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三角形


戴佳 眠
近 年来
“ ”
,

有 关三 角


.

, 心
:

形 心 的考题 已频 频 出 现在 高考模拟题 和 高考 试卷 中 其 考查形 式有
,

1定 理

三 角 形 三 条 边 上 的 中线 相 交 于 一 点 这 点
,
.

到 顶 点 的 距 离 等于 到 对 边 中 点 的 距 离 的二 倍

:

三 角 形 三 条边 上 的 中线 的 交 点 叫 做 三 角 形 的 重 心
2 关 于 重心
.

.

三 角 形 有 关 心 的 向量 表示形式 ; 求 三 角形有









: 有如 下 性 质

(l ) 三 角形 的一 个顶 点 和 重 心 连 线 必过 对边 的 中点 ; 2 ) 三 角 形的 一 个顶 点 和 对 边 中点 的连 线必 过重 心 (
;

关 心 的轨迹或轨迹方
程 三角 形有 五 心 重心 外心
,
、 、 、
. .









,



(3 ) 重 心 到 一 边 中点 的 距 离 等 于 这 边 中线 长 的 三 分

垂 心 内 心 和 旁 心 三 角形 的 五 心 有 很 多 有
,

之一 ;
(4 ) 三 角 形 的 重 心 一 定 在 三 角 形 的 内部
;

趣 的 性 质 它在 平 面 几何 中 占在 相 当重 要 的 地 位 并 且

其与 向 量 有 关 的 问 题 也 丰 富 多 彩

.

(5 )

若 ` 为△A B C 的重心

,

D E F





分别 是 三 边 的

2 e ’. e 2 < 则 l<
,

<

V丁

.

点 评 : 本 题 是 以 直 线 与双 曲线 的 位 置 关 系 来 确 立
含 的 不 等 式 亦 可 由图 形 上 根 据 角度 的 大 小 关 系 确 立
,



-

/

/ /

含 e 的不 等 式 来 求解 例 8
--今
,

.

已 知梯 形 A B
、 、

D c

中 以州 = 2 ,c D , 点E满足
, , 、 ,

,



二 双曲线过 c D E三 点 且 以 A B 为焦点 当 冬 幼E C j




,

时 求 双 曲线 的取 值 范 围
, ,



·

: x 解 以 A B 为 轴 线 段A
,

B

的 中垂 线 为y 轴 建 立 直 角

.

,l s e e矛 s 砂 4

t 尹 、

九 一 e w 一一 人
、了 ,

. J ` 卫 . 口 人

、 几 . 一 一 山 ,

坐 标 系 如 图 3 由双 曲线 的 对 称性 知 C D 关 于 y 轴 对 称

2 ù
人 + 一




2

设 A `一 o ) C `
,



,

h ) E `X , 、 , 其 中 一
, ,



` B , h是
,

^


b
z
,

” 二



梯 形 的高


.

由① 得
. .

子牛






1

,

代 人② 得 草 ( 4
4




) 二 z+ 2 ^
, 1

花以 兹




_

,



,



( .
’ .

” 0 从 (专 r + C , )
e





),
,



1 诬 不 乏


3



山 2 , , 国 了 叱几 啼

万”

3

恨 2 一


丁欢

~

1 屯 万

3

一 受

( 人一 2 ) x 产2 人 ( + l)

李 解 得 丫不 、

,




V丽
,

了 户

丝 l 人
+ 一 二

故 双 曲线 离 心 率 的 取 值 范 围 为〔V 不
E在 双 曲线 上 并
,

设 双 曲线 方 程 为 考虑
。=

其其, …



们万1


.

O~

点评

:

本 题 依 据 已 知 变 量 的 范 围来 确 立 含 不 等



,

式从 而 获 解二
(作 者单 位 江西 省 南 城 二 中 )
2 引比 V

中点 则
,

(’ )若 “ 是 酬


C B

所在 平面 内一 点 满足
,




.

心`





,

告二
S


;

}耐 卜 }剑
的 垂心




}司 + z 司 喇司叫 f 训
= S
:

2

,

则 口是

。 c B
, 、

;

凡田 声 瓦 必声 S
3与






。 = S

~





`


~ 告

=

S创 册

2 ) 若 0 是平面 上 的一 定 点 A B C 是 平面 上 (
不“ ” ” 三个点 “ 点 · 满 足
,

重心



有 关 的向 量 问 题



) ( l

已 知 口 是 △ A B c 内一 点 若
,

耐 丽 虎

0 则
,

盖 砌阔

O 是 △AB C 的重心:



豁 筒

.

)

,



(。

,

,

) 0 a +

则动点 · 的轨迹 一定 过

2 ) 已知△A B c 则 (
,

庙屁

+

通 过 △ A B c 的重 心

.

△ A B C 的垂 心

.


.

外心
定理
:

内心
:

1
,

三 角 形 的 三 条 边 的垂 直 平 分 线相 交 于 一
.

1 定理

三 角 形 三 个 内 角 的 平 分线 相 交 于 一 点 这
.

,

点 这点 到 三 角 形 三 个顶 点 的 距 离 相 等

点 到 三 边 的距 离 相 等
,

三 角 形 三 条 边 的垂 直 平 分 线 的 交 点

叫做 三 角 形
J ,

三 角形 三 个 内 角 的 平 分 线 的 交 点 叫做 三 角形 的 内
心 内 心 就 是 三 角 形 内 切 圆 的 圆心
2 与
,
.

的外 心 外 心 就是 三 角 形外 接 圆的 圆 心
2 关于
.

.

.



: 外心 有如 下 性 质 三 角 形 的 任 何 两 边 的 垂
.





内心 有 关的 向 童 问题



:

直平 分 线 的交 点就 是 三 角 形 的外 心
3 与
.

( ` ) 已 知 △”



: 外 心 有关的 向 1 问 题
,



C B ,



·

剑 }
.

{ 藤同 茄 赫酬
,

·

·

= 0 则
,

口 是 △ A B C 的 内心
, 、

l ) 已 知 口 是 △ A B c 所 在 平 面 上 的 一 点 若 丽 才= (

口 为 平 面 内一 点 A B C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点



面尹




,

,

则 口 是 △ A B c 的外 心

.

动 点 尸 满足
,


`

(2 )

已 知 O 是平 面上 的一定点 A
.

B C



是平 面 上
动点
P

不 共 线的 三 个点 动 点 , 满 足
_
,






~ ~

,



~

·

-

·

-


,

碘鱼鱼 2

+ ^ (



的 轨 迹一 定 通 过 △ A B C 的 内心

垂 } 庙}

~

裔箫
.

·

, `
,

·

`0

,



, 则

,

o s c B


定理

旁心
:

的 外心

.


.



(。

,

一)

则 动 点 · 的 轨 迹 过 △ 注c B

三 角 形 的 每 一 个 内 角平 分 线 所 在 直 线 和 其

余 两 个 角 的外 角 平 分 线 相 交 于 一 点 ( 这 样 的 交 点有 三
个 ) 这 些 点分 别 和 三 边 等 距 离
. .

三 角 形 的 每 一 个 内角 平分 线 所 在 直 线 和 其 余 两 个

垂心
:

1 定 理 三 角形 三 条 边 上 的 高线 相 交 于 一 点

角 的 外 角 平 分 线 的 交 点 叫 做 三 角 形 的旁 心
.

,

每个三 角

形 都 有 三个 旁 心

.

三 角 形 三 条 边 上 的 高线 的交 点 叫 做 三 角 形 的 垂 心
2 关于 垂心
.





有如 下 性 质

:

关 于三 角 形 的 五心 还 有 许 多 有 趣 的
:
,
、 、



重 要 的性 质

.

(l ) 形 的 垂心

三 角 形 的任 何 两 边 的 高 线 的 交 点就 是 这 三 角
;

如 在 任何 三 角 形 中 外 心 重 心 垂 心 三 点 在 一 条 直 线

,

且 垂 心 到 重 心 的 距 离 等 于 外 心 到 重 心 距 离 的二 倍
、 、

.

2 ) 三 角 形 的一 顶 点 和 垂 心 的连 线 必 与对 边 垂 直 ; ( ( 3 ) 若 H 是 八 A B C 的垂 心 则 必 有 A H
A C C万 I A . B
,

通 过 外 心 重 心 垂 心 的 这 条直 线 就 是 著 名 的 欧 拉
,



,

上 BC

旧万



( 瑞 士 数学 家 ) 线



.

也 就 是 说 A B C H 四 点 中 任 何 两点 的
,

,







若 以任意三 角形 的 各边向外作等边三 角形
.

,

则它


连 线 必 垂 直于 其 余 两 点 的连 线

;

们的 外心 也构成一 个等边三 角形 这即是被称为 的 拿
破 仑 ( 法 国军 事 家 ) 定 理
以上的定理和性质

.

(4 ) 三 角形 (非 直 角三 角 形 ) 的 三 条 高 线 的 垂 足 连

成 的 三 角 形 叫 做 原 三 角 形 的垂 足 三 角 形 △ A B C 的高
.

,

有 兴趣 的 读 者 请 自 己 完 成 证

线 正 好是 其 垂 足 三 角形 的 内角 或外 角 平 分 线
3 与 垂心
.

.

明二
(作者单位



’ ,

有 关 的 向1 问 题

:

江 西 省 教 育厅 教 研 室 )

1 . , 饱4


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