1为平行四边形,
10. A 11.D 12. A

1. B

2. C

3.C
1 2

4.B

5.A
1 3

6.C

7.C

8.B

9.B

? BD//B1D1 ,? B1D1 ? 平面A1B1C1D1 , BD ? 平面A1B1C1D1 ,
? BD//平面A1B1C1D1 . ……………………………………………………………………4 分
(2)由长方体的性质得: AD//A1D1 , ? ?CA1 D1 或其补角是异面直线 A1C 与 AD 所成角.
A1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.

19

14.

15.

2S1S 2 S3

16. ③④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.) 17.解:(1)? 平行于 l1 ,

? 斜率为 ? 2 ,

连结 D1C ,? A1D1 ? 平面D1DCC1 , 在 Rt?A1D1C 中, A1D1 ? 1 , CD 1 ?

? A1D1 ? D1C ,
B1

D1 C1

又过点为 (0,?1) , ? 由点斜式可得直线方程为 y ? 1 ? ?2( x ? 0) , 即 2 x ? y ? 1 ? 0 . ………………………………………………………………………6 分 (2)? 直线与 l 2 垂直,可设直线方程为 x ? y ? m ? 0 , 解得 m ? 3或m ? ?1 , ? 2, 2 所以所求直线方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . …………………………………12 分 点 P(?1,0) 到直线距离 d ? 18.解:(1)因为 V长方体 ? 10? 8 ?15 ? 1200 , (cm3) 又 V半球

CD ? D1 D ? 3 ,
2 2

?1 ? m

? tan?CA1 D1 ?

CD1 ? 3, A1 D1
0

? ?CA1 D1 ? 600 ,
B

A O C

D

即异面直线 A1C 与 AD 所成角为 60 . ……………………………………………………9 分 (3)连结 AC ,设 AC 与 BD 交于 O , ?四边形ABCD为正方形,

? AC ? BD ,连结 A1O ,

1 4 1 4 ? 5 ? 125 ? ? ?R 3 ? ? ? ? ? ? ? ? cm3 , 2 3 2 3 2 12 ? ?
? ? 125 ? ? ? cm3 . …………………6 分 12 ?
2

3

?

?

? A1 A ? 平面ABCD ,则 BD ? A1O , ? ?A1OA 是二面角 A1 ? BD ? A 所成角的平面角,

所以所求的几何体体积 V ? V长方体 ? V半球 ? ?1200?

?

?

? 2? 2 2 ? 在 Rt?A1AO 中,? A1 A ? 1, AO ? ,? A1O ? AO2 ? AA1 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
? sin ?A1OA ?

2

? 2?

2

?

10 , 2

(2)因为 S长方体 ? 2 ? (10? 8 ? 8 ?15 ? 10?15) ? 700 , (cm )

AA1 2 5 2 5 ,所以二面角 A1 ? BD ? A 所成角的平面角的正弦值为 . ? 5 A1O 5

S半球

1 1 25 25 ?5? ?5? , S 半球底 ? ?R 2 ? ? ? ? ? , ? ? 4?R 2 ? ? 4? ? ? ? ? ?(cm2) ?(cm2) 2 2 2 4 ? 2? ? 2?
25 25 25 ? 700 ? ? ? ? ? (700 ? ?)( cm 2) . ……12 分 2 4 4

2

2

…………………………………………………………………………………………………14 分 21.解:(1)设过 P 点圆的切线方程为 y+1=k(x-2),即 kx―y―2k―1=0. 因为圆心(1,2)到直线的距离为 2 ,
- k -3 k 2 +1

所以 S ? S 长方体 ? S 半球 ? S 半球底

= 2 , 解得 k=7,或 k=-1.

19.解:设所求的圆 C 与直线 y=x 交于 AB, ∵圆心 C 在直线 x ? 3 y ? 0 上,∴圆心 C(3a,a),又圆与 y 轴相切,∴R=3|a|. 又圆心 C 到直线 y-x=0 的距离 | CD |?

故所求的切线方程为 7x―y―15=0,或 x+y-1=0. (2)在 Rt△PCA 中,因为|PC| = (2 -1)2 +(-1-2)2 = 10 ,|CA|= 2 , 所以|PA|2=|PC|2-|CA|2=8.所以过点 P 的圆的切线长为 2 2 . 22.证明 (1)连接 AC 交 BD 于点 O.连接 EO,如图.

| 3a ? a | 2

? 2 | a | . ?| AB |? 2 7 , | BD |? 7

在 Rt△CBD 中, R 2 ? | CD |2 ? ( 7 ) 2 ,?9a 2 ? 2a 2 ? 7.a 2 ? 1, a ? ?1,3a ? ?3 . ∴圆心的坐标 C 分别为(3,1)和(-3,-1),故所求圆的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 或 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 . ∵底面 ABCD 是正方形,

∴点 O 是 AC 的中点. 在△PAC 中 EO 是中位线, ∴PA∥EO. 而 EO?平面 EDB,且 PA?平面 EDB. 所以 PA∥平面 EDB. (2)∵PD⊥底面 ABCD,且 DC?底面 ABCD. ∴PD⊥DC. ∵PD=DC,可知△PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴DE⊥PC.① 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC, ∴BC⊥平面 PDC.而 DE?平面 PDC, ∴BC⊥DE.② 由①和②推得 DE⊥平面 PBC. 而 PB?平面 PBC,∴DE⊥PB. 又 EF⊥PB,且 DE∩EF=E,∴PB⊥平面 EFD.


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