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2015年高中数学《直线、平面垂直的判定与性质》自测试题


2015 年高中数学《直线、平面垂直的判定与性质》自测试题 【梳理自测】 一、直线与平面垂直 1.(教材改编)下列条件中,能判定直线 l⊥平面 α 的是( )

A.l 与平面 α 内的两条直线垂直 B.l 与平面 α 内无数条直线垂直 C.l 与平面 α 内的某一条直线垂直 D.l 与平面 α 内任意一条直线垂直
2.直线 a⊥平面 α ,b∥α ,则 a 与 b 的关系为( )

A.a⊥b,且 a 与 b 相交 C.a⊥b D.a 与 b 不一定垂直

B.a⊥b,且 a 与 b 不相交

3.(课本精选题)过△ABC 所在平面 α 外一点 P,作 PO⊥α ,垂足为 O,连接 PA、PB、PC, ①若 PA=PB=PC,∠C=90°,则点 O 是 AB 边的______点. ②若 PA=PB=PC,则点 O 是△ABC 的________心. ③若 PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点 O 是△ABC 的________心. 答案:1.D 2.C 3.①中 ②外 ③垂

◆以上题目主要考查了以下内容: 定义:如果直线 l 与平面 α 的任一直线都垂直,则直线 l 与此平面α 垂直. (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内所有直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一直线的两平面平行. (3)斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角. 二、平面与平面垂直
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1.边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,则 AC 的长为(

)

A. 2a B. C.

2 a 2

3 a D.a 2

2.将正方形 ABCD 沿 AC 折成直二面角后,∠DAB=________. 答案:1.D 2.60°

◆以上题目主要考查了以下内容: (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.即:a?α ,a⊥β ?α ⊥β . (3)性质定理: 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 即: α ⊥β , a?α ,α ∩β =b,a⊥b?a⊥β . 【指点迷津】 1.一个范围 直线与平面所成的角的范围为[0°,90°]: 直线?面,直线∥面,其角为 0°; 直线⊥面,其角为 90°. 2.两点注意 ①线面垂直判定定理中,平面内的线必须“相交”. ②面面垂直性质中,必须“面内”、“垂直交线”. 3.六种转化关系 判定 线线垂直 性质 线面垂直 判定 性质 面面垂直问题的转化关系性质垂直

考向一

直线与平面垂直的判定与性质

例题 1 (2014·成都市高三质检)如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC-A1B1C1 中, AC=AA1=2AB=2,∠BAC=90°,点 D 是侧棱 CC1 延长线上一点,EF 是平面 ABD 与 平面 A1B1C1 的交线. (1)求证:EF⊥A1C;

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(2)当直线 BD 与平面 ABC 所成角的正弦值为

3 14 时,求三棱锥 D-EFC1 的体积. 14

【审题视点】 ①要证 EF⊥A1C,可证 AB⊥A1C,利用 AB⊥面 ACC1A1. ②由 sin∠ABC= 3 14 ,得 BC 及 CD,从而得 C1D 及 S△EFC1. 14

【典例精讲】 (1)依题意,有平面 ABC∥平面 A1B1C1, 又平面 ABC∩平面 ABD=AB,平面 A1B1C1∩平面 ABD=EF, ∴EF∥AB. ∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱,且∠BAC=90°, ∴AB⊥AA1,AB⊥AC. 而 AA1∩AC=A,∴AB⊥平面 ACC1A1. 又 A1C?平面 ACC1A1, ∴AB⊥A1C. ∴EF⊥A1C. (2)设直线 BD 与平面 ABC 所成的角为 θ , ∵直线 BD 与平面 ABC 所成角的正弦值为 ∴tan θ = 3 , 5 3 14 , 14

又 BC= AB2+AC2= 5, ∴CD=3,DC1=1,FC1= DC1 1 5 = = , tan∠DFC1 3 3 5

1 2 EF= ,EC1= . 3 3 1 2 1 1 又 S△EFC1= × × = , 2 3 3 9 1 1 1 ∴VD-EFC1= × ×1= . 3 9 27 【类题通法】 1.证明直线和平面垂直的常用方法 方法一 方法二 利用判定定理 利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α ?b⊥
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α ) 方法三 方法四 利用面面平行的性质(a⊥α ,α ∥β ?a⊥β ) 利用面面垂直的性质

2.当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任意一条直线,常用来证明线线垂直. 3.斜线与平面所成的角,首先作出面的垂线,才得出斜线在面内的射影,才可得出斜线与平面 所成的角,转化为直角三角形求解. 变式训练 1.(2014·湖南省五市十校联考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点. (1)证明:AD⊥平面 PAC; (2)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值. 证明:(1)因为∠ADC=45°,且 AD=AC=1, 所以∠DAC=90°,即 AD⊥AC, 又 PO⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD, 所以 PO⊥AD,而 AC∩PO=O, 所以 AD⊥平面 PAC. (2)取 DO 的中点 N,连接 MN,AN, 1 因为 M 为 PD 的中点,所以 MN∥PO,且 MN= PO=1, 2 由 PO⊥平面 ABCD,得 MN⊥平面 ABCD, 所以∠MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角. 1 在 Rt△DAO 中,AD=1,AO= , 2 所以 DO= 5 1 5 ,从而 AN= DO= . 2 2 4 MN 1 4 5 = = , AN 5 5 4 4 5 . 5

在 Rt△ANM 中,tan∠MAN=

即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为

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考向二

平面与平面垂直的判定与性质

例题 2 (2014·烟台四校达标检测)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,点 P 为 DD1 的中点. (1)求证:平面 PAC⊥平面 BDD1; (2)求证:PB1⊥平面 PAC. 【审题视点】 (1)利用 AC⊥面 BDD1; (2)利用计算关系 PB1⊥PC,PB1⊥PA. 【典例精讲】 (1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1, ∴底面 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD.又 DD1⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD, ∴AC⊥DD1. 又 BD∩DD1=D,BD?平面 BDD1,DD1?平面 BDD1,∴AC⊥平面 BDD1, ∵AC?平面 PAC,∴平面 PAC⊥平面 BDD1.
2 2 2 (2)连接 B1D1, B1C, ∵PC2=CD2+PD2=2, PB2 B1C2=BC2+BB2 ∴PC2+PB2 1=PD1+B1D1=3, 1=5, 1=B1C ,

∴△PB1C 是直角三角形,PB1⊥PC;同理可得 PB1⊥PA. 又 PA∩PC=P,PA?平面 PAC,PC?平面 PAC, ∴PB1⊥平面 PAC. 【类题通法】 面面垂直的关键是线面垂直 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”. 变式训练 2.(2014·浙江省名校联考)如图,AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,AB∥EF,矩形 ABCD 所 在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直.已知 AB=2,EF=1. (1)求证:平面 DAF⊥平面 CBF; (2)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小. 解析:(1)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,CB⊥AB,平面 ABCD∩平面 ABEF =AB, ∴CB⊥平面 ABEF. ∵AF?平面 ABEF,∴AF⊥CB, 又 AB 为圆 O 的直径,∴AF⊥BF,
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∴AF⊥平面 CBF. ∵AF?平面 ADF,∴平面 DAF⊥平面 CBF. (2)由(1)知 AF⊥平面 CBF, ∴FB 为 AB 在平面 CBF 内的射影, 因此,∠ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角. ∵AB∥EF,∴四边形 ABEF 为等腰梯形, 过点 F 作 FH⊥AB,交 AB 于 H. 已知 AB=2,EF=1,则 AH= AB-EF 1 = . 2 2

在 Rt△AFB 中,根据射影定理得 AF2=AH·AB, ∴AF=1,sin∠ABF= ∴∠ABF=30°. ∴直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30°. AF 1 = , AB 2

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考向三

空间垂直的探索问题 (2014·朝阳区第一学期末)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,平面

例题 3

SAD⊥平面 ABCD.四边形 ABCD 为正方形,且 P 为 AD 的中点. (1)求证:CD⊥平面 SAD. (2)若 SA=SD,M 为 BC 的中点,在棱 SC 上是否存在点 N,使得平面 DMN⊥ 平面 ABCD,并证明你的结论. 【审题视点】 (1)由面 SAD⊥面 ABCD 性质得结论. (2)试 SC 的中点,证明面 DMN⊥面 ABCD. 【典例精讲】 (1)因为四边形 ABCD 为正方形,所以 CD⊥AD. 又平面 SAD⊥平面 ABCD,且平面 SAD∩平面 ABCD=AD, 所以 CD⊥平面 SAD. (2)存在点 N 为 SC 的中点,使得平面 DMN⊥平面 ABCD. 连接 PC、DM 交于点 O,连接 PM、SP、NM、ND、NO, 因为 PD∥CM,且 PD=CM, 所以四边形 PMCD 为平行四边形,所以 PO=CO. 又因为 N 为 SC 的中点, 所以 NO∥SP.易知 SP⊥AD, 因为平面 SAD⊥平面 ABCD,平面 SAD∩平面 ABCD=AD,并且 SP⊥AD,所以 SP⊥平面 ABCD,所以 NO⊥平面 ABCD. 又因为 NO?平面 DMN,所以平面 DMN⊥平面 ABCD. 【类题通法】 探索性问题,可采用试探存在某个点,看其是否适合条件.也可以假设存在这个 结论,根据其性质推导出点的位置. 变式训练 3.(2014·山西大同调研)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上的动点,PA 垂直于⊙O 所在的 平面. (1)证明:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)设 PA= 3, AC=1, 在平面 PCB 中确定一点 D, 使 AD 成为三棱锥 A-PCB 的高, 并求其高. 解析:(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上的动点, ∴∠ACB=90°,即 BC⊥AC.
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∵PA 垂直于⊙O 所在的平面,∴PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. 又 BC?平面 PBC,∴平面 PAC⊥平面 PBC. (2)由(1)知,平面 PAC⊥平面 PBC,平面 PAC∩平面 PBC=PC,过 A 点作 PC 的垂线,垂足为 D, 则 AD⊥平面 PBC.故 D 在线段上. 在 Rt△PAC 中,∵PA= 3,AC=1,∴PC=2. 由 AD×PC=PA×AC, 得 AD= PA×AC 1× 3 3 = = , PC 2 2

3 1 ∴PD= ,DC= , 2 2 3 3 故 D 点为线段上的点,且 PD= ,三棱锥 A-PBC 的高为 . 2 2

空间平行与垂直的规范答题 典型例题 (2013·高考全国新课标卷)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中 点. (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 2,求三棱锥 C-A1DE 的体积. 【审题视点】 (1)运用直线与平面平行的判定定理进行求解;(2)求三棱锥

的体积,应先找出三棱锥的高及底面积并求出,然后运用体积公式求解. 【思维流程】 由中点想中位线,找平行线. 列举线面平行条件,得结论. 由垂直关系,确定 CD⊥面 ABB1A1,即三棱锥 C-A1DE 的高. 计算,求 S△ADE 和 CD. 计算体积(代入公式). 【解答过程】 (1)证明:连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连接 DF,则 BC1∥DF.3 分 因为 DF?平面 A1CD,BC1?平面 A1CD,所以 BC1∥平面 A1CD.6 分
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(2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1.8 分 由 AA1=AC=CB=2,AB=2 2得 ∠ACB=90°,CD= 2,A1D= 6,DE= 3,A1E=3, 故 A1D2+DE2=A1E2,即 DE⊥A1D.10 分 1 1 所以 V 三棱锥 C-A1DE= × × 6× 3× 2=1.12 分 3 2 【规范建议】 (1)证明 BC1∥面 A1CD 的条件有:①BC1∥DF,②DF?面 A1CD,③BC1?面 A1CD 缺一 不可,应写全面. (2)CD 是三棱锥 C-A1DE 的高,要有证明过程,不能任空想象. (3)为计算△A1DE 的面积,需要说明其特征,不能缺少“A1D2+DE2=A1E2,DE⊥A1D”的内容. 真题体验 1.(2013·高考广东卷)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确 的是( )

A.若 α ⊥β ,m?α ,n?β ,则 m⊥n B.若 α ∥β ,m?α ,n?β ,则 m∥n C.若 m⊥n,m?α ,n?β ,则 α ⊥β D.若 m⊥α ,m∥n,n∥β ,则 α ⊥β
解析:选 D.本题可以依据相应的判定定理或性质定理进行判断,也可以借助于 长方体模型,利用模型中的直线和平面进行判断. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 BCC1B1⊥平面 ABCD,BC1?平面 BCC1B1, BC?平面 ABCD,而 BC1 不垂直于 BC,故 A 错误. 平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD,B1D1?平面 A1B1C1D1,AC?平面 ABCD,但 B1D1 和 AC 不平行,故 B 错误. AB⊥A1D1,AB?平面 ABCD,A1D1?平面 A1B1C1D1,但平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD, 故 C 错误.故选 D. 2.(2013·高考北京卷)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为对角线 BD1 的 三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有( )

A.3 个 C.5 个 D.6 个

B.4 个

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解析:选 B.画出几何图形,利用空间线面关系定理定性分析. 如图,取底面 ABCD 的中心 O,连接 PA,PC,PO.∵AC⊥平面 DD1B,又 PO?平 面 DD1B,∴AC⊥PO.又 O 是 BD 的中点,∴PA=PC.同理,取 B1C 与 BC1 的交点 H,易 证 B1C⊥平面 D1C1B, ∴B1C⊥PH.又 H 是 B1C 的中点,∴PB1=PC,∴PA=PB1=PC.同理可证 PA1=PC1 =PD.又 P 是 BD1 的三等分点,∴PB≠PD1≠PB1≠PD,故点 P 到正方体的顶点的不同 距离有 4 个. 3.(2012·高考辽宁卷)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3的正方形.若 PA=2 6,则△OAB 的面积为________. 解析:将直四棱锥补成长方体如图:

球 O 的直径 2R= (2 3)2+(2 3)2+(2 6)2=4 3, ∴R=2 3. 1 S△OAB= ×2 3×3=3 3. 2 答案:3 3 4. (2013·高考辽宁卷)如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直圆 O 所在的平面, C 是圆 O 上的点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)设 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC. 证明: (1)由 AB 是圆 O 的直径, 得 AC⊥BC, 由 PA⊥平面 ABC, BC?平面 ABC, 得 PA⊥BC.又 PA∩AC =A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC,所以 BC⊥平面 PAC. (2)连接 OG 并延长交 AC 于点 M,连接 QM,QO,由 G 为△AOC 的重心,得 M 为 AC 中点.由 Q 为 PA 中点,得 QM∥PC,又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM?平面 QMO,MO?平面 QMO,BC∩PC=C,BC?平面
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PBC,PC?平面 PBC,所以平面 QMO∥平面 PBC.因为 QG?平面 QMO,所以 QG∥平面 PBC.

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