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高中数学 2.3幂函数课件 新人教A版必修1


2.3 幂函数

【课标要求】

1.了解幂函数的概2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,
y=x-1的图象,了解它们的变化情况. 【核心扫描】 1.幂函数的概念和性质.(重点) 2.五种幂函数的图象的特点.(难点)



3.幂函数与指数函数的区别.(易混点)

新知导学

1.幂函数的概念
函数 y=xα 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

2.幂函数的图象与性质 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=x-1

图象

定义域

R

R

R

[0,+∞)

(-∞,0)∪
(0,+∞)

值域

{y|y∈R且 R [0,+∞) 偶 x∈[0,+∞)增 x∈(-∞,0]减 R 奇 [0,+∞) 非奇非偶 y≠0} 奇 x∈(0,+∞)

奇偶性 奇

单调性 增





减 x∈(-∞,

0)减
(1,1)

定点

互动探究 探究点1 幂函数y=xα与指数函数y=ax(a>0且a≠1)有何区别?

提示
变量.

幂函数y=xα 的底数是自变量,指数是常数,而指数

函数正好相反,在指数函数y=ax 中,底数是常数指数是自 探究点2 “幂函数的图象都不过第二、四象限”对吗? 提示 不对,幂函数y=x2 的图象过第二象限,所有的幂函

数的图象都不过第四象限,因为对y=xα而言,
当x>0时,必有y>0.

探究点3 y=1和y=x0(x≠0)一样吗?它们都是幂函数吗?
提示 不一样,y=1不是幂函数,y=x0(x≠0)是幂函数.

类型一

幂函数概念的理解及应用

【例1】 函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,且当x∈(0,+ ∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式. [思路探索] 首先根据幂函数的定义,幂的系数为1,其次根据性

质确定m的值,进而得解.



根据幂函数定义得,

m2-m-1=1,解得m=2或m=-1, 当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上是增函数, 当m=-1时,f(x)=x-3,在(0,+∞)上是减函数,不合要求. ∴f(x)的解析式为f(x)=x3.

[规律方法]

(1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找

不出“m2-m-1=1”这一等量关系,导致解题受阻.(2)幂
函数y=xα(α∈R)中,α为常数,系数为1,底数为单一的x.这 是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.幂函 数与指数函数的解析式形同而实异,解题时一定要分清,以 防出错.

【活学活用1】 若幂函数f(x)=(m2 -2m-2)xm2+m-1 的图象 与坐标轴没有交点,试求实数m的值.



由f(x)=(m2-2m-2)xm2+m-1是幂函数,

则m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3. (1)当m=3时,f(x)=x11过原点(0,0),与坐标轴相交,不合题 意; (2)当m=-1时,f(x)=x -1 的图象与坐标轴无公共点.因此,

实数m的值为-1.

类型二

幂函数的图象及应用 :

【例 2】 已知函数 y=x3 与 y= (1)画出它们的图象; (2)根据图象,说出 x 取何值时,x3<

.

[思路探索]

先画出两函数在同一坐标系中的图象,再观察

函数值的变化情况,得出结论.



(1)在同一坐标系中,画出y=x3,y=

的图象如图:

(2)根据上图可知:当x∈(0,1)时,y= 上方,故x∈(0,1)时, >x3.

的图象在y=x3的图象

[规律方法]

1.幂函数y=xα的图象恒过定点(1,1),且不过第

四象限.
2.解决幂函数图象,需把握两个原则:(1)幂指数α的正负决 定函数图象在第一象限的升降;(2)依据图象确定幂指数α与 0,1的大小关系,在第一象限内,直线x=1的右侧,图象由上 到下,相应的指数由大变小.

【活学活用2】 已知幂函数y=xn在第一象 1 限的图象如图,且n取-1, ,2,3四个值, 2 则相应的曲线C1,C2,C3,C4的n值依次为 ________. 解析 根据五种幂函数在同一坐标系中的位置可知,C1为y= 的图象,C4为y=x-1

x3的图象,C2为y=x2的图象,C3为y= 的图象. 答案 1 3,2, ,-1 2

类型三

比较幂的大小

【例 3】 比较下列各组数中两个数的大小:
? 2 ?- ? 3 ?- 1 (2)?-3? 与?-5? 1; ? ? ? ?

(3) [思路探索]

(4)0.20.6 与 0.30.4. 利用幂函数或指数函数的单调性进行大小比较,

并注意中间媒介值的应用.



(1)∵y=

1 1 是[0,+∞)上的增函数,且 > , 3 4

2 3 (2)∵y=x 是(-∞,0)上的减函数,且- <- , 3 5
-1

? 2?- ? 3?- ∴?-3? 1>?-5? 1. ? ? ? ?

1 1 ,6.25 =2.5 . 4 2

(4)由幂函数的单调性,知 0.20.6<0.30.6,又 y=0.3x 是减函数, ∴0.3 >0.3 ,从而 0.2 <0.3 .
0.4 0.6 0.6 0.4

[规律方法]

1.比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数:

(1)若指数相同而底数不同,则构造幂函数(2)若指数不同而
底数相同,则构造指数函数. 2.若指数与底数都不同,需考虑是否能把指数或底数化为 相同,是否可以引入中间量.

【活学活用3】 比较下列各组数的大小:
?2? ?3? 0.5 (1)?3? 与?5?0.5;(2)-3.143与-π3; ? ? ? ?



2 3 (1)∵y=x 在[0,+∞)上是增函数且 > , 3 5
0.5

?2? ? ? 0.5 ?3?0.5 ∴?3? > 5 . ? ? ? ?

(2)∵y=x3是R上的增函数,且3.14<π, ∴3.143<π3,∴-3.143>-π3.

.

易错辨析

幂函数的性质理解不透致误

【示例】 已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,
且在(0,+∞)上函数值随x的增大而减小,求满足 的a的取值范围.

[错解]∵函数在 (0,+∞)上递减, ∴3m-9<0,解得m<3,又m∈N*,∴m=1,2. 又函数图象关于y轴对称, ∴3m-9为偶数,故m=1, 此时,原不等式为 1 1 (a+1)- <(3-2a)- . 3 3 1 又y=x- 是减函数, 3 2 ∴a+1>3-2a,∴a> . 3

[错因分析]

1 没有全面准确地把握y=x- (x≠0)的定义域及 3

单调性,缺失对底数(a+1)及(3-2a)的讨论. [正解] 由上述错解,知m=1,

又y=

在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,

∴a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a. 2 3 解之得 <a< 或a<-1. 3 2

[防范措施]

1.在解题时要认真分析题目条件,选准解题的入

手点,最后要注意根据题目的要求用准确的数学语言回答. 2.本题综合性较强,解题的关键是准确把握幂函数的图象, 抓住了幂函数的图象就抓住了性质,也就有效地解决了应用 中的困难.事实上y= 是奇函数,一定注意a+1与3-2a

是否在同一单调区间,必须进行分类处理.

课堂达标
1.下列函数是幂函数的是 ( A.y=5x C.y=5x 解析 B.y=x5 D.y=(x+1)3 ).

函数y=5x是指数函数,不是幂函数;函数y=5x是

正比例函数,不是幂函数;函数y=(x+1)3的底数不是自

变量x,不是幂函数;函数y=x5是幂函数.
答案 B

1 2.设a∈{-1,1, ,3},则使函数y=xa的定义域为R且为奇 2 函数的所有a值为 ( A.1,3 C.-1,3
a

).

B.-1,1 D.-1,1,3

1 解析 由y=x 的定义域为R可知a≠-1, ,且a=1,3时, 2 y=x及y=x3均为奇函数. 答案 A

3.(2013· 嘉兴高一检测)已知幂函数f(x)的图象过点( 则f(9)=________. 解析 设f(x)=xα,由题意知( 2)α=2,

2 ,2),

∴α=2,∴f(x)=x2,∴f(9)=81. 答案 81

4.幂函数y=(m2-m-1)x-m在x∈(0,+∞)上为减函数,则
m的值为________. 解析 由m2-m-1=1,得m=2或m=-1.

又当m=2时,y=x-2在x∈(0,+∞)上为减函数,合题意; 当m=-1时,y=x在x∈(0,+∞)上为增函数,不合题 意. 答案 2

5.已知幂函数f(x)=xm2-4m的图象关于y轴对称,且在(0,+ ∞)上递减,求整数m的值.



由题意,得m2-4m<0,

∴0<m<4. 当m=1或3时,f(x)=x-3图象不关于y轴对称; 当m=2时,f(x)=x-4的图象关于y轴对称, 且在(0,+∞)上递减.

故整数m=2.

课堂小结 1.幂函数y=xα的底数是自变量,指数是常数,而指数函数

正好相反,底数是常数,指数是自变量.
2.幂函数在第一象限内指数变化规律 在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的 指数由大变小;在直线x=1的左侧,图象从下到上,相 应的指数由大变小.

3.简单幂函数的性质

(1)所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且当自变量为1
时,函数值为1,即f(1)=1. (2)如果α>0,幂函数在[0,+∞)上有意义,且是增函数. (3)如果α<0,幂函数在x=0处无意义,在(0,+∞)上是减 函数.


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