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2013白蒲中学高一数学教案:直线、平面、简单几何体:24(苏教版)


二面角练习课 教学目标 1.使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念; 2.使学生掌握求二面角平面角的基本方法,不断提高分析问题和解决问题 的能力. 教学重点和难点 重点:使学生能够作出二面角的平面角; 难点:根据题目的条件,作出二面角的平面角. 教学设计过程 重温二面角的平面角的定义. (本节课设计的出发点: 空间图形的位置关系是立体几何的重要内容.解决 立体几何问题的关

键在于做好:定性分析,定位作图,定量计算,其中定性是定 位、定量的基础,而定量则是定位,定性的深化.在面面关系中,二面角是其中 的重要概念之一,它的度量归结为平面上角的度量,一般说来,对其平面角的定 位是问题解决的关键一步. 可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维 混乱, 甚至错误地定位, 使问题的解决徒劳无益. 这正是本节课要解决的问题. ) 教师:二面角是怎样定义的? 学生:从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 教师:二面角的平面角是怎样定义的? 学生: 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 教师:请同学们看下图.

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如图 1:α ,β 是由 l 出发的两个半平面,O 是 l 上任意一点,OC α ,且 OC⊥l;OD β ,且 OD⊥l.这就是二面角的平面角的环境背景,即∠COD 是二 面角α -l-β 的平面角.从中我们可以得到下列特征: (1)过棱上任意一点,其平面角是唯一的; (2)其平面角所在平面与其两个半平面均垂直; 另外,如果在 OC 上任取一点 A,作 AB⊥OD,垂足为 B,那么由特征(2)可 知 AB⊥β .突出 l,OC,OD,AB,这便是另一特征. (3)体现出一完整的三垂线定理(或逆定理)的环境背影. 教师:请同学们对以上特征进行剖析. 学生: 由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成,所以二面角的定位可 化归为“定点”或“定线”的问题. 教师:特征(1)表明,其平面角的定位可先在棱上取一“点”.耐人寻味 的是这一点可以随便取,但又总是不随便取定的,它必须与问题背影互相沟通, 给计算提供方便. (上面的引入力争符合练习课教学的特点.练习是形成技能的重要途径,练 习课主要是训练学生良好的数学技能,同时伴随着巩固知识,发展智能和培育情 感.特别要注意做到第一,知识的激活.激活知识有两个目的,一是突出了知识 中的重要因素;二是强化知识中的基本要素.第二,思维的调理.练习课成功的 关键在于对学生思维激发的程度. 学生跃跃欲试正是思维准备较好的体现. 因此, 准备阶段安排一些调理思维的习题,确保学生思维的启动和运作.请看下面两道 例题.) 例 1 已知:如图 2,四面体 V-ABC 中,VA=VB=VC=a,AB=BC=CA=b,VH⊥面 ABC,垂足为 H,求侧面与底面所成的角的大小. 分析:由已知条件可知,顶点 V 在底面 ABC 上的射影 H 是底面的中心,所以 连结 CH 交 AB 于 O,且 OC⊥AB,由三垂线定理可知, VO⊥AB,则∠VOC 为侧面与底面所成二面角的平面角.(图 2)

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正因为此四面体的特性,解决此问题,可以取 AB 的中点 O 为其平面角的顶 点,而且使得题设背影突出在面 VOC 上,给进一步定量创造了得天独厚的条件. 特征(2)指出,如果二面角α -l-β 的棱 l 垂直某一平面γ ,那么 l 必垂直 γ 与α ,β 的交线,而交线所成的角就是α -l-β 的平面角.(如图 3) 由此可见,二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”. 例 2 矩形 ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 把△ABD 折起,使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′落在 BC 上,求二面角 A-BD-C 的大小的余弦值.

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题, 解决问题的关键在于搞清折叠 前后的“变”与“不变”. 如果在平面图形中过 A 作 AE⊥BD 交 BD 于 O、交 BC 于 E,则折叠后 OA,OE 与 BD 的垂直关系不变.但 OA 与 OE 此时变成相交两线并确定一平面,此平面必 与棱垂直. 由特征(2)可知,面 AOE 与面 ABD、面 CBD 的交线 OA 与 OE 所成的角,即 为所求二面角的平面角. 另外,A 在面 BCD 上的射影必在 OE 所在的直线上,又题设射影落在 BC 上, 所以 E 点就是 A′,这样的定位给下面的定量提供了可能.
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在 Rt△AA′O 中,∠AA′O=90°,

通过对例 2 的定性分析、定位作图和定量计算,特征(2)从另一角度告诉 我们:要确定二面角的平面角,我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”, 然后,在棱上选取一适当的垂线段,即可确定其平面角.“平面图形”与“立体 图形”相映生辉,不仅便于定性、定位,更利于定量.

特征(3)显示,如果二面角α -l-β 的两个半平面之一,存在垂线段 AB, 那么过垂足 B 作 l 的垂线交 l 于 O,连结 AO,由三垂线定理可知 OA⊥l;或者由 A 作 l 的垂线交 l 于 O,连结 OB,由三垂线定理的逆定理可知 OB⊥l.此时,∠ AOB 就是二面角α -l-β 的平面角.(如图 6) 由此可见,二面角的平面角的定位可以找“垂线段”. 课堂练习 1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 棱长为 2, 为 BC 的中点, E 求面 B1D1E 与面 BB1C1C 所成的二面角的大小的正切值.

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练习 1 的环境背景表明,面 B1D1E 与面 BB1C1C 构成两个二面角,由特征(2) 可知,这两个二面角的大小必定互补. 为创造一完整的三垂线定理的环境背景,线段 C1D1 会让我们眼睛一亮,我们 只须由 C1(或 D1)作 B1E 的垂线交 B1E 于 O,然后连结 OD1(或 OC1)即得面 D1B1E 与面 CC1B1E 所成二面角的平面角∠C1OD1,

2. 将棱长为 a 的正四面体的一个面与棱长为 a 的正四棱锥的一个侧面吻合, 则吻合后的几何体呈现几个面? 分析:这道题,考生答“7 个面”的占 99.9%,少数应服从多数吗? 从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色, 它们的目标分别是找 “点”、“垂面”、“垂线段”.事实上,我们只要找到其中一个,另两个就接 踵而来.掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要. 本题如果能融合三个特征对思维的监控,可有效地克服、抑制思维的消极作 用,培养思维的广阔性和批判性.

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如图 9,过两个几何体的高线 VP,VQ 的垂足 P,Q 分别作 BC 的垂线,则垂 足重合于 O,且 O 为 BC 的中点. OP 延长过 A,OQ 延长交 ED 于 R,考虑到三垂线定理的环境背影,∠AOR 为 二面角 A-BC-R 的平面角,结合特征(1),(2),可得 VAOR 为平行四边形,VA ∥BE,所以 V,A,B,E 共面. 同理 V,A,C,D 共面. 所以这道题的正确答案应该是 5 个面. (这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题, 或边练边 评, 或由学生一鼓作气练完后再逐题讲评, 达到练习的目的. 其间要以学生 “练” 为主,教师“评”为辅) 为了提高“导练”质量,教师要力求解决好三个问题: 1.设计好练习.设计好练习是成功练习的前提.如何设计好练习是一门很 深的学问,要注意:围绕重点,精选习题;由易到难,呈现题组;形式灵活,题 型多变. 2.组织好练习.组织练习是“导练”的实质,“导练”就是有指导、有组 织的练习过程.要通过一题多用、一题多变、一题多解等使学生举一反三,从而 提高练习的效果.有组织的练习还包括习题的临时增删、节奏的随时控制、要求 的适时调整等. 3. 讲评好练习. 讲评一般安排在练习后进行, 也可以在练习前或练习时. 练 习前的讲评,目的是唤起学生的注意,提醒学生避免出错起到前馈控制的作用; 练习时的讲评,属于即时反馈,即学生练习,教师巡视,从中发现共性问题及时 指出来,以引起学生的注意;更多的是练习后的讲评,如果采用题组练习,那么 最常用的办法是一组练习完毕后教师讲评,再进行下一组练习,以此类推. 教师: 由例 1、 2 和课堂练习, 例 我们已经看到二面角的平面角有三个特征, 这三个特征互相联系,客观存在,但在许多问题中却表现得含糊而冷漠,三个特 征均藏而不露,在这种形势下,需认真探索.
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学生:应探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景,有了“垂线段”,便 可以定位. 教师:请大家研究下面的例题.

例 3 如图 10,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,F 在 AA1 上,且 A1F∶FA=1∶2,求平面 B1EF 与底面 A1C1 所成的二面角大小的正切值. 分析: 在给定的平面 B1EF 与底面 A1C1 所成的二面角中, 没有出现二面角的棱, 我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点, 则这两个公共点的连线即 为二面角的棱,最后借助这条棱作出二面角的平面角. 略解:如图 10. 在面 BB1CC1 内,作 EH⊥B1C1 于 H,连结 HA1,显然直线 EF 在底面 A1C1 的射影为 HA1. 延长 EF,HA1 交于 G,过 G,B1 的直线为所求二面角的棱. 在平面 A1B1C1D1 内,作 HK⊥GB1 于 K,连 EK, 则∠HKE 为所求二面角的平面角. 在平面 A1B1C1D1 内,作 B1L⊥GH 于 L,利用 Rt△GLB1∽Rt△GKH,可求得 KH. 又在 Rt△EKH 中,设 EH=a,容易得到:所求二面角大小的正切值

教师: 有时我们也可以不直接作出二面角的平面角,而通过等价变换或具体 的计算得出其平面角的大小.

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例如我们可以使用平移法. 由两平面平行的性质可知,若两平行平面同时与 第三个平面相交,那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互 补. 因而例 3 中的二面角不易直接作出其平面角时,可利用此结论平移二面角的 某一个面到合适的位置,以便等价地作出该二面角的平面角. 略解:过 F 作 A′B′的平行线交 BB′于 G,过 G 作 B′C′的平行线交 B′E 于 H,连 FH.

显见平面 FGH∥平面 A′B′C′D′. 则二面角 B′-FH-G 的平面角度数等于所求二面角的度数. 过 G 作 GM⊥HF,垂足为 M,连 B′M,由三垂线定理知 B′M⊥HF. 所以∠B′MG 为二面角 B′-FH-G 的平面角,其大小等于所求二面角平面角 的大小. (练习课的一个重要特征是概括.解题重要的不是统计做了多少题目,而是 是否掌握了一类题的实质, 即有无形成基本的解题模式,只有真正掌握了一类问 题的解题思路, 才算掌握了解答这类题目的基本规律.当学生练习到一定程度就 应不失时机地引导他们总结和概括出练习的基本经验和教训, 获得有意义的练习 成果) 例4 AB=a. 已知:如图 12,P 是正方形 ABCD 所在平面外一点,PA=PB=PC=PD=a,

求:平面 APB 与平面 CPD 相交所成较大的二面角的余弦值.

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分析:为了找到二面角及其平面角,必须依据题目的条件,找出两个平面的 交线. 解:因为 所以 又 因此 所以 因为 所以 AB∥CD,CD 平面 CPD,AB 平面 CPD.

AB∥平面 CPD. P∈平面 APB,且 P∈平面 CPD, 平面 APB∩平面 CPD=l,且 P∈l. 二面角 B-l-C 就是平面 APB 和平面 CPD 相交所得到的一个二面角. AB∥平面 CPD,AB AB∥l. 平面 APB,平面 CPD∩平面 APB=l,

过 P 作 PE⊥AB,PE⊥CD. 因为 因此 所以 因为 l∥AB∥CD, PE⊥l,PF⊥l, ∠EPF 是二面角 B-l-C 的平面角. PE 是正三角形 APB 的一条高线,且 AB=a,

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因为 所以

E,F 分别是 AB,CD 的中点, EF=BC=a.

在△EFP 中,

小结:二面角及其平面角的正确而合理的定位,要在正确理解其定义的基础 上,掌握其基本特征,并灵活运用它们考察问题的背景. 我们已经看到, 定位是为了定量,求角的大小往往要化归到一个三角形中去 解,因此寻找“垂线段”,把问题化归是十分重要的. 作业 1.120°二面角α -l-β 内有一点 P,若 P 到两个面α ,β 的距离分别为 3 和 1,求 P 到 l 的距离. 2. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 求以 BD1 为棱, 1BD1 与 C1BD1 为面的二面角的度数. B

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