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2017届高三数学理一轮总复习课时跟踪检测:42空间点、直线、平面之间的位置关系(江苏专用).doc


课时跟踪检测(四十二) 空间点、直线、平面之间的位置关系 ?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.(2016· 扬州中学检测)下列命题中正确的是________(填序号). ①空间四点中有三点共线,则此四点必共面; ②三个平面两两相交的三条交线必共点; ③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ④平面 α 和平面 β 可能只有一个交点. 解析:由公理及推论,可得①正确,②③④错

误. 答案:① 2.(2016· 南京外国语学校)已知 α,β 为两个不重合的平面,A,B,M,N 为相异四点, a 为直线,则下列推理错误的是________(填序号). ①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β? a? β; ②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β? α∩β=MN; ③A∈α,A∈β? α∩β=A. 解析:由公理及推论,可得①②推理正确.因为 A∈α,A∈β,所以 A∈α∩β,由公理 知 α∩β 为经过点 A 的一条直线而不是一个点 A,所以③推理错误. 答案:③ 3.(2016· 海门中学月考)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,底面 ABCD 为正方形,E,F 分别是棱 A1A,C1C 的中点.若∠BFC=60° , 则∠ED1D=________. 解析:取 BB1 的中点 G,连结 C1G,EG,因为 E 是棱 A1A 的中点, G 是棱 B1B 的中点,所以 A1B1 綊 EG.又 A1B1 綊 C1D1,所以 EG 綊 C1D1,所以四边形 EGC1D1 是平行四边形,所以 D1E 綊 C1G.又 BG 綊 C1F,所以四边形 BGC1F 是平行四边形,所以 C1G∥FB,所以 D1E∥ FB.又 D1D∥FC,∠ED1D 与∠BFC 的两边方向相同,所以由等角定理, 可得∠ED1D=∠BFC=60° . 答案:60° 4.如图, 平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中既与 AB 共面又与 CC1 共面的 棱有________条. 解析:依题意,与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC;与 AB 相交且与 CC1 平行有棱 AA1,BB1;与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD,C1D1.故符合条 件的有 5 条. 答案:5 5.(2016· 江苏四星级高中联考)在正四棱锥 VABCD 中,底面正方形 ABCD 的边长为 1,

侧棱长为 2,则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为________. 解析:如图,设 AC∩BD=O,连结 VO,因为四棱锥 VABCD 是正四棱 锥,所以 VO⊥平面 ABCD,故 BD⊥VO.又四边形 ABCD 是正方形,所以 BD⊥AC,又 VO∩AC=O,所以 BD⊥平面 VAC,所以 BD⊥VA,即异面直 π 线 VA 与 BD 所成角的大小为 . 2 π 答案: 2 ?二保高考,全练题型做到高考达标 1.空间四边形的两条对角线互相垂直,顺次连结四边中点的四边形一定是________(填 序号). ①矩形;②菱形;③正方形;④直角梯形. 解析:顺次连结空间四边形四边中点的四边形是平行四边形,又因为空间四边形的两 条对角线互相垂直, 所以平行四边形的两邻边互相垂直, 故顺次连结四边中点的四边形一定 是矩形. 答案:① 2.(2016· 金陵中学检测)若 a,b 是空间的两条直线且 a? α,b? β,α∩β=l,则 a 与 b 的位置关系为________. 解析:如图,b1,b2? β,a1,a2? α,且 a2 与 b2 相交,b1∥a1,a2 与 b1 异面,结合图形 (如图所示),可知 a 与 b 的位置关系是平行或相交或异面.

答案:平行或相交或异面 3.(2016· 金陵中学检测)已知命题 p:a,b 为异面直线,命题 q:直线 a,b 不相交,则 p 是 q 的____________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”) 解析:若直线 a,b 不相交,则 a,b 平行或异面,所以 p 是 q 的充分不必要条件. 答案:充分不必要 4.给出下列四个说法,其中正确的是________(填序号). ①空间中两条不相交的直线一定平行; ②梯形可以确定一个平面; ③若一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交; ④空间四条直线 a,b,c,d,如果 a∥b,c∥d,且 a∥d,那么 b∥c. 解析:在空间中不相交的两条直线可能平行,也可能异面,①错误;②正确;③错误, 因为它也可能与另一条直线异面;由公理 4,知④正确.

答案:②④ 5.已知 a,b,c 为三条不同的直线,且 a? 平面 α,b? 平面 β,α∩β=c. ①若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a,b 中的一条相交; ②若 a 不垂直于 c,则 a 与 b 一定不垂直; ③若 a∥b,则必有 a∥c; ④若 a⊥b,a⊥c,则必有 α⊥β. 其中正确的命题的个数是________. 解析:①中若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a,b 中的一条相交.若 c 与 a,b 都不相 交,则 c∥a,c∥b,则 a∥b,与 a,b 异面矛盾,故①正确;②中平面 α⊥平面 β 时,若 b ⊥c,则 b⊥平面 α,此时不论 a,c 是否垂直,均有 a⊥b,故②错误;③中当 a∥b 时,则 a ∥平面 β,由线面平行的性质定理可得 a∥c,故③正确;④中若 b∥c,则 a⊥b,a⊥c 时, a 与平面 β 不一定垂直,此时平面 α 与平面 β 也不一定垂直,故④错误,所以正确命题的个 数是 2. 答案:2 6.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB,CD,EF,GH 在原正方 体中互为异面直线的对数为________对.

解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则 AB,CD,EF 和 GH 在原 正方体中,显然 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 都是异面直线,而 AB 与 EF 相交,CD 与 GH 相交,CD 与 EF 平行.故互为异面的直线有且只有 3 对. 答案:3 7.设 a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ③若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ④若 a? 平面 α,b? 平面 β,则 a,b 一定是异面直线. 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号). 解析:由公理 4 知①正确;当 a⊥b,b⊥c 时,a 与 c 可以相交、平行或异面,故②错; 当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故③错;a? α,b? β, 并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”,故④错. 答案:①

8.(2014· 淮安模拟)如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2 是两条侧面 对角线,则在正方体中,l1 与 l2 的夹角为________. 解析:将侧面展开图还原成正方体如图所示,则 B,C 两点重合.故 l1 π 与 l2 相交,连结 AD,则△ ABD 为正三角形,所以 l1 与 l2 的夹角为 . 3

π 答案: 3 9.(2016· 启东中学检测)如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E, F 分别为 D1C1,B1C1 的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q. (1)求证:D,B,F,E 四点共面; (2)作出直线 A1C 与平面 BDEF 的交点 R 的位置. 解:(1)证明:法一:如图,连结 DE,BF. 由于 CC1 和 BF 在同一个平面内且不平行, 故直线 CC1 与 BF 必相交, 设交点为 O,则 OC1=C1C. 同理,直线 DE 与 CC1 也相交,设交点为 O′,则 O′C1=C1C, 故 O′与 O 重合. 由此得 DE∩BF=O,故 D,B,F,E 四点共面(设为 α). 法二:连结 B1D1,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,B1D1∥BD. 又∵E,F 分别为 C1D1,C1B1 的中点, ∴EF∥B1D1,∴EF∥BD,即 D,B,F,E 四点共面(设为 α). (2)连结 PQ,A1C. 由于 AA1∥CC1,所以 A1,A,C,C1 四点共面(设为 β). 又 P∈BD,BD? α,故 P∈α. 又 P∈AC,AC? β,所以 P∈β,所以 P∈α∩β, 同理可证得 Q∈α∩β,所以 α∩β=PQ. 又 A1C? β,所以 A1C 与平面 α 的交点就是 A1C 与 PQ 的交点,则 A1C 与 PQ 的交点就 是所求的交点 R. 10.(2016· 南京一中检测)如图, E, F 分别是长方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 A1A,C1C 的中点.求证:四边形 B1EDF 是平行四边形.

证明:设 Q 是 DD1 的中点,连结 EQ,QC1,如图. 因为 E 是 AA1 的中点,Q 是 DD1 的中点,所以 EQ 綊 A1D1. 又 A1D1 綊 B1C1,所以 EQ 綊 B1C1, 所以四边形 EQC1B1 为平行四边形,所以 B1E 綊 C1Q. 又 Q,F 分别是 D1D,C1C 的中点, 所以 QD 綊 C1F, 所以四边形 DQC1F 为平行四边形,所以 C1Q 綊 DF. 故 B1E 綊 DF,所以四边形 B1EDF 是平行四边形. ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N 分别为 DE, EF,EC 的中点,在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 解析:还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线,GH 与 MN 成 60° 角,DE⊥MN. 答案:②③④ 2.设 A,B,C,D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是________. ①若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面; ②若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线; ③若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC; ④若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC. 解析:①中,若 AC 与 BD 共面,则 A,B,C,D 四点共面,则 AD 与 BC 共面;②中, 若 AC 与 BD 是异面直线,则 A,B,C,D 四点不共面,则 AD 与 BC 是异面直线;③中, 若 AB=AC,DB=DC,AD 不一定等于 BC;④中,若 AB=AC,DB=DC,可以证明 AD⊥ BC. 答案:③ 3.如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别是 A1B1,B1C1 的中点,问: BE,

(1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. 解:(1)不是异面直线.理由如下: 连结 MN,A1C1,AC. 因为 M,N 分别是 A1B1,B1C1 的中点, 所以 MN∥A1C1. 又因为 A1A∥C1C,A1A=C1C, 所以 A1ACC1 为平行四边形, 所以 A1C1∥AC, 所以 MN∥AC, 所以 A,M,N,C 在同一平面内, 故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: 因为 ABCDA1B1C1D1 是正方体, 所以 B,C,C1,D1 不共面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α,使 D1B? 平面 α,CC1? 平面 α, 所以 D1,B,C,C1∈α,与 B,C,C1,D1 不共面矛盾. 所以假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线.


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