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2007年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题及答案


2007 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
(2007 年 3 月 25 日 星期日 上午 8:30—10:30)

【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1. 方程 x1 ? 1 ? 2 x2 ? 4 ? 3 x3 ? 9 ?

1 ? x1

? x2 ? x3 ? 的实数解 ? x1, x2 , x3 ? ? 2

F 2. 有一条长度为 1 的线段 EF , 其端点 E , 在边长为 3 的正方形 ABCD 的四边上滑动,
当 EF 绕着正方形的四边滑动一周时, EF 的中点 M 所形 成的轨迹的长是_______________. 3. 复数数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ? an?12 ? i ( n ? 2 , i 为虚
E A D

数单位) ,则它的前 2007 项的和为_______________. 4. 已知 ? ? l ? ? 是大小为 45 的二面角, C 为二面角内一定
?

M F C

B

点,且到半平面 ? 和 ? 的距离分别为 2 和 6 , A , B 分别是半平面 ? , ? 内的动 点,则 ? ABC 周长的最小值为_______________. 5. 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 中 点 与 点 的 对 应 法 则 f : P ? m, n ? ? P '

?

m, n

?

? m ? 0, n ? 0?

. 若 一 段 曲 线 在 对 应 法 则 f 下 对 应 椭 圆 的 一 段 弧

x2 y 2 ? ? 1? x ? 0, y ? 0 ? ,则这段曲线的方程是________________. a 2 b2
n? ,计算: f ?1? ? f ?3? ??? f ? 2n ?1? ? _______________. 4 x ? xn ? 2 7. 已知数列 ?xn ? 满足 x1 ? 0 , x2 ? 1 , xn ? n ?1 ? n ? 3? ,则数列 ?xn ? 的通项公 2
6. 已知 f ? n ? ? cos 式 xn ? _______________. 8. 已知圆 M : ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 4 ,过 x 轴上的点 P ? a,0? 存在圆 M 的割线 PBA ,
2 2

使得 PA ? BA ,则点 P 的横坐标 a 的取值范围是_______________.

1

二、解答题 9.(本题满分 14 分)对任意正整数 n ,用 S ? n ? 表示满足不定方程

1 1 1 ? ? 的正整数 x y n

对 ? x, y ? 的个数,例如,满足

1 1 1 ? ? 的正整数对有 ? 6,3? , ? 4, 4 ? , ? 3,6 ? 三个, x y 2

则 S ? 2? ? 3 .求出使得 S ? n? ? 2007 的所有正整数 n .

10. (本题满分 14 分) 已知关于 x 的方程 x sin ? ? ?sin ? ? 2? x ? 6x ? 4 ? 0 有三个正
3 2

实根,求 u ?

9sin 2 ? ? 4sin ? ? 3 的最小值. ?1 ? cos? ?? 2cos? ? 6sin ? ? 3sin 2? ? 2?

2

11. (本题满分 16 分) 已知抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? ,AB 是 过 焦 点 F 的 弦 , 如 果 AB 与 x 轴 所 成 的 角 为

? ?0 ?? ?

? ?

??

? ,求 ?AOB . 2?

12. (本题满分 16 分)求满足如下条件的最小正整数 n ,在圆周上任取 n 个点 A1 ,
2 A2 ,…, An ,则在 Cn 个角 ?AiOA j ?1 ? i ? j ? n? 中,至少有 2007 个不超过120? .

3

2007 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷参考答案
1. 2. 3. 4. 5. (2,8,18)

8??
–1003+2 i

10 2
y ? b 2 (1 ? x ) a2

(0 ? x ? a 2 )

6.

1 ? (? ) n / 2 ? ? 2 ? 1 n / 2 ? 0 .5 2 ?( ) * ? 2 2 ?
2 2 1 ? * (? ) n ?1 3 3 2

n为偶数 n为奇数

7. 8

1? 3 3 ? a ? 1? 3 3

9.

n?P 1

1003

或者 n ? P P2 1

334

或者 n ? P P2 1
4

111

或者 n ? P P2 P3 1

111

其中P , P2 , P3是不同的质数 1
10 11. 12

当sin ? ? 2 / 9时,U min ? 621/ 8

? ? arctan
91

4 3 sin ?

4


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