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四川省成都外国语学校2013届高三4月月考数学理含答案


成都外国语学校 2013 届四月月考试题
数学试题(理科) 一、选择题 1.若 z ? ( ?

1 2

3 2013 i) ,则 z =( 2
B.

D )

A.

1 3 ? i 2 2

1 3 ? i 2 2

/>C. 1

D.

?1

2.若设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列四个命题中假命题的是 ( C ) B.若 m // n, m ? ? , 则 n ? ? D.若 ? // ? , ? // ? , m ? ? , 则 m ? ? )

A.若 m ? ? , n // ? , 则 m ? n C.若 l // ? , ? ? ? , 则 l ? ?

3.已知 q 是等比数列 {an } 的公比,则“ 0 ? q ? 1 ”是“数列 {an } 是递减数列”的(D A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4.函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1 ? 的图象是( B ? ? x? ? B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

A. D.

B.

C.

5.某校高三理科实验班有 5 名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试,每人限报一 所高校.若这三所高校中每个学校都至少有 1 名同学报考,那么这 5 名同学不同的报考方法 种数共有( B ) (A)144 种 (B)150 种 (C)196 种 (D)256 种 6.已知函数 f ( x) ? log3 ( x ?1) ,g ( x) ? log9 x ? 5 , y ? g ( x) 经过怎样的变换得到 y ? f ( x) 则 3 ( C ) A. 先向左平移 1 个单位,再向上平移 5 个单位; B. 先向左平移 1 个单位,再向上平移 7 个单位; C. 先向右平移 1 个单位,再向下平移 7 个单位; D. 先向右平移 1 个单位,再向下平移 5 个单位;

7.一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为( B

)

-1-

第 7 题图

A.

20 3

B.

40 3

C. 20

D. 40

8. 若实数 a ,b,c 满足 loga 3 ? logb 3 ? logc 3 ,则下列关系中不可能成立的( A
A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. a ? c ? b



9.经过椭圆
直线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点任作弦 3 2

,过

作椭圆右准线的垂线

,垂足为

,则

必经过( B ) B. (2, 0) C. ( 3,0) D. ( , 0)

A. ( 2, 0)
10.对于三次函数
导数,若方程

3 2

" ' 定义: f ( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数 f ( x ) 的 设 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,

f " ( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点

为函数

的“拐点”.有同学发现“任何一个三次

函数都有?拐点?;任何一个三次函数都有对称中心;且?拐点?就是对称中心.”请你将这一发现作为条件,则函数

f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x

对 称 中 心 和 若 函 数

1 1 5 1 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 x ? ? 3 2 12 x ? 1 2
A 2012 ) D. (1,3)

, 则

g(
A.

1 2 2012 ) ? g( ) ?? ? g( )的 值 分 别 为 ( 2013 2013 2013

(1,1)

2012

B. (1,1)

2013

C. (1, -1)

2013

二、填空题:

x 1 8 11.二项式 ( ? ) 的展开式中常数项是 ___7_____ 2 3x 12. 下图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输 出的 y 值相等,则这样的 x 值有___3_____个.

13.将函数 y ? ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象绕坐标原点顺时针方向旋转 ? (0 ? ? ?

?
2

) 角,得到曲

线 C,若对于每个旋转角 ? ,曲线 C 都是一个函数的图象,则 ? 的最大值是___ ? ____.

4

-2-

?2 x ? y ? 1 ? 14. 设 变 量 x, y 满 足 不 等 式 组 ? x ? y ? 2 ? y?x?2 ?
_____

,则 z ?

x4 ? y 4 ? 2 ? 2 x 2y 2 的最小值为 2 x2 ? 2 y 2

3 _. 2

15.设 x 是实数,定义 ? x ? 是为不大于 x 的最大整数,如: ? 2.3? ? 2 , ??2.3? ? ?3 .

1 , 给出下列命题: 2 1 2 1 1 ① 函数 f ( x ) 在 [? , ] 上有最小值,无最大值;② f (? ) ? f ( ) 且 f ( x ) 为偶函数; 6 3 2 2
记函数 f ( x) ? x ? [ x] ,函数 g ( x) ? [3 x ? 1] ? ③ 若 g ( x) ? 2 x ? 0 的解集为 M ,则集合 M 的所有元素之和为 ?2 ; ④ an ? f ( 设
n n 2012n n n ? 1 2012 ) ,则当 n 为偶数时, ? ai ? ;当 n 为奇数时, ? ai ? ? 2013 2 2 2013 i ?1 i ?1

请你写出所有真命题的序号为__① _④ _③ ___。 三、解答题

16.(本题满分12分) 某品牌专卖店准备将在2013年“五一期间”举行促销活动,根据市场调查,该 店决定从 2 种不同型号的洗衣机, 2 种不同型号的电视机和 3 种不同型号的空调 中(不同种商品的型号不同) ,选出 4 种不同型号的商品进行促销,该店对选出 的商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高 150 元 ,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都 .. 获得 m 元奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 .. 奖中所获得的奖金总额(单位:元)为随机变量 X . (Ⅰ )求选出的 4 种不同型号商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号的 概率; (Ⅱ )请写出 X 的分布列,并求 X 的数学期望; (Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,问该店若想采用此促销方案获利,则每次中奖奖金要低 于多少元?
1 ,设顾客在三次抽 2

-3-

所以,顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额 X 的分布列为: m 2m 3m X 0 1 3 3 1 P 8 8 8 8 ……………9 分 于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是 1 3 3 1 EX ? 0 ? ? m ? ? 2m ? ? 3m ? ? 1.5m . ………………10 分 8 8 8 8

17. (本题满分 12 分)
?? ? 设 a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos2 ? ? x ? 满足 ?2 ? ? ?? f ? ? ? ? f ? 0? , ? 3?

(Ⅰ )求函数 f (x) 的单调递增区间;
2 2 2 B (Ⅱ 设 ?AC 三内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c 且 a 2 ? c 2 ? b 2 ? )

a ?b ?c

c , f (x) 求 2a ? c

在 ?0, B ?上的值域.

-4-

又由正弦定理知: 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin?B ? C ? ? sin A 即 cos B ?
1 ? ,所以 B ? 3 2

? ? ? ?? ? ?? 当 x ? ? 0, ? 时, 2 x ? ? ? ? , ? , f ?x ? ? ?? 1,2? 6 ? 6 2? ? 3?
故 f (x) 在 ?0, B ?上的值域为 ?? 1,2? ……………12 分
18. (本题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中, ? C ? 90? , AC ? BC ? a ,点 P 在 AB 上, PE // BC 交 AC 于 E ,
PF // AC 交 BC 于 F .沿 PE 将 ?APE 翻折成 ?A ' PE ,使平面 A' PE ? 平面 ABC ;沿 PF 将

?BPF 翻折成 ?B ' PF ,使平面 B' PF ? 平面 ABC .
(Ⅰ )求证: B'C // 平面 A' PE . (Ⅱ )设

AP ? ? ,当 ? 为何值时,二面角 C ? A' B'? P 的大小为 60? ? PB

C

E

A

A'

B'
F P F
-5-

E
C

A

B

B

P

(第 18 题

18.解: )因为 FC // PE , FC ? 平面 A' PE ,所以 FC // 平面 A' PE . (Ⅰ 因为平面 A' PE ? 平面 ABC ,且 A' E ? PE ,所以 A' E ? 平面 ABC . 同理, B' F ? 平面 ABC ,所以 B' F // A' E ,从而 B' F // 平面 A' PE .
B'CF // 平面 A' PE ,从而 B'C // 平面 A' PE .

所 以 平 面

(Ⅱ )以 C 为原点,CB 所在直线为 x 轴,CA 所在直线为 y 轴,过 C 且垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图.

z

A'
则 C (0,0,0) , A' (0,

a ?a , ), ? ?1 ? ?1

?a a ?a a ,0, ) , P( , ,0) . ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 a ?a CA' ? (0, , ) ? ?1 ? ?1 , ?a a (1 ? ? )a A' B' ? ( ,? , ) ? ?1 ? ?1 ? ?1 ,
B' (

B'
C

E

A y

F B x

P

B' P ? (0,

a

? ?1

,?

a

? ?1 .
?

)

1 平面 CA' B' 的一个法向量 m ? ( , ? ,?1) ,
平面 PA'B' 的一个法向量 n ? (1,1,1) .
|m?n| | m ||n | | 1 1



?

?

? ? ?1|

? cos 60? ?

?2
化简得

? ?2 ? 1 ? 3

1 , 2
7?3 5 . 2

1

?

2

? ?2 ?

8

?

? 8? ? 9 ? 0 ,解得 ? ?

19.(本小题满分 12 分)
2 各项均为正数的数列 ?an ?前 n 项和为 Sn ,且 4Sn ? an ? 2an ? 1, n ? N? .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 已 知 公 比 为 q(q ? N ? ) 的 等 比 数 列 ?bn ? 满 足 b1 ? a1 , 且 存 在 m ? N? 满 足

bm ? am , bm?1 ? am?3 ,求数列 ?bn ?的通项公式.

19.解析:(1)? 4Sn ? an ? 2an ? 1 ,?4Sn?1 ? an?1 ? 2an?1 ? 1
2 2

-6-

2 2 两式相减得: 4an?1 ? an?1 ? an ? 2an?1 ? 2an ,………………………………(2 分)

即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 2) ? 0 ? an?1 ? an ? 2 ,…………………………(4 分)

??an ? 为首项为 1,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n ? 1………………(6 分)
(2) bn ? q n?1 ,依题意得 ?

?q m ?1 ? 2m ? 1 2m ? 5 6 ? ? 1? ? N ? (8 分) ,相除得 q ? m 2m ? 1 2m ? 1 ?q ? 2 m ? 5 ?

? 2m ? 1 ? 1或2m ? 1 ? 3 ,代入上式得 q=3 或 q=7,……………………………(10 分)

?bn ? 7n?1 或 bn ? 3n?1 .…………………………………………………………(12 分)
20. (本小题满分 13 分) 如图, 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 过点 F 的直线交椭圆于 A ,B 两点. 当 a 2 b2
?

直线 AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 60 . (Ⅰ )求该椭圆的离心率; (Ⅱ )设线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别 交于 D, E 两点.记△ GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面 积为 S2 ,求

S1 的取值范围. S2

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:依题意,当直线 AB 经过椭圆的顶点 (0, b) 时,其倾斜角为 60 . 设 F (?c, 0) , 则
?

…1 分

b ? tan 60? ? 3 . c
2 2 2

…………2 分

将 b ? 3c 代入 a ? b ? c , 解得 a ? 2c . 所以椭圆的离心率为 e ? ………3 分

c 1 ? . a 2

………………4 分

x2 y2 (Ⅱ )解:由(Ⅰ ,椭圆的方程可设为 2 ? 2 ? 1 . ) 4c 3c
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

…………5 分

-7-

依题意,直线 AB 不能与 x , y 轴垂直,故设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) ,将其代入

3x2 ? 4 y 2 ? 12c2 ,整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8ck 2 x ? 4k 2c2 ?12c2 ? 0 .
则 x1 ? x2 ?

…7 分

6ck ?8ck 2 ?4ck 2 3ck , 2 ). , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c ) ? , G( 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4 k ? 3
…8 分

因为 GD ? AB ,

3ck 2 4k 2 ? 3 ? k ? ?1, x ? ?ck . 所以 D 4k 2 ? 3 ?4ck 2 ? xD 4k 2 ? 3 因为 ?GFD ∽?OED ,

………………9 分

?4ck 2 ?ck 2 2 3ck ? 2 ) ? ( 2 )2 2 S | GD | 4k ? 3 所以 1 ? ? 4k ? 3 4 k ? 3 2 2 ?ck 2 S2 | OD | ( 2 ) 4k ? 3
2

(

………11 分

?

(3ck 2 )2 ? (3ck )2 9c 2 k 4 ? 9c 2 k 2 9 ? ? 9? 2 ? 9. 2 2 2 4 (ck ) ck k

…………12 分

所以

S1 的取值范围是 (9, ??) . S2

………………13 分

21.(本小题满分 14 分)
ax 已知函数 f ( x ) ? e ? x ,其中 a ? 0 .

(1) 若对一切 x ? R , f ( x ) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合. (2)在函数 f ( x ) 的图像上取定两点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ,记直线AB的斜 率为K,问:是否存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 f ?( x0 ) ? k 成立?若存在,求 x0 的取值范围;若不存 在,请说明理由.
ax 21.【答案】 )若 a ? 0 ,则对一切 x ? 0 , f ( x ) ? e ? x ? 1 ,这与题设矛盾,又 a ? 0 , (Ⅰ

故a ? 0.
ax 而 f ?( x) ? ae ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 得x ?

1 1 ln . a a

当x?

1 1 1 1 ln 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减;当 x ? ln 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增,故 a a a a

-8-

当x?

1 1 1 1 1 1 1 ln 时, f ( x) 取最小值 f ( ln ) ? ? ln . a a a a a a a

于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1恒成立,当且仅当

1 1 1 ? ln ? 1 . a a a
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t.



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 综上所述, a 的取值集合为 ?1? .

1 ? 1 即 a ? 1 时,① 式成立. a

f ( x2 ) ? f ( x1 ) eax2 ? eax1 (Ⅱ )由题意知, k ? ? ? 1. x2 ? x1 x2 ? x1
令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? aeax ?

eax2 ? eax1 ,则 x2 ? x1

? ( x1 ) ? ?
? ( x2 ) ?

eax1 ?ea ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ? 1? , ? x2 ? x1 ?

eax2 ?ea ( x1 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 1? . ? x2 ? x1 ?
t t

令 F (t ) ? e ? t ?1 ,则 F ?(t ) ? e ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增.
t 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.

从而 e

a ( x2 ? x1 )

? a( x2 ? x1 ) ?1 ? 0 , ea( x1 ?x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ?1 ? 0, 又

eax1 eax2 ? 0, ? 0, x2 ? x1 x2 ? x1

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0. 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使

? ( x0 ) ? 0, ??( x) ? a2eax ? 0,? ( x) 单调递增,故这样的 c 是唯一的,且 c ? ln
故当且仅当 x ? ( ln

1 a

eax2 ? eax1 . a( x2 ? x1 )

1 a

eax2 ? eax1 , x2 ) 时, f ?( x0 ) ? k . a( x2 ? x1 )
-9-

综上所述,存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使 f ?( x0 ) ? k 成立.且 x0 的取值范围为

1 eax2 ? eax1 ( ln , x2 ) . a a( x2 ? x1 )
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力, 考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法 求出 f ( x ) 取最小值 f ( ln ) ?

1 a

1 a

1 1 1 ? ln . 对一切 x∈ f(x) ? 1 恒成立转化为 f ( x)min ? 1, R, a a a

从而得出 a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数 的单调性及最值来进行分析判断.

- 10 -


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