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第八章 第九节课时限时检测


(时间 60 分钟,满分 80 分) 一、选择题(共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分) x2 1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4 A.2 4 10 C. 5 4 5 B. 5 8 10 D. 5 )

x2 5 解析:设直线 l 的方程为 y=x+t,代入 +y2=1,消去 y 得 x2

+2tx+t2-1=0,由题 4 4 5-t2 4 10 意得 Δ=(2t) -5(t -1)>0,即 t <5.弦长|AB|=4 2× ≤ . 5 5
2 2 2

答案:C x2 y2 2.已知椭圆 + =1 的长轴的左、右端点分别为 A、B,在椭圆上有一个异于点 A、 4 3 1 B 的动点 P,若直线 PA 的斜率 kPA= ,则直线 PB 的斜率 kPB 为( 2 3 A. 4 C.- 3 4 3 B. 2 D.- 3 2 )

解析:设点 P(x1,y1)(x1≠± 2), 则 kPA= y1 y1 ,k = , x1+2 PB x1-2

x2 1 3?1- ? 2 4 y1 y1 y1 3 ∵kPA·PB= k · = = 2 =- , 4 x1+2 x1-2 x2-4 x1-4 1 ∴kPB=- 答案:D 3.如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B,交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( ) 3 3 3 =- ×2=- . 4kPA 4 2

3 A.y2= x 2 9 C.y2= x 2

B.y2=9x D.y2=3x

解析:分别过点 A、B 作 AA1、BB1 垂直于 l,且垂足分别为 A1、B1, 由已知条件|BC|=2|BF|得|BC|=2|BB1|, ∴∠BCB1=30° 又|AA1|=|AF|=3, , ∴|AC|=2|AA1|=6,∴|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3,∴F 为线段 AC 的中 1 3 点.故点 F 到准线的距离为 p= |AA1|= ,故抛物线的方程为 y2=3x. 2 2 答案:D x2 y2 4.(2010· 烟台三模)已知抛物线 y =2px(p>0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有相同的焦 a b
2

点 F,点 A 是两曲线的一个交点,且 AF⊥x 轴,若 l 为双曲线的一条渐近线,则 l 的倾斜 角所在的区间可能是( π A.(0, ) 4 π π C.( , ) 4 3 ) π π B.( , ) 6 4 π π D.( , ) 3 2

p 解析:由抛物线与双曲线有相同的焦点可得 =c= a2+b2,再由 AF⊥x 轴可得,在双 2 b2 b2 曲线中|AF|= a ,在抛物线中|AF|=p,故又有 a =p=2c=2 a2+b2,即 b4=4a2(a2+b2)?b4 b2 π b2 -4a2b2-4a4=0,解得 2=2+2 2>3=tan2 (或 2=2-2 2<0 舍去),故 l 的倾斜角所在的 a 3 a π π 区间可能是( , ). 3 2 答案:D y2 5.(2011· 东北三校)已知曲线 C1 的方程为 x2- =1(x≥0,y≥0),圆 C2 的方程为(x- 8 3)2+y2=1,斜率为 k(k>0)的直线 l 与圆 C2 相切,切点为 A,直线 l 与曲线 C1 相交于点 B, |AB|= 3,则直线 AB 的斜率为( A. 3 3 B. 1 2 )

C.1

D. 3

?a2-b =1, ? 8 解析:设 B(a,b),则由题意可得? ??a-3?2+b2=3+1, ?

2

?a=1, ? |3k-k| 3 3 解得? 则直线 AB 的方程为 y=k(x-1), 故 ∴k= , k=- (舍 或 2=1, 3 3 ? 1+k ?b=0

去). 答案:A x2 y2 6.已知椭圆 + =1,若在此椭圆上存在不同的两点 A、B 关于直线 y=4x+m 对称, 4 3 则实数 m 的取值范围是( A.(- C.(- 2 13 2 2 , ) 13 13 2 2 13 , ) 13 13 ) B.(- 2 13 2 13 , ) 13 13

2 3 2 3 D.(- , ) 13 13 y2-y1 1 =- ,x1+x2=2x, 4 x2-x1

解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x,y),kAB=

2 2 y1+y2=2y,3x1+4y2=12 ①,3x2+4y2=12 ②,①②两式相减得 3(x2-x1)+4(y2-y2)=0, 1 2 2 2 2 1

即 y1+y2=3(x1+x2),即 y=3x,与 y=4x+m 联立得 x=-m,y=-3m,而 M(x,y)在椭 m2 9m2 2 13 2 13 圆的内部,则 + <1,即- <m< . 4 3 13 13 答案:B 二、填空题(共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) 7.当 x>1 时,直线 y=ax-a 恒在抛物线 y=x2 的下方,则 a 的取值范围是________.
2 ? ?y=x 解析:由题可知,联立? ,整理可得 x2-ax+a=0,当 Δ=a2-4a=0,解得 ? ?y=ax-a

a=0 或 a=4,此时直线与抛物线相切,因为直线横过定点(1,0),结合图形可知当 a∈(-∞, 4),x>1 时直线 y=ax-a 恒在抛物线 y=x2 的下方. 答案:(-∞,4) 8.已知以坐标原点为顶点的抛物线 C,焦点在 x 轴上,直线 x-y=0 与抛物线 C 交于 A、B 两点.若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为________. 解析:由题意知,抛物线的顶点为坐标原点,焦点在 x 轴上,所以可设抛物线的方程 为 y2=ax(a≠0).
? 2 ?y =ax 将直线方程和抛物线方程联立? ,得:x2-ax=0,解得 x1=0,x2=a,故 AB ? ?y=x

1 1 1 中点的横坐标为 x0= (x1+x2)= a,由题意得 a=2,解得 a=4.所以该抛物线的方程为 y2 2 2 2 =4x. 答案:y2=4x x2 y2 ? ?? ? ? ? ? ? 9.(2010· 龙岩模拟)已知曲线 a - b =1 与直线 x+y-1=0 相交于 P、Q 两点,且 O P · Q O

1 1 =0(O 为原点),则 - 的值为________. a b 解析:设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),

?x -y =1 ? 由题意得? a b ,则(b-a)x2+2ax-a-ab=0. ? ?x+y-1=0
所以 x1+x2=- -a-ab 2a ,x x = , b-a 1 2 b-a

2

2

y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2, 根据 O P · Q =0,得 x1x2+y1y2=0, O 即 1-(x1+x2)+2x1x2=0, -a-ab 2a 因此 1+ +2× =0, b-a b-a 化简得 b-a 1 1 =2,即 - =2. ab a b
? ?? ? ? ? ? ?

答案:2 三、解答题(共 3 小题,满分 35 分) x2 y2 1 10.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点在直线 l:x=1 上,离心率 e= .设 P、Q 为 a b 2 1 椭圆上不同的两点,且弦 PQ 的中点 T 在直线 l 上,点 R( ,0). 4 (1)求椭圆的方程; (2)试证:对于所有满足条件的 P、Q,恒有|RP|=|RQ|. 解:(1)椭圆的一个焦点在直线 l:x=1 上,所以 c=1. c 1 1 又因为离心率 e= ,即a= ,所以 a=2,从而 b2=3, 2 2 x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)证明:设 T(1,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
??? ? ???? 3 则 R T =( ,y0), P Q =(x2-x1,y2-y1), 4

???? RT

??? ? 3 P · Q = (x2-x1)+y0(y2-y1). 4

x2 y2 又因为 P、Q 都在椭圆 + =1 上, 4 3
2 x2 y2 x2 y2 1 1 2 所以 + =1, + =1,两式相减得 4 3 4 3

1 1 (x -x2)(x1+x2)+ (y1-y2)(y1+y2)=0, 4 1 3

因为点 T 是 PQ 的中点,所以 x1+x2=2,y1+y2=2y0, 1 2 于是 (x1-x2)+ y0(y1-y2)=0, 2 3 3 所以 (x1-x2)+y0(y1-y2)=0, 4
P 即 R T · Q =0,所以 RT⊥PQ,即 RT 是线段 PQ 的垂直平分线,所以恒有|RP|=|RQ|.

????

??? ?

1 11.(2011· 江西宜春)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 ,且椭 2 圆 E 上一点到两个焦点距离之和为 4,l1,l2 是过点 P(0,2)且互相垂直的两条直线,l1 交 E 于 A,B 两点,l2 交 E 于 C,D 两点,AB,CD 的中点分别为 M,N. (1)求椭圆 E 的方程; (2)求 l1 的斜率 k 的取值范围; (3)求 O M · N 的取值范围. O x2 y2 解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b
? ? ?? ? ? ? ??

?a=2 ? 由?2a=4 ? ?a =b +c
c 1
2 2

?a=2 得? , ?b= 3

2

x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1 4 3 (2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为零 1 ∵l1∶y=kx+2,∴l2∶y=-kx+2.

?x +y =1 ? 由? 4 3 消去 y 并化简整理, ?y=kx+2 ?
得(3+4k2)x2+16kx+4=0 1 根据题意,Δ=(16k)2-16(3+4k2)>0,解得 k2> . 4 1 1 同理得(-k)2> ,k2<4, 4 1 1 1 ∴ <k2<4,k∈(-2,- )∪( ,2) 4 2 2 (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0) x1+x2 16k 8k 那么 x1+x2=- =- 2,∴x0= 2 3+4k 3+4k2 y0=kx0+2= 8k 6 6 ,∴M(- , ), 3+4k2 3+4k2 3+4k2

2

2

1 -8?- ? k 6 同理得 N( , ), 12 1 3+4?-k? 3+4?-k?2 6 即 N( , ) 4 4 3+ 2 3+ 2 k k
? ? ?? ? ∴OM ? ? ?? ·N O

8 k

8 k 8k 6 6 =- · + · = 4 3+4k2 4 3+4k2 3+ 2 3+ 2 k k



28 1 25+12?k2+ 2? k

1 1 17 ∵ <k2<4,∴2≤k2+ 2< 4 k 4 4 ∴- ≤- 7 7 <- 1 19 25+12?k + 2? k
2

28

? ? ?? ? ? ?? ? 4 7 即 O M · N 的取值范围是[- ,- ). O 7 19

12. (2010· 江南十校)如图, 过圆 x2+y2=4 与 x 轴的两个交点 A、 B, 作圆的切线 AC、BD,再过圆上任意一点 H 作圆的切线,交 AC、BD 于 C、D 两点,设 AD、BC 的交点为 R. (1)求动点 R 的轨迹 E 的方程; (2)过曲线 E 的右焦点 F 作直线 l 交曲线 E 于 M、N 两点,交 y 轴 于 P 点,且记 P M =λ1 M F , P N =λ2 N F ,求证:λ1+λ2 为定值. 解:(1)设点 H 的坐标为(x0,y0),则 x2+y2=4. 0 0 x0 由题意可知 y0≠0,且以 H 为切点的圆的切线的斜率为:- , y0 x0 故切线方程为:y-y0=- (x-x0), y0 展开得 x0x+y0y=x2+y2=4. 0 0 即以 H 为切点的圆的切线方程为:x0x+y0y=4, 4+2x0 ∵A(-2,0), B(2,0), x=± 代入上述方程可得点 C, 的坐标分别为 C(-2, 将 2 D ), y0 D(2, 4-2x0 ), y0
???? ? ???? ? ???? ????

则 lAD:

x+2 x-2 y y = ①,及 lBC: = ②. 4 4-2x0 4+2x0 -4 y0 y0

将两式相乘并化简可得动点 R 的轨迹 E 的方程为: x2 x2+4y2=4,即 +y2=1. 4 (2)由(1)知轨迹 E 为焦点在 x 轴上的椭圆且其右焦点为 F( 3,0). (ⅰ)当直线 l 的斜率为 0 时,M、N、P 三点在 x 轴上,不妨设 M(2,0),N(-2,0),且 P(0,0).此时有|PM|=2,|MF|=2- 3,|PN|=2,|NF|=2+ 3, 所以 λ1+λ2=-
? ? ?? ? PM ? ? ?? ? MF



? ? ?? PN ? ? ?? NF

=-

2 2 - =-8. 2- 3 2+ 3

(ⅱ)当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 MN 的方程是: x=my+ 3(m≠0), 3 则点 P 的坐标为(0,- m ).且设点 M(x1,y1),N(x2,y2),

?x=my+ 3 联立? 2 消去 x 可得: ?x +4y2=4
(m2+4)y2+2 3my-1=0. 则 y1+y2= -2 3m -1 ,y1y2= 2 , m2+4 m +4

-2 3m 3 3 2 y2+ m m y1+y2 3 1 1 3 3 m +4 λ1+λ2= + =-2- ( + )=-2- · =-2- · =- m y1 y2 m y1y2 m -y1 -y2 -1 m2+4 y1+ 8(定值).


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