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2013高考数学 解题方法攻略 根的分布 理


二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程 ax
2

2

? bx ? c ? 0 根的分布情况

设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为
f ? x ? ? ax ? bx ? c ? 0 ,方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点,它们的分布情况见下面
2

各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)

分 布 情 况

两个负根即两根都小于 0

两个正根即两根都大于 0

一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0 ?

? x1 ? 0, x2

? 0?

大 致 图 象 (
a?0



得 出 的 结 论

? ??0 ? ? b ?0 ?? ? 2a ? f ? 0? ? 0 ?

? ??0 ? ? b ?0 ?? ? 2a ? f ? 0? ? 0 ?

f ?0 ? ? 0

大 致 图 象 (
a?0



得 出 的 结 论

? ??0 ? ? b ?0 ?? ? 2a ? f ? 0? ? 0 ?

? ??0 ? ? b ?0 ?? ? 2a ? f ? 0? ? 0 ?

f ?0 ? ? 0

-1-

综 合 结 论 ( 不 讨 论
a

??0 ? ? b ? ?0 ? ? 2a ? ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

??0 ? ? b ? ?0 ? ? 2a ? ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

a ? f ?0 ? ? 0



-2-

表二: (两根与 k 的大小比较)

分 布 情 况

两根都小于 k 即
x1 ? k , x 2 ? k

两根都大于 k 即
x1 ? k , x 2 ? k

一个根小于 k ,一个大于 k 即
x1 ? k ? x 2

大 致 图 象 (
a?0

k k k



得 出 的 结 论

? ??0 ? ? b ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? ? b ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

大 致 图 象 (
a?0



得 出 的 结 论

? ??0 ? ? b ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? ? b ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论
a

??0 ? ? b ? ?k ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0 ?

??0 ? ? b ? ?k ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0 ?

a ? f ?k ? ? 0



-3-

表三: (根在区间上的分布)

分 布 情 况

两根都在 ?m, n ? 内

两根有且仅有一根在 ?m, n ? 内

一根在 ?m, n ? 内, 另一根在 ? p, q ?

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

大 致 图 象 (
a?0



得 出 的 结 论

? ??0 ? f ? m? ? 0 ? ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m ? ? f ?n ? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ?n? ? 0 ? f ?n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? ? f ? p? ? 0 ?f q ?0 ? ? ?

大 致 图 象 (
a?0



得 出 的 结 论

? ??0 ? f ? m? ? 0 ? ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m ? ? f ?n ? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ?n? ? 0 ? f ?n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? ? f ? p? ? 0 ?f q ?0 ? ? ?

综 合 结 论 ( 不 讨 论
a

——————

f ?m ? ? f ?n ? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0 ?


根在区间上的分布还有一种情况: 两根分别在区间 ?m, n ? 外, 即在区间两侧 x1 ? m, x2 ? n ,
-4-

(图形分别如下)需满足的条件是

(1) a ? 0 时, ?

? f ? m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ?



(2) a ? 0 时, ?

? f ? m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ?

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在 ?m, n ? 内有以下特殊情况:
1?

若 f ? m ? ? 0 或 f ? n ? ? 0 ,则此时 f ? m ??f ? n ? ? 0 不成立,但对于这种情况是知道了方

程有一根为 m 或 n ,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间 ?m, n ? 内,从而可以求 出参数的值。如方程 mx ? ? m ? 2 ? x ? 2 ? 0 在区间 ?1, 3? 上有一根,因为 f ?1? ? 0 ,所以
2

mx ? ? m ? 2 ? x ? 2 ? ? x ? 1?? mx ? 2 ? ,另一根为
2

2 m

,由 1 ?

2 m

? 3得

2 3

? m ? 2 即为所求;

2?

方程有且只有一根,且这个根在区间 ?m, n ? 内,即 ? ? 0 ,此时由 ? ? 0 可以求出参数的

值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在, 舍去相应的参数。 如方程 x 2 ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 有且一根在区间 ? ?3, 0 ? 内, m 的取值范围。 求 分析:①由 f ? ?3??f ? 0 ? ? 0 即 ?14m ? 15 ?? m ? 3? ? 0 得出 ?3 ? m ? ?
16m ? 4 ? 2m ? 6 ? ? 0 得出 m ? ?1 或 m ?
2

15 14

;②由 ? ? 0 即

3 2

,当 m ? ?1 时,根 x ? ?2 ? ? ?3, 0 ? ,即 m ? ?1
3 2

满足题意;当 m ?
?3 ? m ? ? 15 14

3 2

时 , 根 x ? 3 ? ? ?3, 0 ? , 故 m ?

不满足题意;综上分析,得出

或 m ? ?1

根的分布练习题 例 1、 已知二次方程 ? 2m ? 1? x ? 2mx ? ? m ? 1? ? 0 有一正根和一负根, 求实数 m 的取值范围。
2

-5-

解:由 ? 2m ? 1??f ? 0 ? ? 0 即

? 2m ? 1?? m ? 1? ? 0 ,从而得 ?

1 2

? m ? 1 即为所求的范围。

例 2、已知方程 2 x ? ? m ? 1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。
2

解:由
??0 ? 2 ?? m ? 1? ? 8m ? 0 ? ? ? m ? 3 ? 2 2或m ? 3 ? 2 2 ? ? ? m ? 1? ? ?0 ? ? m ? ?1 ? ? ? ?? 2? 2 m?0 ? ? ? ? m?0 ? f ? 0? ? 0 ? ?

0 ? m ? 3 ? 2 2 或 m ? 3 ? 2 2 即为所求的范围。

例 3、 已知二次函数 y ? ? m ? 2 ? x ? ? 2m ? 4 ? x ? ? 3m ? 3? 与 x 轴有两个交点, 一个大于 1,
2

一个小于 1,求实数 m 的取值范围。 解:由 ? m ? 2 ??f ?1? ? 0 即 ? m ? 2 ?? 2m ? 1? ? 0 ? - 2 ? m ? ?
1 2

即为所求的范围。

例 4、已知二次方程 mx ? ? 2m ? 3? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取
2

值范围。 解: 由题意有方程在区间 ? 0,1? 上只有一个正根, f ? 0 ??f ?1? ? 0 ? 4? 3m ? 1? ? 0 ? 则 ?
m?? 1 3

即为所求范围。

(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 ? 0,1? 内,由 ? ? 0 计算 检验,均不复合题意,计算量稍大)

-6-

2、二次函数在闭区间 ?m, n ? 上的最大、最小值问题探讨 设 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? 0 ?a ? 0 ? ,则二次函数在闭区间 ?m, n? 上的最大、最小值有如下
2

的分布情况:
m?n?? b 2a m?? b 2a ? n即? b 2a ? ?m, n ? ? b 2a ?m?n

图 象

最 大 、 最 小 值

f ? x ?max ? f ?m ? f ? x ?min ? f ?n ?

f ? x ?max ? max? f ?n ?, f ?m ??

f ? x ?max ? f ?n ? f ? x ?min ? f ?m ?

b ? ? f ? x ?min ? f ? ? ? ? 2a ?

对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论: (1)若 ?
? ? b ? ? ? ?m, n ? ,则 f ? x ?max ? max ? f ?m ?, f ? ? ?, f ?n ?? , 2a ? 2a ? ? ?
b

? ? b ? ? f ? x ?min ? min ? f ?m ?, f ? ? ?, f ?n ?? ; ? 2a ? ? ?

(2)若 ?

b 2a

? ?m, n ? ,则 f ? x ?max ? max? f ?m ?, f ?n ??, f ? x ?min ? min? f ?m ?, f ?n ??

另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开 x 轴越远,则对应的函数值越大;反过 来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开 x 轴越远,则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习 二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以 及闭区间,以下三个例题各代表一种情况。 例 1、函数 f ? x ? ? ax ? 2ax ? 2 ? b ? a ? 0 ? 在 ? 2, 3? 上有最大值 5 和最小值 2,求 a, b 的值。
2

解:对称轴 x0 ? 1 ? ? 2, 3? ,故函数 f ? x ? 在区间 ? 2, 3? 上单调。

-7-

(1)当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 2, 3? 上是增函数,故 ?
?3a ? b ? 2 ? 5 ?a ? 1 ; ? ? ? ? 2?b ? 2 ?b ? 0

?f ? ?f ?

? x ?max ? f ? 3? ? x ?min ? f ? 2 ?

?

(2)当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 2, 3? 上是减函数,故 ?
? b?2?5 ? a ? ?1 ? ? ? ?3a ? b ? 2 ? 2 ? b?3

? x ?max ? f ? x ? min ?
?f ?

? f ? 2? ? f ? 3?

?

例 2、求函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1, x ? ?1, 3? 的最小值。
2

解:对称轴 x0 ? a (1)当 a ? 1 时, ymin ? f ?1? ? 2 ? 2a ; (2)当 1 ? a ? 3 时, ymin ? f ? a ? ? 1 ? a ;
2

(3)当 a ? 3 时, ymin ? f ? 3? ? 10 ? 6a 改:1.本题若修改为求函数的最大值,过程又如何? 解: (1)当 a ? 2 时, f ? x ?max ? f ? 3? ? 10 ? 6a ; (2)当 a ? 2 时, f ? x ?max ? f ?1? ? 2 ? 2a 。 2.本题若修改为求函数的最值,讨论又该怎样进行? 解: (1)当 a ? 1 时, f ? x ?max ? f ? 3? ? 10 ? 6a , f ? x ?min ? f ?1? ? 2 ? 2a ; (2)当 1 ? a ? 2 时, f ? x ?max ? f ? 3? ? 10 ? 6a , f ? x ?min ? f ? a ? ? 1 ? a ;
2

(3)当 2 ? a ? 3 时, f ? x ?max ? f ?1? ? 2 ? 2a , f ? x ?min ? f ? a ? ? 1 ? a ;
2

(4)当 a ? 3 时, f ? x ?max ? f ?1? ? 2 ? 2a , f ? x ?min ? f ? 3? ? 10 ? 6a 。 例 3、求函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ?t , t ? 1? 上的最小值。
2

解:对称轴 x0 ? 2 (1)当 2 ? t 即 t ? 2 时, ymin ? f ? t ? ? t ? 4t ? 3 ;
2

(2)当 t ? 2 ? t ? 1 即 1 ? t ? 2 时, ymin ? f ? 2 ? ? ?1 ;
-8-

(3)当 2 ? t ? 1 即 t ? 1 时, ymin ? f ? t ? 1? ? t ? 2t
2

例 4、讨论函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? 1 的最小值。
2
2 ? x ? x ? a ? 1, x ? a 解: f ? x ? ? x ? x ? a ? 1 ? ? 2 ,这个函数是一个分段函数,由于上下两 ? x ? x ? a ? 1, x ? a 2

段上的对称轴分别为直线 x ? ? 象分别如下(1)(2)(3) , ,

1 2

,x?

1 2

,当 a ? ?

1 2

,?

1 2

?a?

1 2

,a ?

1 2

时原函数的图

因此, (1)当 a ? ?
1 2

1 2

时, f ? x ?min ? f ? ?
?
1 2

?

1? 3 ? ? ?a; 2? 4
2

(2)当 ?

?a? 1 2

时, f ? x ?min ? f ? a ? ? a ? 1 ;
?1? 3 ?? ?a ?2? 4

(3)当 a ?

时, f ? x ?min ? f ?

-9-


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