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高一数学-泰州市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


2014-2015 学年度第二学期期末考试 高一数学试题
(考试时间:120 分钟 总分: 160) 注意事项:所有试题的透均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效 参考公式: V球= ? R

4 3

3

一、填空题: (本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填入答题纸填空题的相应 答题

线上) 1、 直线 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角为___________ 2、 若直线 ax ? y ? 1 与 (a ? 1) x ? 2 y ? 3 直线平行,则实数 a 的值是_______

AB 异面的条数为________ 3、 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱所在直线中,与直线
4、 在等比数列 ?an ? 中, a4 ? 5 ,则 a1a7 ? _________ 5、 不等式

2x ?1 ? 1 的解集为________ x ?1

6、 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为__________ 7、 正方体的表面积为 24,则该正方体的内切球的体积为____________ 8、 若圆 ( x ? 2) ? ( y ? a) ? 1 与圆 ( x ? a) ? ( y ? 5) ? 16 相交,则实数 a 的取值范围是
2 2 2 2

________ 9、 数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,且满足 Sn ? 2an ? 1 ,则 a5 ? _______ 10、已知 a , b 是两条直线, ? , ? 为两个不同平面,则下列四个结论正确的个数为_______ ①若 a ? b, a ? ? , 则b // ? ③若 a ? ? , ? ? ? , 则a // ?
2

②若 ? ? ? , a // ? , 则a ? ? ④若 a ? b, a ? ? , b ? ? , 则? ? ?

11、若一元二次不等式 ax ? ax ? b ? 0 的解集为 (m, m ? 1) ,则实数 b =_________ 12、某科技兴趣小组需制作一个面积为 2 2 平方米,底角为 45 的等腰梯形构件,则该梯 形构件的周长的最小值为_________米。
2 2 13、若圆: ( x ? 1) ? ? y ? 2 ? ? r (r ? 0) 与线段: y ? ? 2

?

1 x ? 1(0 ? x ? 2) 有且只有一个交 2

战,则 r 的取值范围_________ 14 、已知 f ( x) ?

1 log2 x ? 1 ( x ? 2) ,已知 f ( x1 ) ? f (2 x2 ) ? ,则 f ( x1x2 ) 的最小值= 2 2 log2 x ? 1
1

________ 二、解答题(本题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或深处步骤) (本小题满分 14 分) 15、在平面直角坐标系 xoy 中,已知 ?ABC 的顶点坐标为 A(2, 4), B(1, ?2), C (?2,3) . (1)求直线 BC 的方程; (2)求边 BC 上高 AD 所在的直线方程。

16、 (本小题满分 14 分) 如 图 , 平 面 ABC ? 平 面 D B C , AB ? AC, AB ? AC, DB ? DC; DE ? 平面DBC ,

BC ? 2 DE ,
(1)求证: DE // 平面ABC ; A (2)求证: AE ? 平面ABC E C

B

D

2

17、 (本小题 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? n2 ,等比数列 ?bn ? 满足: b2 ? 2, b5 ? 16 (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Tn 。

18、 (本小题 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2b
2

(1) a ? b ? 0 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (2)当 a ? 1 时,若对任意的 x ? (??, 2) ,不等式 f ( x) ? 1 恒成立,求实数 b 的取值范围; (3)若 f (?1) ? 1, f (1) ? 3 ,求 a ? b ? 2 的取值范围。

3

19.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知经过原点 O 的直线 l 与圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ?1 ? 0 交于 A, B 两点。 (1)若直线 m : ax ? 2 y ? a ? 2 ? 0(a ? 0) 与圆 C 相切,切点为 B,求直线 l 的方程; (2)若 OB ? 2OA ,求直线 l 的方程; (3)若圆 C 与 x 轴的正半轴的交点为 D,求 ?ABD 面积的最大值。

20.(本小题 16 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S13 ? 104 ,公差 d ? N .
*

(1)若 a2 , a5 , a11 成等比数列,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)是否存在数列 ?an ? ,使得对任意的 m ? N , am ? am?1 仍然是数列 ?an ? 中的一项?若
*

存在,求出所有满足条件的公差 d ;若不存在,说明理由; (3)设数列 ?bn ? 的每一列都是正整数,且 b1 ? 5, b2 ? 7 ? b3 ,若数列 abn 是等比数列, 求数列 ?bn ? 的通项公式。

? ?

4

答案 一、填空题

1.

?
4

2. ? 1 4? 7. 3

3.4

4.25 2

5.( ??, ?1) ? (2, ??) ?9 . 1 6

6.1

8 ?. a 1?

10.1

11.0

12.8 13. 2 ? r ? 5或r ?

3 5 5

14.

1 3

二、解答题 15(1)直线 BC 的方程: 5 x ? 3 y ? 1 ? 0 16、 (1)取 BC 中点 F,连结 AF, 因为 AB=AC,所以,AF⊥BC 又因为平面 ABC ? 平面 DBC ,且交线为 BC, 所以,AF⊥平面 DBC 因为 DE ? 平面DBC ,所以,AF∥DE, 而 AF 在平面 ABC 内,DE 在平面 ABC 外,所以, DE // 平面ABC (2)连结 DF,可证 DF⊥平面 ABC,AE∥DF,从而有 AE ? 平面ABC 17(1) an ? 2n ? 1 (2)所求方程: 3x ? 5 y ? 14 ? 0

bn ? 2n?1

(2) Tn ? (2n ? 3)2n ? 3 ( 2 )原不等式化为: b( x ? 2) ? 1 ? x ,因为
2

18 ( 1 ) f ( x) ? 0 的解集为 (?2,1) ;

x ? ( ??, 2)
所以原不等式化为 b ? 以b ? 2 3 ?4 (3)题目条件化为 ?1 ? a ? 3b ? 1, ?3 ? a ? b ? 3 ,作图可知 a ?[?5,5], b ?[?2, 2] ,去绝 一个绝对值 z= a ? b ? 2 ,对 a 讨论再去掉一个绝对值。当 ?5 ? a ? 0 时,由线性规划得 当 0 ? a ? 5 时,

x2 ? 1 x2 ? 1 3 , x ? (??, 2) 恒成立, ? 2? x? ? 4 ? 2 3 ? 4 ,所 2? x 2? x 2? x

5 ? z ? 5; 3

5 5 ? z ? 9 ,综上可得 ? z ? 9 3 3

19 (1) 由相切得 故a ?1

3a ? 2 a ?4
2

? 5 化简得:a 2 ? 3a ? 4 ? 0 ,解得 a ? 1或a ? ?4 ,由于 a ? 0 ,

由直线 m 与圆解得切点 B(1, 2) ,得 l : y ? 2 x
5

1 1 1 AB ,又 OA ? AB ,所以 OM ? AM ,设: OM ? x , 2 3 3 31 2 圆心到直线 l 的距离为 d ,由勾股定理得: x2 ? d 2 ? 4,9 x2 ? d 2 ? 5 ,解得 d ? ,设所 8
(2)取 AB 中点 M,则 AM ? 求直线的方程为 y ? kx , d ?

2k 1? k 2

,解得 k ? ? 31 , l : y ? ? 31x

( 3 ) 如 图 : 设

A,B

两 点 的 纵 坐 标 分 别 为

y1 , y2 , 易 知

1 D(2 ? 5,0) , S ?ABD ? (2 ? 5)( y1 ? y2 ) ,易知 y1 ? y2 ? y1 ? y2 ,设 AB 方程为 2

? x ? ty x ? ty ,由 ? 2 消元得 (t 2 ? 1) y 2 ? 4ty ?1 ? 0 , 2 ? x ? y ? 4x ?1 ? 0
y1 ? y2 ? ? 20t 2 ? 4 ? 1? t2 1? t2


2

5t 2 ? 1 (t 2 ? 1)2



x ? 5t 2 ? 1





y1 ? y2 ? 2

5 5 25x ? , ()当 x ? 4 时取等号) ?ABD 面积最大值为 (2 ? 5) , 4 x ? 8x ? 16 2
2

2 20(1)由条件得 a7 ? 8 ,又 a5 ? a2a11 ,解得 d ? 0或d ? 1 ,易知 d ? 1 , an ? n ? 1 ;

( 2 ) an ? 8 ? (n ? 7)d , am ? am?1 ? 16 ? (2m ? 13)d , 令 am ? a? m 1 ?

, 则 an

(n ? 6 ? 2 m d ) ?, 8
d 为 8 的正约数:1,2,4,8,经检验, d ? 1 符合题意,综上满足条件的 d 值为 1 8 4 ? ( 3 ) ab1 ? a5 ? 8 ? 2d , ab2 ? a7 ? 8 , 等 比 数 列 的 公 比 q ? , 8 ? 2d 4 ? d 4 n ?1 abn ? (8 ? 2d )( ) 4?d 4 n ?1 ) 又 abn ? 8 ? (bn ? 7)d , 所 以 : 8 ? (bn ? 7) d ? (8 ? 2d )( , 所 以 4?d 4 2 8 ? (b3 ? 7)d ? (8 ? 2d )( ) 4?d 32 8 ? (b3 ? 7)d ? 由 b3 >7, 得 4 ? d ? 0 ,d ? 1, 2,3 , 经检验,d ? 1 不符合题意,d ? 2 4?d
时, bn ? 2 ? 3
n

22 n ?1 ? 1 d ? 3时, bn ? ?4 3

6

7


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