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角的概念的推广1


【成才之路】2015-2016 学年高中数学 第 1 章 2 角的概念的推广课 时作业 北师大版必修 4
一、选择题 1.与 600°终边相同的角可表示为(k∈Z)( A.k·360°+220° C.k·360°+60° [答案] B [解析] 与 600°终边相同的角 α =k·360°+600°=k·360°+360°+240°=(k +1)·360°+240°,k

∈Z.∴选 B. α 2.已知 α 为第三象限角,则 所在的象限是( 2 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 [答案] D [ 解析 ] ) )

B.k·360°+240° D.k·360°+260°

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

k α 由 k·360°+180°<α <k·360°+270°, k ∈ Z ,得 ·360°+90°< 2 2

< ·360°+135°,k∈Z. 2 α 当 k 为偶数时, 为第二象限角; 2 α 当 k 为奇数时, 为第四象限角. 2 3.已知 S={α |α =k·360°-175°,k∈Z},则集合 S 中落在-360°~360°间的 角是( ) B.-175° D.175°,-175°

k

A.185° C.185°,-175° [答案] C

[解析] k=1,0 时,α =185°,-175°. 4.下列说法中正确的是( A.第一象限角一定不是负角 B.-831°是第四象限角 C.钝角一定是第二象限角 D.终边与始边均相同的角一定相等
1

)

[答案] C [解析] -330°=-360°+30°,所以-330°是第一象限角,所以 A 错误;-831° =(-3)×360°+249°,所以-831°是第三象限角,所以 B 错误;0°角、360°角终边与 始边均相同,但它们不相等,所以 D 错误. 5.终边在坐标轴上的角的集合是( A.{φ |φ =k·360°,k∈Z} B.{φ |φ =k·180°,k∈Z} C.{φ |φ =k·90°,k∈Z} D.{φ |φ =k·180°+90°,k∈Z} [答案] C [解析] 终边落在 x 轴上的角的集合 S1={x|x=k·180°,k∈Z},终边落在 y 轴上的 角的集合 S2={x|x=k·180°+90°,k∈Z}, 于是,终边落在坐标轴上的角的集合 )

S=S1∪S2
={x|x=k·180°,k∈Z}∪{x|x=k·180°+90°,k∈Z} ={x|x=2k·90°,k∈Z}∪{x|x=(2k+1)·90°,k∈Z} ={x|x=n·90°,n∈Z}. 6.在四个角-20°,-400°,-2000°,600°中,第四象限的角的个数是( A.0 个 C.2 个 [答案] C [解析] -20°是第四象限的角; -400°=-360°-40°与-40°角的终边相同,是第四象限的角; -2000°=-6×360°+160°与 160°角的终边相同,是第二象限的角; 600°=360°+240°与 240°角的终边相同,是第三象限的角. 二、填空题 7.已知点 P(0,-1)在角 α 的终边上,则所有角 α 组成的集合 S=_______________. [答案] {α |α =270°+k·360°,k∈Z}(或{α |α =-90°+k·360°,k∈Z}) [解析] 点 P 在 y 轴的负半轴上, 又 270°的终边是 y 轴的负半轴, 则 S={α |α =270° +k·360°,k∈Z}. 8.若 α 、β 两角的终边互为反向延长线,且 α =-120°,则 β =______________. [答案] k·360°+60°,k∈Z [解析] 先求出 β 的一个角为 α +180°=60°. 再由终边相同角的概念知:β =k·360°+60°,k∈Z.
2

)

B.1 个 D.3 个

三、解答题 9.在与 530°终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最大的负角; (2)最小的正角; (3)-720°到-360°的角. [解析] 与 530°终边相同的角为 k×360°+530°,k∈Z. (1)由-360°<k×360°+530°<0°,k∈Z 可得 k=-2,故所求的最大负角为-190°. (2)由 0°<k×360°+530°<360°且 k∈Z 可得 k=-1,故所求的最小正角为 170°. (3)由-720°<k×360°+530°<-360°且 k∈Z 得 k=-3,故所求的角为-550°. α α α 10.已知 =k·360°+60°(k∈Z),求 ,并指出 角的终边所在位置. 3 2 2 α [解析] ∵ =k·360°+60°(k∈Z), 3 ∴α =3k·360°+180°(k∈Z). ∴ α =3k·180°+90°(k∈Z). 2

α α 当 k 为偶数,即 k=2n(n∈Z)时, =1080°n+90°(n∈Z),这时 角的终边在 y 轴 2 2 α 的正半轴上;当 k 为奇数,即 k=2n+1(n∈Z)时, =1080°n+540°+90°(n∈Z),这 2 α 时 角的终边在 y 轴的负半轴上. 2

一、选择题 φ 1.若 φ 是第二象限角,那么 和 90°-φ 都不是( 2 A.第一象限角 C.第三象限角 [答案] B [ 解析 ] ∵ φ 是第二象限角,∴ k·360°+90°<φ <k·360°+180°, k ∈ Z ,∴ φ 2 φ 2 B.第二象限角 D.第四象限角 )

k·180°+45°< <k·180°+90°,k∈Z,即 是第一或第三象限角,而-φ 显然是第
三象限角,∴90°-φ 是第四象限角. 2.角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,则 α 与 β 的关系为( )
3

A.α +β =k·360°,k∈Z B.α +β =k·360°+180°,k∈Z C.α -β =k·360°+180°,k∈Z D.α -β =k·360°,k∈Z [答案] B [解析] 特殊值法:令 α =30°,β =150°,则 α +β =180°. 直接法:∵角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称, ∴β =180°-α +k·360°,k∈Z, 即 α +β =k·360°+180°,k∈Z. 二、填空题 3.若角 α 满足 180°<α <360°,角 5α 与 α 有相同的始边,且又有相同的终边,则 角 α =________. [答案] 270° [解析] 因为 5α 与 α 的始边、终边分别相同,所以 5α =α +k·360°,k∈Z, 所以 α =k·90°,k∈Z, 又因为 180°<α <360°,所以 α =270°. 4.已知角 α 的终边在图中阴影表示的范围内(不包括边界),那 么角 α 的集合是________. [答案] {α |k·180°+45°<α <k·180°+135°,k∈Z} [解析] 当角的终边在一,三象限角平分线上时 α 1=k·360° +45°,α 2=k·360°+180°+45°,而 α 1=2k·180°+45°, α 2=(2k+1)·180°+45°,k∈Z,∴α 1,α 2 表示为 α =n·180°+45°,n∈Z,同理 角的终边在二,四象限角平分线上时,β =n·180°+135°,n∈Z. ∴角 α 的范围为{α |k·180°+45°<α <k·180°+135°,k∈Z}. 三、解答题 5.(1)写出与-1840°角终边相同的角的集合 M; (2)把-1840°角写成 k·360°+α (0°≤α <360°)的形式,并指出其是第几象限角; (3)若角 α ∈M 且 α ∈(-360°,0°),求角 α . [解析] (1)由终边相同的角的概念得:

M={β |β =k·360°+(-1840°),k∈Z}
={θ |θ =k·360°+320°,k∈Z}. 或 M={θ |θ =k·360°-40°,k∈Z}. (2)∵-1840°=-6×360°+320°, 而 320°是第四象限角,
4

∴-1840°是第四象限角. (3)M={θ |θ =k·360°+320°,k∈Z}, 又 α ∈M 且-360°<α <0°, ∴取 k=-1 得,α =-40°. 6.如图所示,写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合,并指出-950°是否 是该集合中的角.

[解析]

由图可知,满足条件的角 α 的集合为{α |120°+k·360°≤α ≤250°+

k·360°,k∈Z},
∵-950°=-3×360°+130°, ∴-950°是该集合中的角. 7.在角的集合{α |α =k·90°+45°,k∈Z}中, (1)有几种终边不相同的角? (2)有几个属于区间(-360°,360°)内的角? (3)写出其中是第三象限的角的一般表示法. [解析] (1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.

(2)由-360°<k·90°+45°<360°, 9 7 得- <k< .又 k∈Z, 2 2 故 k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3. 所以在给定的角的集合中属于区间(-360°,360°)的角共有 8 个. (3)其中是第三象限的角可表示成 k·360°+225°,k∈Z.

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