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离散型随机变量解答题精选 新人教A版选修2-3


离散型随机变量解答题精选(选修 2--3)
1. 人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,试 求下列事件的概率: (1)第 3 次拨号才接通电话; (2)拨号不超过 3 次而接通电话. 解:设 Ai ? {第 i 次拨号接通电话}, i ? 1, 2,3 (1)第 3 次才接通电话可表示为 A1 A2 A3 于是所求概率为 P( A1

A2 A3 ) ? 9 ? 8 ? 1 ? 1 ; 10 9 8 10 (2)拨号不超过 3 次而接通电话可表示为: A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 于是所求概率为

P( A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? 9 ? 1 ? 9 ? 8 ? 1 ? 3 .
10 10 9 10 9 8 10

2. 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗, 假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互 独立的,并且概率都是 . (1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率; (2)求这位司机在途中遇到红灯数ξ 的期望和方差。 解: (1)因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯, 所以
1 1 1 4 P ? (1 ? )(1 ? ) ? ? . 3 3 3 27

1 3

(2)易知 ? ~ B(6, ).

1 3

∴ E? ? 6 ? 1 ? 2. 3

1 1 4 D? ? 6 ? ? (1 ? ) ? . 3 3 3

3. 奖器有 10 个小球,其中 8 个小球上标有数字 2 ,2 个小球上标有数字 5 ,现摇出 3 个小球, 规定所得奖金(元)为这 3 个小球上记号之和,求此次摇奖获得奖金数额的数学期望 解:设此次摇奖的奖金数额为 ? 元, 当摇出的 3 个小球均标有数字 2 时, ? ? 6 ; 当摇出的 3 个小球中有 2 个标有数字 2 ,1 个标有数字 5 时, ? ? 9 ; 当摇出的 3 个小球有 1 个标有数字 2 , 2 个标有数字 5 时, ? ? 12 。
3 所以, P (? ? 6) ? C8 ? 7 3 15 C10
1 C82 C 2 7 ? 3 15 C10

P (? ? 9) ?

P (? ? 12 ) ?

1 2 C8 C2 1 ? 3 15 C10

7 7 1 39 E? ? 6 ? ( ? 9 ? ? 12 ? ? ) 15 15 15 5

答:此次摇奖获得奖金数额的数字期望是

39 元 5

4.某学生语、数、英三科考试成绩,在一次考试中排名全班第一的概率:语文为 0.9 ,
用心 爱心 专心 -1-

数学为 0.8 ,英语为 0.85 ,问一次考试中 (Ⅰ)三科成绩均未获得第一名的概率是多少? (Ⅱ)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少 解:分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 A, B, C , 则 P( A) ? 0.9, P( B) ? 0.8, P(C ) ? 0.85 (Ⅰ) P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C )

? [1 ? P( A)][1 ? P( B)][1 ? P(C )] ? (1 ? 0.9)(1 ? 0.8)(1 ? 0.85) ? 0.003
答:三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003 (Ⅱ) ( P( A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ) )

? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P ( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C )

? [1 ? P( A)]P( B) P(C ) ? P( A)[1 ? P( B)]P(C ) ? P( A) P( B)[1 ? P(C )] ? (1 ? 0.9) ? 0.8 ? 0.85 ? 0.9 ? (1 ? 0.8) ? 0.85 ? 0.9 ? 0.8 ? (1 ? 0.85) ? 0.329
答:恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329 5.如图, A, B 两点之间有 6 条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为 1,1, 2, 2,3, 4 .现从 中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. (I)设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x ,当 x ? 6 时,则保证信息畅通. 求线路信息畅通的概率; (II)求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.

解: (I)?1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6,? P( x ? 6) ?
用心 爱心

1 1 1 ? C2 ? C2 1 ? 3 4 C6

专心

-2-

5 1 ? 20 4 3 ?1 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 8,? P( x ? 8) ? 20 2 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 9,? P( x ? 9) ? ? 20 10 1 1 3 1 3 ? P( x ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 20 10 4 ?1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 7,? P( x ? 7) ?
(II)?1 ? 1 ? 2 ? 4, P( x ? 4) ?

1 3 ,?1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 5, P( x ? 5) ? 10 20

∴线路通过信息量的数学期望

1 3 1 1 3 1 ? 5? ? 6? ? 7 ? ? 8? ? 9 ? ? 6.5 10 20 4 4 20 10 3 答: (I)线路信息畅通的概率是 . (II)线路通过信息量的数学期望是 6.5 4 1 3 3 6.三个元件 T1 , T2 , T3 正常工作的概率分别为 , , , 将它们中某两个元件并联后再和第三元 2 4 4 ? 4?
件串联接入电路. (Ⅰ)在如图的电路中,电路不发生故障的概率是多少? (Ⅱ)三个元件连成怎样的电路,才能使电路中不发生故障的概率最大?请画出此时电 路图,并说明理由.

解:记“三个元件 T1 , T2 , T3 正常工作”分别为事件 A1 , A2 , A3 ,则

P( A1 ) ?

1 3 3 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 2 4 4

(Ⅰ)不发生故障的事件为 ( A2 ? A3 ) A1 . ∴不发生故障的概率为

P1 ? P[( A2 ? A3 ) A1 ] ? P( A1 ? A3 ) ? P( A1 ) ? [1 ? P( A2 ) ? P( A3 )] ? P ( A1 ) ? [1 ? 1 1 1 15 ? ]? ? 4 4 2 32

(Ⅱ)如图,此时不发生故障的概率最大.证明如下:

用心

爱心

专心

-3-

图 1 中发生故障事件为 ( A1 ? A2 ) A3 ∴不发生故障概率为

P2 ? P[( A1 ? A2 ) A3 ] ? P( A1 ? A2 ) ? P( A3 ) ? [1 ? P( A1 ) ? P( A2 )]P( A3 ) ?
? P2 ? P 1
图 2 不发生故障事件为 ( A1 ? A3 ) A2 ,同理不发生故障概率为 P 3 ? P 2 ? P 1

21 32

7.要制造一种机器零件,甲机床废品率为 0.05 ,而乙机床废品率为 0.1 ,而它们 的生产是独立的,从它们制造的产品中,分别任意抽取一件,求: (1)其中至少有一件废品的概率; (2)其中至多有一件废品的概率. 解:设事件 A ? “从甲机床抽得的一件是废品” ; B ? “从乙机床抽得的一件是废品”. 则 P( A) ? 0.05, P( B) ? 0.1 (1)至少有一件废品的概率

P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? 0.95 ? 0.90 ? 0.145
(2)至多有一件废品的概率

P ? P( A ? B ? A ? B ? A ? B) ? 0.05 ? 0.9 ? 0.95 ? 0.1 ? 0.95 ? 0.9 ? 0.995
8.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为 0.6 ,被甲或乙解出的概 率为 0.92 , (1)求该题被乙独立解出的概率; (2)求解出该题的人数 ? 的数学期望和方差 解: (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为 A, B . 设甲独立解出此题的概率为 P 1 ,乙为 P 2. 则 P( A) ? P 1 ? 0.6, P( B) ? P 2

P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? (1 ? P 1 )(1 ? P 2) ? P 1?P 2 ?P 1P 2 ? 0.92 ? 0.6 ? P2 ? 0.6 P2 ? 0.92 则0.4 P2 ? 0.32即P2 ? 0.8 (2) P(? ? 0) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.08 P (? ? 1) ? P ( A) P ( B ) ? P ( A) P ( B ) ? 0.6 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.8 ? 0.44 P (? ? 2) ? P ( A) ? P ( B ) ? 0.6 ? 0.8 ? 0.48

?的概率分布为 :
?
P
0
0.08
用心 爱心 专心

1
0.44

2
0.48
-4-

E? ? 0 ? 0.08 ? 1 ? 0.44 ? 2 ? 0.48 ? 0.44 ? 0.96 ? 1.4 D? ? (0 ? 1.4) 2 ? 0.08 ? (1 ? 1.4) 2 ? 0.44 ? (2 ? 1.4) 2 ? 0.48 ? 0.1568 ? 0.0704 ? 0.1728 ? 0.4 或利用D? ? E (? 2 ) ? ( E? ) 2 ? 2.36 ? 1.96 ? 0.4
9.某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件 E 发生,该公司要赔偿 a 元.设在一 年内 E 发生的概率为 p ,为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十,公司应要求顾客交多少 保险金? 解:设保险公司要求顾客交 x 元保险金,若以 ? 表示公司每年的收益额,则 ? 是一个随 机变量,其分布列为:

?
P

x
1? p

x?a
p

因此,公司每年收益的期望值为 E? ? x(1 ? p) ? ( x ? a) p ? x ? ap . 为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十,只需 E? ? 0.1a ,即 x ? ap ? 0.1a , 故可得 x ? a( p ? 0.1) . 即顾客交的保险金为 a( p ? 0.1) 时,可使公司期望获益 0.1a . 10. 有一批食品出厂前要进行五项指标检验, 如果有两项指标不合格, 则这批食品不能出厂. 已 知每项指标抽检是相互独立的,且每项抽检出现不合格的概率都是 0.2 . (1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字); (2)求直至五项指标全部验完毕,才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字). 解:(1)这批食品不能出厂的概率是: P ? 1 ? 0.8 ? C5 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.263 .
5 1 4

(2)五项指标全部检验完毕,这批食品可以出厂的概率是:
1 3 P 1 ? C4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.8

五项指标全部检验完毕,这批食品不能出厂的概率是:
1 P2 ? C4 ? 0.2 ? 0.83 ? 0.2

由互斥事件有一个发生的概率加法可知,五项指标全部检验完毕,才能确定这批产 品是否出厂的概率是: P ? P 1?P 2 ? C4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.4096 .
1 3

11.高三(1)班、高三(2)班每班已选出 3 名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛. 比赛 规则是:①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛; ②代表队中每名队员至少参加一盘 比赛,不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为 . (Ⅰ)根据比赛规则,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容? (Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘的概率是多少? 解: (I)参加单打的队员有 A3 种方法.
2

1 2

用心

爱心

专心

-5-

参加双打的队员有 C 2 种方法. 所以,高三(1)班出场阵容共有 A3 ? C 2 ? 12 (种)
2 1

1

(II)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两 盘胜, 所以,连胜两盘的概率为

1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 8

12.袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求下列事件发生的概率. (1)摸出 2 个或 3 个白球 (2)至少摸出一个黑球. 解: (Ⅰ)设摸出的 4 个球中有 2 个白球、 3 个白球分别为事件 A, B ,则
1 C52 ? C 32 3 C52 ? C3 3 P( A) ? ? , P( B) ? ? 4 4 7 7 C8 C8

∵ A, B 为两个互斥事件

∴ P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ?

6 7

即摸出的 4 个球中有 2 个或 3 个白球的概率为 (Ⅱ)设摸出的 4 个球中全是白球为事件 C ,则

6 7

P(C ) ?

C54 1 ? 至少摸出一个黑球为事件 C 的对立事件 C84 14

其概率为 1 ?

1 13 ? 14 14

用心

爱心

专心

-6-


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