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2010年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题3月28日


2010 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题
一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1.函数 y ? arccos(

12 ? 4 x ? x 2 ? 2 ) 的定义域是 4

,值域是

.

2..若 n 个正实数 x1 , x2 ,

?, xn 使等式 lg x1 ? lg x2 ? ? ? lg xn ? lg

? lg x1 ? lg x2 ? ?? lg xn 成立,则 x1 , x2 ,?, xn 的值分别是

1 1 1 ? lg ? ? ? lg x2 x2 xn .

3 . 平 面 直 角 坐 标 系 内 有 ?ABC , 顶 点 坐 标 为 A( 3, 0 )B ( 0 , C) , ? ( 0 ,两1) 行 直 线 . 平 , 2 t x ? t, x? ( 0 <t≤3 ) 之 间 与 ?ABC 公共部分的面积记为 S(t) ,则当 t 变化时,S(t) 2 的最大值是 . 4.设甲袋中有 4 只白球,5 只红球,6 只黑球;乙袋中有 7 只白球,6 只红球,2 只黑球. 若从两袋中各取一球, 则两球颜色不同的概率是 (用最简分数作答) .

5.已知 F1 、 F2 是双曲线 x2 ? y 2 ? 1的两个焦点,M 是该双曲线的右支上的点,O 为坐标 原点.若

MF1 ? MF2 MO

? 6 ,则点 M 的坐标为

.

6.已知 n≥2, n ? N * ,则满足 0< a1 < a2 < ? < an ?1 < an 的 2n ? 1 位十进制正整数

a1a2 ?an?1anan?1 ?a2a1 共有

个(用数值作答).

7.设 f(x)是整系数多项式,f(0)=11,又存在 n 个不同整数 x1 , x2 , ? , xn ,使

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? 2010, 则 n 的最大值是 .
AC ? 7.动点P 、 Q 分别在AB 、 AC 8. ?ABC中,AB ? 5, BC ? 8, . ?A P的外接圆与 相切 , 则线段 PQ 长的最小值为 Q B C

上 , 使

二、解答题 9. (本题满分 14 分)如图,走廊宽为 3 米, 夹角为 120 0 ,地面是水平的,走廊两端 足够长.问保持水平位置通过走廊的木棒 (不计粗细)的最大长度是多少?

10. (本题满分 14 分)已知由 1,2, ?,1000这1000个正整数构成的集合 A,先从集合 A 中随机取一个数 a ,取出后把 a 放回集合 A;然后再从集合 A 中随机取一个数 b, 求
a 1 > 的概率. b 3

11. (本题满分 16 分)
2 2 ⑴已知 x1 、 x2 、 x3 ? R,求证: x12 ? x2 ? x3 ≥ 2( x1x2 ? x2 x3 ) ,并说明等号成立的条件;

⑵已知实数 a 使得对于任意实数 x1 、 x2 、 x3 、 x4 ,不等式
2 2 2 x12 ? x2 ? x3 + x4 ≥ a( x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 )

都成立,求 a 的最大值.

12. (本题满分 16 分) 正整数 n 满足如下条件:对开区间(0,2009)内的每个正整数 m,总存在正整数 k, m k m ?1 使得 < < ,求这种 n 的最小值. 2009 n 2010

2010 年上海高中数学竞赛(新知杯) 试题解答及评分参考意见
一.填空题(7 × 4 + 8 × 4=60' ' ' ) ? 2? 3 1.[-2,6] (3'; [ , ) ] (4' ). 2. x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1. 3. . 3 3 2 31 30 6 2 4. . 5. ( 6. 502 . 7. 3 . 8. . ,? ). 45 7 2 2 二.解答题(14' 2+ 16' 2=60' × × ) 9.解:过走廊转角内顶点 P 任作水平直线交 走廊外侧于点 A、B(如图) ,则在水平位置通 过走廊的木棒长度 ? AB. 设 ?BAP ? ? ,则 ?ABP ? 600 ? ? , 3 3 AB ? AP ? PB ? ? . (4’) sin ? sin(600 ? ? ) 当? 变化时,上式的最小值即是在水 平位置通过走廊的木棒的最大长度. 由平均不等式及积化和差得
AB ? 6

B P 3

?
A

3 Q

1 1 2 ?6 ?6 ? 12 , (9’) 0 1 1 sin ? sin(60 ? ? ) 0 0 ?cos(2? ? 60 ) ? cos 60 ? 1? ? 2? 2 0 且当 ? ? 30 时,AB=12. (14’) ? 在水平位置能通过走廓的木棒的最大长度是 12 米. a 1 a 1 10. 解: P ( > ) ? 1 ? P( ? ) . b 3 b 3 a 1 1 ?1 ? (5’ ) ? ? ? a ? b ? a ? ? b? . b 3 3 ?3 ? 1000 ? 1 ? 332 ? ? 3 b ? ? 3k ? 333 ? 333 333 a 1 ? P( ? ) ? b ?1 ? 2 ? ? k ?1 ? . (10’) b 3 1000 10002 2000 a 1 333 1667 ? 故 P( ? ) ? 1 ? . (14’) b 3 2000 2000 另解:当 a=1 时,b=1 或 2,有 2 种取法. 当 a=2 时,b 的取值增加 3,4,5,有 2+3 种取法. 当 a=3 时,b 的取值增加 6,7,8,有 2+2×3 种取法. ?? 当 a=333 时,b 有 2+332×3 种取法. 当 334 ? a ? 1000 时,b 都有 1000 种取法. (5’ ) a 1 2 ? (2 ? 3) ? (2 ? 2 ? 3) ? ? ? (2 ? 332 ? 3) ? 667 ?1000 ? P( > ) ? (10’ ) b 3 10002 332 ? (2 ? 166 ? 3) ? 667 ?1000 1667 ? = . (14’) 10002 2000

2 2 11. (1)证: x12 ? x2 ? x3 ? ( x12 ?

2 x2 x2 2 ) ? ( 2 ? x3 ) 2 2

2 2 x1 x2 ? x2 x3 ? 2( x1 x2 ? x2 x3 ) . 2 2 1 等号当且仅当 x1 ? x2 ? x3 时成立. 2 (2) 解:设 k 为待定常数,且 0<k<1, 则 2 2 2 2 2 2 2 x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x12 ? k)x ( 1 ? )k( 2 ? 3) ?( k3x ? 4) ( x x x 2 ? ?

(6’ )

? 2 k x x ? 2 ( 1 k )2 3 ? 2 k3.x 4x ? x x 1 2
3? 5 5 ?1 . 从而 k ? . 2 2 2 2 2 ? 不等式 x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? ( 5 ?1)( x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ) . 对任意实数 x1 、 x2 、 x3 、 x4 都成立.

令 k ? 1 ? k , 解得 k ?

(11’ )

另一方面,取 x1 ?

5?

5 ?1 ? x4 , x2 ? x3 ? 1 ,由已知不等式得 2 , 5? a? 5 ? a ? 5 ? 1. 综上, amax ? 5 ?1 .

(16’ )

12.解:

m k m ? 1 ? mn ? 2009k < < , ?? 2009 n 2010 ?mn ? n ? 2010k k ? m n? 1 ? 2 0 0 9 , ?? ? k ?m n? n 1 ? 2 0 1 0 ? 2 0 0 9 (n ? n ? 1? 2 0 0 9 2 0 1 0 m n ? 0 ( m ) ? k ? 201 1) , ? 2 0 0m n ? 2 0 0 ? 9 n9 2 0 0 9 m n? 0 , 2 0 1 0 ? 201 4019 ?n? . (5’ ) 2009 ? m 中的每个正整数 m 都成立, ? 上式对区间( 0, 2009) 4019 ?n ? ? 4019 . (10’ ) 2009 ? 2008 a c a a?c c ? ”知 另一方面,根据不等式, a、b、c、d ? R ? , ? ? ? “ b d b b?d d m m ? (m ? 1) m ?1 m 2m ? 1 m ? 1 ? ? ,即 ? ? 2009 2009 ? 2010 2010 2009 4019 2010 对区间(0,2009)中的每个正整数 m 的都成立. (16’ ) ? n 的最小值为 4019.

4


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