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独立重复试验与二项分布1


2.2.3 独立重复试验与二项分布

复习引入:
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独 立事件的意义, ⑴ P( A ? B) ? P( A) ? P( B)(当 A与B 互斥时) ; P ( AB ) ⑵ P ( B | A) ? P ( A) ⑶ P( AB) ? P ( A) P ( B) (当 A与B 相互独立时) 那么求概率还有什么模型呢?

观察下面的试验分析有什么共同特点
?

? ?

1、重复抛质地均匀的硬币10次观察是否出现 正面向上 2、重复抛一颗骰子10次观察是否出现1点 3、某人罚球一次,命中的概率是0.8,他在练习 罚球时,投篮4次恰好全都投中

特点: 1).每次试验是在同样的条件下重复进行的; 2).各次试验中的事件是相互独立的; 3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生; 4).每次试验某事件发生的概率是相同的.

n次独立重复试验
在相同条件下重复做n次试验,各次试验的结果 不会受其他试验的影响,即有

P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 )P( A2 )?P( An )
其中Ai(i=1,2,…n)是第i次试验的结果. 称这样的试验为n 次独立重复试验

如何判断某试验是不是n次独立重复试验呢?

判断下列试验是不是独立重复试验:
? × 1、依次投掷四枚质地不同的硬币,3

次正面向上 √ ? 2、某人射击,击中目标的概率是稳定 的,他连续射击了10次,其中6次击中; ? × 3、口袋装有5个白球,3个红球,2个黑 球,从中依次抽取5个球,恰好抽出4个 白球;

探究:
某人每次罚球命中的概率为p,罚不中 的概率是q . (1)在连续3次罚球中恰好命中1次 的概率是多少? (2)那么恰好命中0次、2次、3次的 概率是多少?

n次独立重复试验的概率公式及结构特点
如果在1次试验中,事件A出现的概率为p, 则在n 次试验中,A恰好出现 k 次的概率为:

事件A发生的概率
事件 A 发生的概率

P(k ) ? C ? p ? (1 ? p)
k n k

n?k

(其中k = 0,1,2,·,n ) · · 实验总次数 事件 A 发生的次数

二项分布
在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数是X, 且在每次试验中事件A发生的概率是p,那么事件A 恰好发生的次数记为X,则有
k P ( X ? k ) ? C n p k (1 ? p)n? k , k ? 0,1, 2,..., n

于是得到随机变量X的概率分布如下:(q=1-p)
X
p

0

1



k
k Cn pk qn?k




n
n Cn pn q0

0 1 Cn p0qn Cn p1q n?1 …

此时我们称随机变量X服从二项分布,记作
X ~ B( n, p) 其中p为成功概率.

例题分析:
例2:某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 求这名射手在10次射击中, (1)恰有8次击中目标的概率; (2)至少有8次击中目标的概率. (结果保留两个有效数字)
?

每次试验的成功率为 p(0 ? p ? 1) ,重复进行 10 次试验,其 中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率为(C) 3 3 (A) C10 p3 (1 ? p)7 (B) C10 p3 (1 ? p)3 (C) p3 (1 ? p)7 (D) p7 (1 ? p)3

例题分析:
例2:设一射手平均每射击10次中靶4次,

求在五次射击中 ①击中一次, ②第二次击中, ③击中两次, ④第二、三两次击中, ⑤至少击中一次的概率.


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