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湖北省黄冈中学2016年初中数学自主招生预录考试训练试题五(理科实验班,扫描版)


湖北省黄冈中学 2016 年初中数学自主招生(理科实验班)预录考试 训练试题五

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高中预录考试数学训练题(五) 参考答案 一、选择题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1.B. 2.C. 3.A. 4.C. 解析:设第 n 层的最高点到水平线的距离记为:an(n=1

,2,3,…,10) . 由题意,得 a1 ? 1; a2 ? a1 ? ( )2 ; a3 ? a2 ? ( )2 ; a4 ? a3 ? ( ) 4 ; a5 ? a4 ? ( ) 4 ;

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 1 a6 ? a5 ? ( )6 ; a7 ? a6 ? ( )6 ;...; a10 ? a9 ? ( )10 ; 把这 10 个式子左右相加,得 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1705 . a10 ? 1 ? 2 ? [( )2 ? ( )4 ? ( )6 ? ( )8 ? ( )10 ] ? ( )10 ? 2 2 2 2 2 2 1024
二、填空题(共 8 小题,每小题 5 分 ,共 40 分) 5.6. 6.5 个. 7.

96 . 41

8.45. 解析:记 n ? 2 张卡 片至多经过 an 次操作后,能将它们按从小到大顺序排列,则

a2 ? 1; a3 ? a2 ? 2; a4 ? a3 ? 3; ............ a10 ? a9 ? 9.
所以 a10

? 1 ? 2 ? 3 ? ..... ? 9 ? 45 .

9.0. 10.36. 解析:每隔 3cm 剪一刀共剪 72÷3-1=24-1=23 刀,每隔 4cm 剪一刀,共剪 72÷4-1=17 刀,所以应共剪 23 +17=40 刀,但其中重复位置的 刀数为: 72÷12-1=5 刀,因此互不重复 的刀数为 40-5=35 刀,所以 72cm 长的绳子按要求被剪的段数为 35+1=36 段. 11.6. 解析:∵a<3,b>3,∴a-3<0,b-3>0,∴(a-3 )(b-3)<0,∴ab-3(a+b)+ 9<0, 又∵a+b=k-1,ab=3,代入上述不等式,得 3-3(k-1) + 9<0,解得 k>5. 12.130.
x ? y ? z ? 30 解析:由 ? 用 x 来表示 y,z,得 y=40-2x,z=x-10, ? ?3x ? y ? z ? 50
4

40 ? 2 x ? ? 又由 y≥0,z≥0,得 ? ,解得 10≤x≤20, ? ? x ??? ? ?

又把 y=40-2x,z=x-10 代入 M=5x+4y+2z,得 M=-x+140, 显然 M 是关于 x 的一次 函数,且 M 随 x 增大而减小,所以当 x=10 时,M 的最大值为 130. 三、解答题(本 大题共 4 小题,共 60 分) 13. (本题 满 分 14 分)过点 A 作 AN⊥BC 交 DG 于 M, 交 BC 于 N,设 AN=h,DE=x=MN=DG, 则

h 1 BC ? h ? 1 , BC ? , 由 DG ∥ BC 知 △ ADG ∽ △ ABC , 故 2 2

DG AM 2h x h?x ? ,即 ,∴ x ? 2 . ? 2 h ?2 BC AN h h
记正方形 DEFG 的面积为 S,则

? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 1 ? ? ? ?? ? ?? S ?? ? ? . 2 2? 2 ? ?? ? ?2 2? 2? ?h? ? ? ? h ? ? 2 2 ?? ? h? ? ? ? h? ? ?? ? 1 当 h ? 2 时,正方形 DEFG 面积的最大值为 . 2
2

2

14. ( 本题满分 12 分) 由题意知 ? ? (3a ?1)2 ? 4(2a 2 ?1) ? a 2 ? 6a ? 5 ? (a ? 5)(a ?1) ? 0 , ∴ a ? 5或a ?1. 由根与 系数的关系知 x1 ? x2 ? 1 ? 3a, x1 x2 ? 2a ?1 .
2

故 (3x1 ? x2 )(x1 ? 3x2 ) ? 3( x1 ? x2 ) ?10x1x2 ? 3( x1 ? x2 )2 ?16x1 x2

2

2

? 3(1 ? 3a)2 ?16(2a 2 ?1) ? ?5a 2 ?18a ? 19 ? ?80 .∴ a1 ? 3 (舍)或 a2 ? ?
∴所求的实数 a ? ?

33 . 5

33 . 5
2

15. (本题满分 16 分) (1) 当 x = c 时, y = 0, 即a c
2

b ? c c? ? ca c 0 , (b ? ? 1 ) ?0

, 又 c>1, 所以 ac ? b ? 1 ? 0 .

设一元 二次方程 ax ? bx ? c ? 0 两个实 根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) . 由 x1 ? x2 ?

c ? 0 ,及 x = c>1,得 x1 ? 0, x2 ? 0 . a

又因为当 0<x<c 时, y ? 0 ,所以 x1 ? c ,
2 于是二次函数 y ? ax ? bx ? c 的对称 轴: x ? ?

b ? c 即 b ? ?2ac . 2a

所以 b ? ?ac ? 1 ? ?2ac ,即 ac ? 1 .
5

(2)因为 0<x=1<c 时, y ? 0 ,所以 a ? b ? c ? 0 . 由 ac ? 1 及 a ? 0, c ? 1得: 0 ? a ? 1 . 因为

a b c (a ? b ? c) x 2 ? (a ? 2b ? 3c) x ? 2c (a ? b ? c) x 2 ? (a ? 2ac ? 2 ? 3c) x ? 2c ? ? ? ? x ? 2 x ?1 x x( x ? 1)( x ? 2) x( x ? 1)( x ? 2)
而 a ? b ? c ? 0 , 0 ? a ? 1 , c ? 1 , a ? 2ac ? 2 ? 3c ? (1 ? a)(2c ? 1) ? (c ? 1) ? 0 ,

所以当 x>0 时,

a b c (a ? b ? c) x 2 ? (a ? 2ac ? 3c ? 2) x ? 2c ? ? ?0. ? 0 ,即 x ? 2 x ?1 x x( x ? 1)( x ? 2)
; 当 20 ? x ? 200时, 设v( x) ? ax ? b ,

16. (本题满分 18 分) (Ⅰ) 当 0 ? x? 2 0 ,时 () vx6 0?

1 ? a?? , ? 200 a ? b ? 0, ? 1 200 ? 3 解得 ? 由题意得 ? ∴ v( x) ? x ? . 3 3 ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 ?

(0 ? x ? 20), ?60, ? 故函数 v( x) 的表达式为 v( x) ? ? 1 . (200 ? x), (20 ? x ? 200) ? ?3 (0 ? x ? 20), ?60 x, ? (Ⅱ)由题意得 f ( x) ? ? 1 . x(200 ? x), (20 ? x ? 200) ? ?3
当 0 ? x ? 20 时,当 x ? 20 时, f ( x ) 的最大值 为 60×20=1200; 当 20 ? x ? 200 时, ∵?

1 1 10000 f ( x) ? x(200 ? x) ? ? ( x ? 100) 2 ? , 3 3 3

1 10000 ? 3333 . <0,∴当 x ? 100 时, f ( x ) 的最大值为 3 3

综上所述,当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.

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