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数学归纳法及应用举例


数学归纳法及其应用举例

教 材 分 析

学 生 学 情

教 学 目 标

方 法 手 段

教 学 程 序

板 书 设 计

数学归纳法及其应用举例
教学内容
数学归纳法及其应用举例是人民教育 出版社全日制普通

高级中学教科书数 学第三册(选修II)第二章第一节的内 容,根据教学大纲,本节共3课时,这 是第1课时, 主要内容是数学归纳法理 解与简单应用. 数学归纳法学习是数列知识的深入与 扩展,也是一种重要的数学方法,可以 教 板 使学生学会一种研究数学的科学方 学 书 法.

教 材 分 析

地位作用 教 学 学 生 目 学 标 情 重点难点

方 法 程 设 手 重点:归纳法意义的认识和数学归纳法 序 计 段
产生过程的分析. 难点:数学归纳法中递推思想的理解.

数学归纳法及其应用举例
知识准备
学生对等差(比)数列、数列求和、 二项式定理等知识有较全面的把握和 较深入的理解,同时也具备一定的从 特殊到一般的归纳能力,但对归纳的 概念是模糊的. 学生经过中学五年的数学学习,已具 有一定的推理能力,数学思维也逐步 教 板 向理性层次跃进,并逐步形成了辨证 思维体系.但学生自主探究问题的能 学 书 力普遍还不够理想.

教 材 分 析

能力储备 教 学 学 生 目 学 标 情 学生情况

方 法 程 设 手 我所在的学校是省属重点中学,所教 序 计 段
的班级是平行班,学生基础还不错.

数学归纳法及其应用举例
知识与技能
了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实 质.掌握两个步骤;会证明简单的与自然 数有关的命题.培养学生观察, 分析, 论 证的能力, 发展抽象思维能力和创新能 力.培养学生大胆猜想,小心求证的辨证 思维素质以及发现问题,提出问题的意识 和数学交流的能力.
努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极 思考、大胆质疑氛围,提高学生学习的兴 趣和课堂效率.让学生经历知识的构建过 程, 体会类比的数学思想. 让学生领悟数学思想和辩证唯物 主义观点;体会研究数学问题的 一种方法, 激发学生的学习热情, 使学生初步形成做数学的意识和 科学精神.

教 材 分 析

过程与方法 教 学 方 学 生 法 目 学 手 标 情 段 情感态度价值观

教 学 程 序

板 书 设 计

数学归纳法及其应用举例
教学方法
类比启发探究式教学方法进行教学

教 材 分 析

学法指导 教 学 学 生 目 学 标 情 教学手段

在教学过程中,我不仅要传授学生课 本知识,还要培养学生主动观察、主 动思考、亲自动手、自我发现等学习 教 板 能力,增强学生的综合素质,从而达 到较为理想的教学终极目标.书 学

方 法 程 设 手 借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素 序 计 段
材,真正辅助课堂教学.

数学归纳法及其应用举例
第一阶段:输入阶段
创设问题情境,启动学生思维; 回顾数学旧知,追溯归纳意识; 借助数学史料, 促使学生思辨.

教 材 分 析

第二阶段:新旧知识相互作用阶段 搜索生活实例,激发学习兴趣; 教 教 学 板 方 类比数学问题, 激起思维浪花; 学 学 生 书 法 引导学生概括, 形成科学方法. 教学设计三条线: 目 程 学 手 :操作阶段 1.知识线; 设 第三阶段 标 序 2.思想方法线; 情 计 段
蕴含猜想证明, 基础反馈练习, 师生共同小结, 布置课后作业, 培养研究意识; 巩固方法应用; 完成概括提升; 巩固延伸铺垫.

3.逻辑思维线.

第一阶段:输入阶段 创设问题情境,启动学生思维
(1) 不完全归纳法引例
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话:财主的儿子学写 字.这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……” 的结论,用的就是“归纳法”,不过,这个归纳推出的结论显然 是错误的.

(2) 完全归纳法对比引例
有一位师傅想考考他的两个徒弟,看谁更聪明一些.他给每 人筐花生去剥皮,看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着,看谁 先给出答案.大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了;二徒弟只拣 了几个饱满的,几个干瘪的,几个熟好的,几个没熟的,几个三 仁的,几个一仁、两仁的,总共不过一把花生.显然,二徒弟比 大徒弟聪明.

第一阶段:输入阶段 回顾数学旧知,追溯归纳意识
(1) 不完全归纳法实例
给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式.

(2) 完全归纳法实例
证明圆周角定理分圆心在圆周角内 部、外部及一边上三种情况.

第一阶段:输入阶段 借助数学史料, 促使学生思辨
问题1 已知 a n = (n 2 ? 5n ? 5) 2(n∈N*), (1)分别求 a1 , a2 , a3 , a4 . (2)由此你能得到一个什么结论? 这个结论正确吗? 问题2 费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家,他曾认为, 2n 当n∈N时, 2 一定都是质数,这是他对n=0,1,2,3,4作 ?1 了验证后得到的.后来,18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler) 5 却证明了 =422 ? 1 297=6 700 417×641,从而否定了费马 294 967 的推测.没想到当n=5这一结论便不成立. 问题3 f (n) ? n 2 ? n ? 41 ,当n∈N时,是否都为质数? 验证: f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)
=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)= 131,f(10)=151,… , f(39)=1 601. 但是 f(40)=1 681=

412,是合数.

第二阶段:新旧知识相互作用阶段 搜索生活实例,激发学习兴趣

多米诺成功的关键有两点: (1) 第一张牌被推倒; (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下. 于是, 我们可以下结论: 多米诺骨牌会全部倒下. 搜索:再举几则生活事例:推倒自行车, 早操排队对齐等.

第二阶段:新旧知识相互作用阶段 类比数学问题, 激起思维浪花
类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式.

(1)当n=1时等式成立; (2) 假设当n=k时等式成立, 即ak=a1+(k-1)d , 则 ak+1=ak+d=a1+[(k+1)-1]d, 即 n=k+1时等式也 成立. 于是, 我们可以下结论:等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 对任何n∈N*都成立.

第二阶段:新旧知识相互作用阶段 引导学生概括, 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下: (1) 证明当n取第一个值n = n0 时结论正确; (2) 假设当n=k (k∈N*, k≥n0 ) 时结论正确, 证明当n=k+1时结论也正确. 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开 始的所有正整数n都正确. 这种证明方法叫做数学归纳法.

第三阶段:操作阶段 蕴含猜想证明, 培养研究意识
例题 在数列{ a n }中,

a1=1, a n?1

an ? 1 ? an

(n∈N * ),

先计算 a 2 , 3 , 4 的值,再推测通项a n 的公式, a a 最后证明你的结论.

第三阶段:操作阶段 基础反馈练习, 巩固方法应用
(1)(第63页例1)用数学归纳法证明: 1+3+5+…+(2n-1)=n2 .
(2)(第64页练习3)首项是a1 , 公比是 q 的 等比数列的通项公式是 an=a1qn-1.

第三阶段:操作阶段 师生共同小结, 完成概括提升
(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法;

(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,它可以分为完全 归纳法和不完全归纳法两种,完全归纳法只局限于有限个元素, 而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性,数学归纳法属于 完全归纳法; (3) 数学归纳法作为一种证明方法,它的基本思想是递推(递归) 思想,它的使用要点可概括为:两个步骤一结论,递推基础不可 少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉;
(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有:递推思想、类比思想、 分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想.

第三阶段:操作阶段 布置课后作业, 巩固延伸铺垫
(1) 课本第64页练习第1, 2题;第67页习题2.1第2题. (2) (辨析与思考) 用数学归纳法证明 1+2+22+23+…+2n-1 = 2n-1 (n∈ N*)时, 其中第二步采用下面的证法: 设n=k时等式成立, 即1+2+22+23+…+2k-1=2k-1, 则 1 ? 2k ?1 k ?1 当n=k+1时, 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2k ?1 ? 2k ? ? 2 ?1 , 1? 2 即n=k+1时等式也成立.

数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
问题1 问题2 例题(猜想,证明过程的板书)

教 材 分 析

问题3

教 学 数学归纳法定义 学 生 证明步骤:(1) 目 学 (2) 标 情

教 板 方 (练习请两位同学上黑板板演) 学 书 法 程 设 手 序 计 段

练习1

练习2


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