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Boszlfu高一数学典型例题分析:三角函数的图象和性质


七夕,古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚,世态炎凉却已看透矣。情也成空, 且作“挥手袖底风”罢。是夜,窗外风雨如晦,吾独坐陋室,听一曲《尘缘》,合 成诗韵一首,觉放诸古今,亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙 酉年七月初七。 -----啸之记。

三角函数的图象和性质· 三角函数的图象和性质·典型例题

解:在单位圆中,作出锐角α在

正弦线 MP,如图 2-9 所示

在△MPO 中,MP+OM>OP=1 即 MP+OM>1 ∴sinα+cosα>1

于 P1,P2 两点,过 P1,P2 分别作 P1M1⊥x 轴,P2M2⊥x 轴,垂足分

k∈Z}

【说明】 学会利用单位圆求解三角函数的一些问题,借助单位圆求解不等 式的一般方法是:①用边界值定出角的终边位置;②根据不等式定出角的范围; ③在[0,2π]中找出角的代表;④求交集,找单位圆中重叠的部分;⑤写出角的 范围的表达式,注意加周期. 【例 3】 求下列函数的定义域:

解:(1)为使函数有意义,需满足 2sin2x+cosx-1≥0

由单位圆,如图 2-12 所示

k∈Z} 【说明】 求函数的定义域通常是解不等式组,利用“数形结合”,借助于 数轴画线求交集的方法进行.在求解三角函数,特别是综合性较强的三角函数的 定义域,我们同样可以利用“数形结合”,在单位圆中画三角函数线,求表示各 三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.

(4)为使函数有意义,需满足:

取 k=0 和-1 时,得交集为-4<x≤-π或 0≤x≤π ∴函数的定义域为(-4,-π]∪[0,π]

【说明】 求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质,如在转 化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性, 在进行三角函数的变 形时,要注意三角函数的每一步变形都保持恒等,即不能改变原函数的自变量的 取值范围. 【例 4】 求下列函数的值域:

∴此函数的值域为{y|0≤y<1}

∵1+sinx+cosx≠0

∴t≠-1

【说明】 求三角函数的值域,除正确运用必要的变换外,还要注意函数的 概念的指导作用,注意利用正、余弦函数的有界性. 【例 5】 判断下列函数的奇偶性:

【分析】 先确定函数的定义域,然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数 的奇偶性.

∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)

(2)函数的定义域为 R,且 f(-x)=sin[cos(-x))=sin(cosx)=f(x) ∴函数 f(x)=sin(cosx)是偶函数. (3)因 1+sinx≠0,∴sinx≠-1,函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠2k

既不是奇函数,也不是偶函数. 【例 6】 求下列函数的最小正周期:

【分析】 欲求三角函数的周期,一般是把三角函数 f(x)化成易求周期的 函数 y=Asin(ωx+?)+b 或 y=Acos(ωx+?)+b 的等形式.函数 y=Asin(ω

“多个化一个,高次化一次”,将所给函数化成单角单函数.

(2)y=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x

=|cosx|+|sinx|=f(x)

正周期.

(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立.特别当 x=0 时,有 |sinT|+|cosT|=sinT

【例 8】 求下列各函数的最大值、最小值,并且求使函数取得最大值、最 小值的 x 的集合.

∴使 y 取得最大值的 x 的集合为{x|x=(2kπ+1)π,k∈Z}

∴使 y 取得最小值的 x 的集合为{x|x=2kπ,k∈Z}

当 cosx=1,即 x=2kπ(k∈Z)时,y 取得最大值 3.

【说明】

求三角函数的最值的类型与方法:

1.形如 y=asinx+b 或 y=acosx+b,可根据 sinx,cosx 的有界性来求最值; 2. 形如 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bcosx+c 看成是关于 sinx 或 cosx 的 二次函数,变为 y=a(sinx+m)2+k 或 y=a(cosx+m)2+k,但要注意它与二次函数求 最值的区别,此时|sinx|≤1,|cosx|≤1

【例 9】

求下列函数的单调区间:

【分析】 复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得 出的.

(2)函数 y=sin2x-2sinx+2,是由 y=u2-2u+2 及 u=sinx 及复合而成,∴|u|≤ 1

【例 10】 当 a≥0,求函数 f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值, 及相应的 x 的取值. 【分析】 本题对 f(x)解析式的变换关键在于认识解析式中两项间的内在 联系,从而断定 f(x)解析式中的平方关系,另外本题含字母系数,要分清常数 和变量,还要有对字母 a 作分类讨论的准备. 解:f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2

由于 a 是常数,故这里只要求 y=(sinx+cosx+a)2 的最大值、最小值.合

物线的图象如图 2-14 所示两种可能.

【说明】 象本例这种解析式中含字母系数的函数研究其性质,常常要运用 分类讨论的思想,其中为什么要分类,怎么分类和讨论是两个基本问题. 【例 11】 函数 f(x)=Asin(ωx+?)的图象如图 2-15,试依图指出

(1)f(x)的最小正周期;

(2)使 f(x)=0 的 x 的取值集合; (3)使 f(x)<0 的 x 的取值集合; (4)f(x)的单调递增区间和递减区间; (5)求使 f(x)取最小值的 x 的集合; (6)图象的对称轴方程; (7)图象的对称中心. 【分析】 这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题,本身就是数形结 合思想的体现, 它根据 f(x)=Asin(ωx+?)的图象与函数 y=sinx 的图象的关系得 出.

注:得出函数 f(x)的最小正周期之后,研究 f(x)的其他性质,总是先在包 含锐角在内的一个周期中研究,再延伸到整个定义域中.

注:实际上 f(x)图象的对称轴方程为 x=x0,而其中 x0 使 f(x0)=1 或 f(x0)=-1

注:f(x)的图象的对称中心为(x0,0),其中 x0 使 f(x0)=0 【说明】 这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题,其中有 两点要注意反思:①周期性在研究中的化简作用,②三角函数的“多对一”性. 【例 12】 求如图 2-16 所示的函数解析式.(ω>0,θ∈[0,2π])

【分析】 由图象确定函数的解析式,就要观察图象的特性,形状位置和所 给的条件.通过判断、分析和计算确定 A,ω、θ得到函数的解析式.

【例 13】

设 y=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0,|?|<π)最高点 D 的

标为(6,0),(1)求 A、ω、? 的值;(2)求出该函数的频率,初相和单调区 间.

y 单调递增故递增区间为[16k-6,16k+2],k∈Z

y 单调递减故递减区间为[16k+2,16k+10],k∈Z

A.sinθ<cosθ<ctgθ B.cosθ<sinθ<ctgθ C.sinθ<ctgθ<cosθ

D.cosθ<ctgθ<sinθ 解一(直接法):

故选 A. 解二(图解法): 作出三角函数线,如图 2-17

MP=sinθ,OM=cosθ,BS=ctgθ 通过观察和度量得 MP<OM<BS 从而有 sinθ<cosθ<ctgθ ∴应选 A

∴cosθ>sinθ 从而可剔除 B、D. 再由 sinθ<ctgθ,故可剔除 C

故选 A 解四(特殊值法):

B、C、D,应选 A. 【说明】 此例题用多种方法求解选项,指出 3 种选择题的技巧.

∴应选 D

x 轴交点中在原点右边最接近原点的交点,而在原点左边与 x 轴交点中最

的图象. ∴选 D 【说明】 y=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0)x∈R 的图象可由 y=sinx 的图象经 下列各种顺序变换得到的.

(1)先平移,后伸缩: ①把 y=sinx 的图象向左(?>0)或向右(?<0)沿 x 轴方向平移|?|个单位; (相位变换)

(周期变换) ③把所有各点纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍,横坐标不 变(振幅变换) (2)先伸缩,后平移 ①把 y=sinx 图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原

(相位变换) ③把所有各点纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍横坐标不变 (振幅变换)

再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的 4 倍,则所得的图象的 解析式是 [ ]

∴选 A. 【例 17】 方程 sin2x=sinx 在区间(0,2π)内解的个数是

[ A.1 【分析】 B.2 本题有两类解法 C.3

] D.4

(1)求出方程在(0,2π)内的所有解,再数其解的个数.而决定选项,对于 选择题,此法一般不用. (2)在同一坐标系中作出函数 y=sin2x 和 y=sinx 的图象,如图 2-18 所示.

它们在(0,2π)内交点个数,即为所求方程解的个数,从而应选 C.

它体现了数、形的结合. 【例 18】 设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数,且 f(1)=2,则 f(5)=____ 解:∵f(x)是奇函数,且 f(1)=2,∴f(-1)=-2

又∵f(x)是周期为 3 的函数. ∴f(-1+3)=f(-1)=-2 f(2+3)=f(2)=-2

∴f(3+x)=f(x)

即 f(2)=-2

即 f(5)=-2

【例 19】 有一块扇形铁板,半径为 R,圆心角为 60°,从这个扇形中切 割下一个内接矩形,即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上,求这个内接矩形 的最大面积. 【分析】 本题入手要解决好两个问题.

(1)内接矩形的放置有两种情况,如图 2-19 所示,应该分别予以处理. (2)求最大值问题这里应构造函数,怎么选择便于以此表达矩形面积的自变 量.

解:如图 2-19(1)设∠FOA=θ,则 FG=Rsinθ

又设矩形 EFGH 的面积为 S,那么

又∵0°<θ<60°,故当 cos(2θ-60°)=1,即θ=30′时,

如图 2-19 (2),设∠FOA=θ,则 EF=2Rsin(30°-θ),在△OFG 中,∠OGF =150°

设矩形的面积为 S. 那么 S=EFFG=4R2sinθsin(30°-θ) =2R2[cos(2θ-30°)-cos30°]

又∵0<θ<30°,故当 cos(2θ-30°)=1


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