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01第一章:集合与函数概念知识点总结


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第一章:集合与函数概念 第一章:集合与函数概念
本章知识结构图:
元素的特征 概念 集合的分类 集合的表示法 元素与集合 集合 关系 集合与集合 子集 交集 运算 并集

集 合 与 函 数 概 念
概念 定义域 对应关系 值域 列表法 函数 表示 方法 图象法 解析法 单调性 奇偶性 补集

基本 性质

映射

映射概念

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本章知识点 本章知识点梳理: 知识
1、集合


空集:不含有任何元素的集合,记作Φ 有限集:含有有限个元素的集合; 无限集:含有无穷多个元素的集合 ② (2)集合元素的特性 有:确定性、互异性、无序性。 ⑥ (3)常用数集的专用符号 :自然数集:N,正整数集:N+或 N*,整数集:Z,有理数集:Q, 实数集:R。 ④ (4)集合的表示方法 : ①列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法; ②描述法:把集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。 2、子集、交集、并集、补集 (1)子集⑧ 定义:设集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 叫做集 (1)集合的分类


合 B 的子集记作 A ? B (或 B ? A ) ;如果 A 是 B 的子集,并且 B 中至少有一个元素不属于 A,那 么集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作 A

? ≠

B (或 B ? A ) ≠
示意图
A(B)

不含任何元素的集合称为空集,记作:Φ 名称 记号 意义 性质 (1)A ? A A? B (或 A 中的任一元素 (2) ? ? A 子集 (3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C 都属于 B B ? A) (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A = B 真子 集○
10

B

A



A?B


A ? B ,且 B 中 (1) ? ? A (A 为非空子集) ≠

(或 B ? A)


集合 相等⑨

A=B

至少有一元素不 (2)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C ≠ ≠ ≠ 属于 A A 中的任一元素 都属于 B,B 中 (1)A ? B 的任一元素都属 (2)B ? A 于A

B

A

A(B)

14 (2)交集○ 定义:由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的

集合,叫做 A、B 的交集,记作 AI B (如右图) 即 ,
A I B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}
13 (3)并集○

A

AI B

B

定义: 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合, 叫做 A、 的并集, B 记作 A U B, 即 A U B = {a ∈ A 或 a ∈ B}

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(4)补集 15 定义:设 I 是一个集合,A 是 I 的一个子集,由 I 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 I 中子集 A 的补集(或余集) ,记作 C I A ,即



I

A

C I A = {x | x ∈ I ,且 x ? A} 如右图所示。
名称 记号

CI A
示意图

意义

性质 (1 ) A I A = A

交 集

AI B

{x | x ∈ A, 且 x ∈ B}

(2 ) A I ? = ?
A B

(3 ) A I B ? A AI B ? B (1 ) A U A = A 并 集 AU B
{x | x ∈ A, 或 x ∈ B}

(2 ) A U ? = A (3 ) A U B ? A ; A U B ? B
(1)(CuA) I (CuB)= Cu (A U B)

A

B

补 集

CU A

{x | x ∈U , 且x ? A}

(2)(CuA) U (CuB)= Cu(A I B) (3)A U (CuA)=U (4)A I (CuA)= Φ
A

3、函数及其表示

(1)函数的概念

○ 16

①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集 合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对 应法则 f )叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A → B . ②函数的三要素○:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. 19 (2)区间的概念○及表示法
17

①设 a , b 是两个实数,且 a < b ,满足 a ≤ x ≤ b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [ a, b] ;满足

a < x < b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ≤ x < b ,或 a < x ≤ b 的实数 x 的集合
叫做半开半闭区间,分别记做 [ a, b) , ( a, b] ;满足 x ≥ a, x > a, x ≤ b, x < b 的实数 x 的集合分别 记做 [ a, +∞ ), ( a, +∞), ( ?∞, b], ( ?∞, b) . 注意: 注意:对于集合 {x | a < x < b} 与区间 ( a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须 a < b . (3)函数的表示方法○ 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.
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解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两 个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. ○ (4)映射的概念
23

①设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中 都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做 集合 A 到 B 的映射,记作 f : A → B . ②给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ∈ A, b ∈ B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元 素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象. 4、函数的基本性质 函数的基本性质 ○ (1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 24 定义○ 图象 性 质 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任 意两个自变量的值 x1、 y y=f(X) f(x2) x2,当 x1< x2 时,都有 . . . ..
25

判定方法

(1)利用定义 (2)利用已知函 数的单调性 (3)利用函数图 象(在某个区间 f(x1)<f(x2) , 那 么 就 f(x1) .. ... .. .. . . 图 说 f(x)在这个区间上 o 象上升为增) x x x 是增函数. 增函数 ... (4)利用复合函 数 函数的 单调性 (1)利用定义 如果对于属于定义域 (2)利用已知函 I 内某个区间上的任 y y=f(X) 数的单调性 意两个自变量的值 x1、 (3)利用函数图 f(x ) x2,当 x1< x2 时,都有 . . . .. 象(在某个区间 f(x ) f(x1)>f(x2) , 那 么 就 图 .. ... .. .. . . o x x x 象下降为减) 说 f(x)在这个区间上 (4)利用复合函 是减函数. 减函数 ... 数 ②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减 函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.
1 2
1 2 1 2

③对于复合函数 y = f [ g ( x )] ,令 u = g ( x ) ,若 y = f (u ) 为增, u = g ( x ) 为增,则 y = f [ g ( x )] 为 增;若 y = f (u ) 为减, u = g ( x ) 为减,则 y = f [ g ( x )] 为增;若 y = f (u ) 为增, u = g ( x ) 为减,则
y = f [ g ( x )] 为减;若 y = f (u ) 为减, u = g ( x ) 为增,则 y = f [ g ( x )] 为减.
26 (2)函数的最大(小)值定义○

①一般地,设函数 y = f ( x ) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ∈ I ,都 有 f ( x) ≤ M ; (2)存在 x0 ∈ I ,使得 f ( x0 ) = M .那么,我们称 M 是函数 f ( x ) 的最大值,记
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作 f max ( x) = M . ②一般地,设函数 y = f ( x ) 的定义域为 I ,如果存在实数 m 满足: (1)对于任意的 x ∈ I ,都有 (2)存在 x0 ∈ I ,使得 f ( x0 ) = m .那么,我们称 m 是函数 f ( x ) 的最小值,记作 f ( x) ≥ m ; f max ( x) = m . (3)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 定义 性 质 如果对于函数 f(x)定 义域内任意一个 x, 都 有 .- x)= - f(x), 那 f( ...... . . .. 么函数 f(x)叫做奇函 奇函 .. 数. . 函数的 27 奇偶性○ 如果对于函数 f(x)定 义域内任意一个 x, 都 有 .- x)=f(x), 那 么 f( ... .. . ... 函 数 f(x) 叫 做 偶 函 .. 数. . ②若函数 f ( x ) 为奇函数,且在 x = 0 处有定义,则 f (0) = 0 . ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶 函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数. 函数的图象的作法 5、函数的图象的作法 (1)利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; ④画出函数的图象. (2)利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各 种基本初等函数的图象. ①平移变换
h > 0,左移h个单位 k > 0,上移k 个单位 y = f ( x ) ??????? y = f ( x + h) y = f ( x ) ??????? y = f ( x ) + k → → h<0,右移|h|个单位 k <0,下移|k |个单位

图象

28 判定方法○

(1)利用定义 (要先判断定义 域是否关于原点 对称) (2)利用图象 (图象关于原点 对称) (1)利用定义 (要先判断定义 域是否关于原点 对称) (2)利用图象 (图象关于 y 轴 对称)

②伸缩变换
0<ω <1,伸 y = f ( x) ???? y = f (ω x) → ω >1,缩 0< A<1,缩 y = f ( x) ???? y = Af ( x) → A>1,伸

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③对称变换
x轴 y = f ( x) ??? y = ? f ( x) → 原点 y = f ( x) ??? y = ? f (? x) →
y轴 y = f ( x) ??? y = f (? x) →

直线y = x y = f ( x) ???? y = f ?1 ( x) →

去掉y轴左边图象 y = f ( x) ??????????????? y = f (| x |) → 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y = f ( x) ????????? y =| f ( x) | → 将x轴下方图象翻折上去

知识点 1:集合与元素 集合中元素的三个特性 知识点 2:集合中元素的三个特性 知识点 3:元素与集合的两种关系 知识点 4:集合的三种表示法 知识点 5:有限集和无限集 知识点 6:特定集合的表示 知识点 7:Venn 图与数轴法表示集合 知识点 8:子集 知识点 9:集合相等 10: 知识点 10:真子集 知识点 11:空集 11: 12: 知识点 12:集合的子集的数目 13: 知识点 13:并集 14: 知识点 14:交集 15: 知识点 15:补集 知识点 16:函数的概念 17: 知识点 17:函数的两个要素 18: 知识点 18:函数的值域及其求法 19: 知识点 19:区间的概念 20: 知识点 20:函数的三种表达方法 知识点 21:函数图象 21: 22、 知识点 22、分段函数 23: 知识点 23:映射的定义 24: 知识点 24:增函数与减函数的定义 25: 知识点 25:单调性与单调区间 26:函数的最大( 知识点 26:函数的最大(小)值 27: 知识点 27:奇函数与偶函数的概念 28: 知识点 28:利用定义判断函数奇偶性的一般步骤 29: 知识点 29:奇偶函数的图象的性质 30: 知识点 30:奇偶函数的单调性

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部分知识点详细解释: 部分知识点详细解释: 知识点详细解释
知识点 1:集合与元素 1、元素:一般地,我们把研究对象统称为元素(element) ,元素常用小写字母 a, b, c L 表示。 2、集合:把一些元素组成的总体叫做集合(set) (简称集) ,集合通常用大写字母 A, B, C L 表 示。 注意: (1)注意组成集合的对象的广泛性,凡是看得见的、摸得着的、想得到的任何事物都可以作 为组成集合的对象。 (2)集合是一个原始的、不加定义的概念,如同点、直线、平面等也都是不加定义的原始概 念一亲,要形象地理解,而不必记忆。 (3)集合是一个整体,已暗含“所有”“全部”“全体”的含义。 、 、 (4)构成集合的对象必须是“确定”的,其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的 特征,这个特征不是模棱两可的。 (5)要辩证理解集合和元素这两个概念: ①集合和元素是两个不同的概念,符号∈ 和 ? 是表示元素和集合之间关系的,不能用来 表示集合之间的关系。元素与集合之间是个体与整体的关系,不存在大小与相等关系。 ②元素与集合是相对而言的,集合本身又可以作为高一级集合的元素。如 {{a}, {b}, {c}}, 这个集合是以集合 {a}、 {b}、 {c} 为元素的。并且可以 {a} ∈ {{a}, {b}, {c}}。 知识点 2:集合中元素的三个特性 1、确定性 确定性是判定元素能否构成集合的唯一标准, 对于一些标准不确定的特征是不能够成集合的, 如:大、小、胖、瘦等。 2、互异性 对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的。如果元素中含参数的集合运算题,最 终结果必须检验元素的互异性。 3、无序性 集合与其中元素的排列次序无关,如集合 {a, b, c}和 {b, a, c}是同一集合。在利用两集合相等 进行有关计算时,常常根据集合中元素的无序性进行分类讨论,最终仍要对元素的互异性检验。 知识点 3:元素与集合的两种关系 元素与集合有属于(∈ )和不属于(? )两种关系,如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集 合 A, 记作 a ∈ A , 读作 a 属于集合 A; 如果 a 不是集合 A 的元素, 就说 a 不属于集合 A, 记作 a ? A , 读作 a 不属于集合 A。 属于(∈ )和不属于(? )表示元素与集合之间的关系,不能用来表示集合与集合这间的关 系,这一点千万要记住。属于(∈ )和不属于(? )开口总向着集合。

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知识点 4:集合的三种表示法 集合的表示方法常见的有:自然语言法、列举法、描述法 1、自然语言法 用文字叙述的形式描述集合的方法,使用这种方法要注意叙述清楚即可。如:由所有正方形 构成的集合,就是自然语言表示的,不能叙述成“正方形” 2、列举法 将集合中的元素一一列举出来,写在花括号内表示集合的方法。 用列举法表示集合要注意: (1)元素间用分隔号“,; ” (2)元素无重复; (3)元素无顺序; (4)元素不能遗漏; (5)列举法可表示有限集,也可以表示无限集。如果元素个数比较少用列举法比较简单;如 果集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表 示,如正整数集可表示为 { ,2,3,4,L}。 1 3、描述法 把集合中的元素的共同特征描述出来,写在花括号内表示集合的方法。它的一般形式是

{x ∈ I | P( x )},其中“ x ”是集合中元素的代表形式; I 是 x 的范围; P(x ) 是集合中元素 x 的共
同特征,竖线不可省略。 描述法的语言形式有三种:文字语言、符号语言、图形语言。 用描述法表示集合时注意: (1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表达的元素符号) (2)说明该集合中元素的性质; (3)不能出现未被说明的字母; (4)多层描述时,应当准确使用“且”“或” 、 (5)所有描述的内容都要写在集合符号内; (6)用于描述条件的语句力求简明、准确。 知识点 5:有限集和无限集 我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,把含有无限个元素的集合叫做无限集,把不含有 元素的集合叫做空集,用 Φ 表示

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知识点 6:特定集合的表示 下面是几种常见数集的字母表示: (1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集) ,记作 N (2)非负整数集内排除 0 的集合,也称正整数集,记作 N+或 N* (3)全体整数的集合通常简称整数集,记作 Z (4)全体有理数的集合通常简称为有理数集,记作 Q (5)全体实数的集合通常简称为实数集,记作 R

知识点 7:Venn 图与数轴法表示集合 1、用不面上封闭曲线的内部表示集合,这种图称为 Venn 图。如特殊四边形的关系如图。 2、用数轴来表示集合的方法叫数轴法,如 {x | x ≤ 1或x ≥ 2}的数轴表示如图。 用 Venn 图表示集合的好处在于,易引起清晰的视觉形象,能直观地表示集合的元素的构成,以及 集合之间的关系,缺点在于集合中元素的公共特征性质不明显。

0

1

2

知识点 8:子集 对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 含于 集合 B,或集合 B 包含集合 A,记作 A ? B (或 B ? A ). 这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集。 注意: (1) 是 B 的子集的含义是: A 集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素, 即由 x ∈ A 可以推出 x ∈ B (2)当 A 不是 B 的子集时,我们记作“ A ? B ”,读作“A 不含于 B” (3)任何一个集合是它本身的子集。 (4)我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为 Φ ,并规定:空集是任何集合的子集,即对于 任一集合 A,有 Φ ? A (5)在子集的定义中,不能理解为子集 A 是 B 中“部分元素”组成的集合。

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知识点 9:集合相等 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时集合 B 的任何一个元素也是集合 A 的元 素,我们就说集合 A 等于集合 B,记作 A=B,读作“A 等于 B” 注意:证明集合 A 等于集合 B 的方法:若 A ? B 且 B ? A ,则 A = B 10: 知识点 10:真子集 如果若 A ? B 且 A ≠ B ,就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ? B . ≠ 注意: (1)空集是任何非空集合的真子集。 (2)对于集合 A,B,C,如果 A ? B , B ? C ,那么 A ? C ≠ ≠ ≠ (3)元素与集合的关系是属于与不属于的关系,用符号“∈ ” ? ”表示;集合与集合之间的关 “ “≠ 系是包含、真包含、相等的关系,用符号“ ? ” ? ”和“=”表示。 11: 知识点 11:空集 1、我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为Ф,并规定:空集是任何集合的子集。 2、空集是一个特殊的集合,它的特殊有两点:①它不含有任何一个元素;②它既是任何一个集合 的子集,也是任何一个非空集合的真子集。 3、空集的表示法有多种,如 {x | 2 < x < 1}, x | x + x + 1 = 0 都是空集。
2

{

}

12: 知识点 12:集合的子集的数目 如果知道集合的子集的数目的话,写子集的时候,比较方便,也不容易遗漏。 (1) n 个元素的集合有 2 个子集; (2) n 个元素的集合有 ( 2 ? 1) 个真子集;
n
n

(3) n 个元素的集合有 ( 2 ? 1) 个非空子集;
n

(4) n 个元素的集合有 ( 2 ? 2) 个非空真子集;
n

13: 知识点 13:并集 1、并集的概念 一般地,由所有属于 A 或属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的并集。 注意: (1)记作: A ∪ B ,读作:A 并 B

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(2)符号语言表达式为: A ∪ B = {x | x ∈ A, 或x ∈ B} (3)Venn 图表示如下图的阴影部分:

若 A 与 B 有公共元素

一个为另一个子集

若 A 与 B 无公共元素

2、求 A U B 必须掌握两个步骤: “ A U B ”是所有属于 A 或属于 B 的元素并在一起构成的集合,为此:①把集合 A、B 的元 素合在一起;②使 A、B 的公共元素在并集中只出现一次即可。 3、并集的运算需掌握的五条性质: ①并集满足交换律,符号语言表达式为 A U B = B U A ②任何集合同自身的并集,等于集合自身,符号语言表达式为 A U A = A ③任何集合同空集的并集等于集合自身,符号语言表达式为 A U Φ = Φ U A = A ④任何集合同它的子集的并集,等于集合自身,符号语言表达式为若 A ? B ,则 A U B = B ⑤ 任 何 集 合 都 是 该 集 合 与 另 一 集 合 的 并 集 的 子 集 , 符 号 语 言 表 达 式 为 A ? ( A U B) ;

B ? ( A U B) .
14: 知识点 14:交集 1、交集的概念 一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的交集。 关于交集的概念必须记住以下三点: ①记作: A I B 读作: 交 B” “A ②符号语言表达式为 A I B = {x | x ∈ A, 且x ∈ B} ③Venn 图表示如下图的阴影部分:

若 A 与 B 有公共元素

一个为另一个子集

若 A 与 B 无公共元素
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2、求 A I B 必须掌握三个步骤 由于“ A I B ”是由集合 A、B 的所有公共元素组成的集合,故求“ A I B ”的关键是找出 它们的公共元素。①首先要弄清楚集合 A、B 代表元素是什么;②把所求交集的集合用集合符号表 示出来,写成“ A I B ”的形式;③把化简后的集合 A、B 的公共元素写出来即可。 若 A、B 的代表元素是方程的根,则应先解方程,求出方程的根后再求两集合的交集;若集合的代 表元素是有序实数时,则 A I B 是指两个方程组成的方程组的解集。 若 A、B 是无限数集,可以借助于数轴的直观性,利用数轴来求解,但要注意,利用数轴表示不等 式时,含有端点的值用实点表示,不含有端点的值用虚点表示。 3、交集的运算必须掌握的五条性质 ①交集满足交换律,符号语言表达式为 A I B = B I A ②任何集合同自身的交集,等于集合自身,符号语言表达式为 A I A = A ③任何集合同空集的交集等于空集,符号语言表达式为 A I Φ = Φ I A = Φ ④任何集合同它的子集的交集,等于它的子集,符号语言表达式为若 A ? B ,则 A I B = A ⑤两个集合的交集是其中任一集合的子集,符号语言表达式为 A I B ? A ; A I B ? B 。 15: 知识点 15:补集 1、补集的概念 全集:在研究集合与集合之间的关系时,有时这些集合都是某一个给定的集合的子集,这个给定 的集合可以看成一个全集,可用符号 U 表示,也就是说,全集含有我们所要研究的各个集合的全 部元素。 补集:如果集合 A 是全集 U 的一个子集,由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合,叫做集合 A 相 对于全集 U 的补集,简称为集合 A 在 U 中的补集。 关于补集要记住以下三点: ①记作 CU A ,读作“A 在 U 中的补集” ; ②符号语言表达式为: CU A = {x | x ∈ U , 且x ? A} ③Venn 图表示如右图的阴影部分: 2、如何求子集 A 在全集 U 中的补集 从全集 U 中去掉所有集合 A 的元素,剩下的元素组成的集合即为 A 在 U 中的补集。若是无限 集,在实数范围内求补集,我们则可以充分利用数轴的直观性来求解。

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3、补集的运算必须掌握的四条性质 ① CU U = Φ , CU Φ = U ②一个集合同它的补集的并集是全集,符号语言表达式为 A U CU A = U ③一个集合同它的补集的交集是空集,符号语言表达式为 A I CU A = Φ ④一个集合的补集的补集是它本身,符号语言表达式为 CU (CU A) = A 知识点 16:函数的概念 1、函数的传统定义 设在某变化过程中有两个变量 x 和 y ,如果给定了一个 x 值,相应地确定唯一的一个 y 值, 那么就称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量, y 是因变量。 x 的取值范围叫做这个函数的定义域, 相应的 y 的取值范围叫做函数的值域。 2、函数的近代定义 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在 集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应, 那么就称 f : A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数, 记作 y = f ( x ), x ∈ A 。其中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相应 的 y 值叫做函数值,函数值的集合 { f ( x ) | x ∈ A}叫做函数的值域。 知识点 17:函数的两个要素 1、定义域:自变量 x 的取值范围。有时函数的定义域可以省略,如果未加特殊说明,函数的定义 域就是指能使这个式子各部分都有意义的所有实数 x 的集合。 在实际问题中, 还必须考虑自变量 x 所代表的具体量的允许值范围。 特别提醒如下几点: (1)求函数的定义域主要是通过解不等式(组)或方程(组)来求解,定义域一般应该用集合或 区间表示。 (2)若函数 f ( x ) 是整式型函数,则定义域为全体实数。 (3)若函数 f ( x ) 是分式型函数,则定义域为使分母不为零的全体实数。 (4)若函数 f ( x ) 是偶次根式,则定义域为使被开方式非负的实数。 则定义域为使得幂底数不等于零的全体实数 (注 (5) 若函数 f ( x ) 是 0 次幂或负指数次幂型函数, 意 0 的 0 次幂与负指数次幂无意义是关键 0)
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(6)由实际问题确定的函数,其定义域由自变量的实际意义确定。 (7)指数函数、对数函数、幂函数、正切函数 (8)复合函数的定义域总题: ①若已知 f ( x ) 的定义域为 [ a, b] ,则复合函数 f [g ( x )] 的定义域由不等式 a ≤ g ( x ) ≤ b 解出。 ②若已知 f [g ( x )] 的定义域为 [ a, b] ,则函数 f ( x ) 的定义域即为当 x ∈ [a, b ]时函数 g ( x ) 的值 域。 2、对应法则 对应法则:对应法则 f 是函数核心,它是对自变量 x 实施“对应操作”的“程序”或者“方 法” 是连接 x 与 y 的纽带,按照这一“程序” 从定义域 A 中任取一个 x ,可得到值 , ,

{ y | y = f ( x ), x ∈ A} 中唯一的 y 与之对应。
对应法则主要包括图象、列表、解析式三种形式,尤其以解析式为主。 3、同一函数的判定 由函数近代定义知,由于函数的值域被函数的定义域和对应关系完全确定,这种确定一个函 数就只需两个要素:定义域和对应关系。因此,定义域和对应关系为“ y 是 x 的函数”的两个基 本条件,缺一不可。只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一函 数,这就是说: ①定义域不同,两个函数不同;②对应关系不同,两个函数也不同;③函数与自变及因变量 的表示符号无关。 知识点 18:函数的值域及其求法 1、弄法 f (a ) 与 f ( x ) 之间的区别 “ y = f ( x ) ”就“ y 是 x 的函数”的数学表达式,至于一个具体函数的表达式是什么,那就 需要根据具体情况而定。

f (a ) 与 f ( x ) 既有区别又有联系, f (a ) 表示当自变量 x = a 时函数 f ( x ) 的值,是一个常量,
而 f ( x ) 是一个函数式,一般情况下,它是一个变量, f (a ) 是 f ( x ) 的一个特殊值。 2、函数值域(函数取值集合)的求法 (1) 观察法: 通过对函数解析式的简单变形, 利用熟知的基本函数的值域, 或利用函数图象的 “最 高点”和“最低点” ,观察求得函数的值域,这就是观察法。 (2)配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利

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用求二次函数的值域的方法求函数的值域,这就是配方法。 (3)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而 利用基本函数的取值范围求函数的值域。 (4)判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于求一些 “分式”函数、无理函数等的值域。使用此方法要特别注意自变量的取值范围。 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累,除了 上述常用的方法外,还有最值法、数形结合法等,应注意选择最优的解法。总之,求的值域关键 是要重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约。 知识点 19:区间的概念 设 a, b 是两个实数,且 a < b ,我们规定: (1)满足不等式 a ≤ x ≤ b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为 [ a, b] (2)满足不等式 a < x < b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为 ( a, b) (3)满足不等式 a < x ≤ b ,和 a ≤ x < b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为 ( a, b] ,

[ a, b)
(4)实数集 R 可以用区间表示为 ( ?∞,+∞) , ∞ ”读作“无穷大”“ ? ∞ ”读作“负无穷大” “ , , “ + ∞ ”读作“正无穷大” 。我们可以把满足 x ≥ a , x > a , x ≤ b , x < b 的实数 x 的集合分别 表示为 [ a,+∞) , ( a,+∞) , ( ?∞, b] , ( ?∞, b) 这些区间的几何表示如下表,在图中,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心圈表示不 包括在区间内的端点。 知识点 20:函数的三种表达方法 20: 表示函数的方法,常用的有列表法、解析法和图象法三咱。 1、列表示 通过列出自变量与对应函数值的表来表达函数关系的方法叫做列表法。 如:银行中的利息表、列车时刻表等 列表法的优点:不需要计算就可以直接看出自变量的值相对应的函数数,这种表格常应用到 实际生产和生活中 列表示的缺点:对于自变量的有些取值,从表格中得不到相应的函数值,另外因变量随自变 量变化规律不明显。 2、图象法
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用图象表示两个变量之间的关系的方法。 如:股市走向图、气象台描绘温度随时间变化的曲线等 图象法的优点:可以从整体上直观而形象地表示出函数值随自变量的变化情况。 图象法的缺点:不能够清楚地求出某一自变量的相应的函数值。 3、解析法 如果在函数 y = f ( x ), x ∈ A 中, f (x ) 是用代数式(或解析式)来表达的,则这个表达函数 的方法叫做公式法(也称为解析法) 。 如:我们所研究的函数主要是能够用解析式表示的函数。 解析法的优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个 自变量所对应的函数值;三是便于利用解析式研究函数的性质。 解析法的的缺点:并不是所有的函数都能用解析法表示,而且不能直观地观察到函数的变化 规律。 21: 知识点 21:函数图象 1、判断一个图象所表示的是不是 y 是 x 的函数的依据 要检验一个图形是否是表示的 y 是 x 的函数的图象,其法则为:任作垂直于 x 轴的直线,若 此直线与图象有唯一交点,则图象即为在此定义域内的函数图象。 2、函数图象的作法 函数图象的作图方法大致分两种: ①、描点作图法。步骤分三步:列表、描点、边线。必要时,先对其函数定义域及性质进行 研究,在定义域中化简解析式,再分三步完成图象。 ②、图象变换法。利用基本初等函数图象作出所求图象。这种方法是一种常见的重要的方法。 知识点 22、分段函数 在分段函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数 通常叫做分段函数。 特别提示: (1)分段函数是一个函数,不能写成几个函数。求解分段函数解析式时,可分段求解,但 最后结果一定要“合并” 。 (2)分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集。 (3)分段函数的值域是各段函数在相应自变量取值区间上的函数取值集合的并集。 (4)分段函数在相应自变量取值区间上的最值中的最大者,是整个分段函数的最大值,最小

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者是整个分段函数的最小值。 (5)分段函数求值 f ( x0 ) ,分清 x0 的取值区间是关键,然后选择相应的解析式代入求值。反 之由 f ( x0 ) 的值求 x0 ,可通过图象得出 x0 所在的区间,再选择相应的解析式列方程求解。 (6) 求作分段函数的图象时, 定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点 (关键点) 处的断开或连接,断开时要分清断开点处哪个虚哪个实。 知识点 23:映射的定义 理性认识映射概念:设 A、B 是两个非空集合,如果按照某一个确定的对应关系 f ,使对于 A 中任一元素 x ,在 B 中有唯一确定的元素 y 与之对应,则称 f 是从集合 A 到集合 B 的一个映射, 这时,称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象,记作 f ( x ) 。于是 y = f ( x ) , x 称为 y 的原象。映射 f 也 其中 A 叫做映射 f 的定义域, 则所有的象 f ( x ) 构成的集合叫做映射 f 的值域, 可记作 f : A → B 。 通常记作 f ( A) 特别地,如果映射 f 是从集合 A 到集合 B 的映射,并且对于集合 B 中的任一元素,在集合 A 中都有且只有一个原象,这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系,并称这个映射叫 做从集合 A 到集合 B 的一一映射。 注意: (1)对于映射 f : A → B ,必须掌握如下八条性质。 ①确定性:即指映射三要素,集合 A、B 与对应关系 f 是确定的。②非空性:即指集合 A 与 B 都必须是非空的。③方向性:即指 f : A → B 与 f : B → A 是不同的。④任意性:即指从集合 A 中取元的任意性,必须对 A 中的任意一个元素 x ,按照对应关系 f ,在集合 B 中都有唯一确定的 元素与之对应。唯⑤一性:即指集合 B 中与 A 中元素 x 对应的唯一性。⑥多样性:即指映射的对 应方式包括多对一与一对一。⑦可数性:若集合 A 中含有 m 个元素,集合 B 中含有 n 个元素,则 从 A 到 B 的映射 f : A → B 共有 n 个。⑧允许 B 中的元素在集合 A 中没有原象,即集合 B 中可以
m

有多余的元素,因此有 f ( A) ? B (2) 一一映射 f : A → B 的根本特征: 集合 A 与集合 B 中元素个数相等且对应关系 f 保证一对一。 (3)映射与函数的关系 ①函数是特殊的映射,特殊性在于函数是从非空数集到非空数集的映射。②映射是在函数的

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近代定义(集合与对应的观点定义的)基础上引用、拓展的。③函数一定是映射,而映射不一定 是函数。 (4)象与原象的求解方法 ①对于给出原象求象的问题,只需将原象代入对应关系中,即可求出象;②对于给出象求原 象的总题,可设出原象代入对应关系,得到关于原象与象的方程或方程组,解方程(组)即可。 知识点 24:增函数与减函数的定义 1、定性描述 对于给定区间上的函数 f (x ) ,如果函数值随自变量的增大而增大,则称它在这个区间上是 增函数,反之函数值随自变量的增大而减小,则称它在这个区间上是减函数。 2、定义描述 一般地,设函数 f (x ) 的定义域为 I 如果对于定 义域 I 内某 个区间 D 上 的任意 两个自变量 的值 x1 , x 2 ,当 x1 < x 2 时,都有

f ( x1 ) < f ( x2 ) ,那么就说函数 f (x) 在区间 D 上是增函数。
如果对于定 义域 I 内某 个区间 D 上 的任意 两个自变量 的值 x1 , x 2 ,当 x1 < x 2 时,都有

f ( x1 ) > f ( x2 ) ,那么就说函数 f (x) 在区间 D 上是减函数。
知识点 25:单调性与单调区间 1、概念:如果函数 y = f (x ) 在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y = f (x ) 在这一区间 具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y = f (x ) 的单调区间。 2、关于单调性与单调区间,注意以下三点: (1)函数的单调性是函数在某个区间上的性质。 ①这个区间可以是整个定义域 ②这个区间也可以是定义域的一部分,也就是定义域的一个真子集。 ③有的函数无单调性 (2)单调性的证明与判断 函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法。严格按照单调性定义进行证明。主要步骤有 如下五步: ①取值:指定义中的 x1 , x 2 的选取,选取时必须注意三点: a 、取值的任意性; b 、有大小;

c 、同属一个单调区间。
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②作差:指求 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 。 (有些证明也可以做商) ③变形:将②中的差式 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 进一步化简变形,变到利于判断 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 的正负 为止。常用变形技巧有:通分、因式分解、有理化、配方等。一般变形结果是将和差变形为积商, 这样才便于定号。 ④定号:根据变形结果,确定 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 的符号。 ⑤判断:根据 x1 与 x 2 的大小关系及 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小关系,结合单调性定义得出结论。 (3)单调区间的求解 高一学习的单调区间的求解主要是观察法。到高三会学习到更简单的方法——导数法。 书写单调区间时,注意区间端点的写法。 函数的最大( 知识点 26:函数的最大(小)值 函数最大值的定义:一般地,设函数 y = f ( x ) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足:①对 于任意的 x ∈ I ,都有 f ( x ) ≤ M ;②存在 x0 ∈ I ,使得 f ( x0 ) = M 。那么我们称 M 是函数

y = f (x) 的最大值。
注意: (1) M 首先是一个函数值,它是值域的一个元素。 (2)对于定义域内全部元素,都有 f ( x ) ≤ M 成立, “任意”是说对每一个值都必须满足不 等式。 (3)这两条缺一不可。 (4)若将①中的“ f ( x ) ≤ M ”改为“ f ( x ) ≥ M ” ,则需将最大值定义中的“最大值”改为 “最小值” ,这就是函数 f (x ) 的最小值的定义。 知识点 27:奇函数与偶函数的概念 一般地,如果对于函数 f (x ) 的定义域内任意一个 x ,都有 f ( ? x) = f ( x ) ,那么函数 f (x ) 就 叫做偶函数;如果都有 f ( ? x) = ? f ( x ) ,那么函数 f (x ) 就叫做奇函数。 注意: (1)定义是判断或讨论函数的奇偶性的依据,函数 f (x ) 是奇函数还是偶函数的一个必不可少的 条件是:定义哉在数轴上所表示的区间关于原点对称,换言之,所给函数的定义域若不关于原点 对称,则这个函数必不具有奇偶性。
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(2)有时也根据下面的式子判断函数 f (x ) 的奇偶性: 对于定义域内任意一个 x ,若有 f ( x ) ? f ( ? x ) = 0 成立,则 f (x ) 是偶函数; 对于定义域内任意一个 x ,若有 f ( x ) + f ( ? x ) = 0 成立,则 f (x ) 是奇函数; 知识点 28:利用定义判断函数奇偶性的一般步骤 利用定义判断函数 f (x ) 的奇偶性主要分五步进行: (1)求函数 f (x ) 的定义域; (2)判断函数 f (x ) 的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既不是奇函数, 也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步; (3)结合函数 f (x ) 的定义域,化简函数 f (x ) 的解析式; (4)求 f ( ? x) ; (5)根据 f ( ? x) 和 f (x ) 之间的关系,判断函数 f (x ) 的奇偶性: ①若 f ( ? x) = ? f ( x ) ,则函数 f (x ) 是奇函数; ②若 f ( ? x) = f ( x ) ,则函数 f (x ) 是偶函数; ③若 f ( ? x) ≠ ± f ( x) ,则函数 f (x ) 既不是奇函数,也不是偶函数; ④若 f ( ? x) = ? f ( x ) 且 f ( ? x) = f ( x ) ,则函数 f (x ) 既是奇函数,又是偶函数。 (既是奇函 数又是偶函数的只有 f ( x ) = 0 ) 注意:说既奇又偶的函数只有 f ( x ) = 0 ,并不是说只有这一种形式,如 f ( x ) = 注意 定义域为 {0} , f ( x ) = 0 知识点 29:奇偶函数的图象的性质 (1)奇函数的图象的性质 如果一个函数是奇函数, 则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形; 反之, 如果一个函数的图象是以从标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数。 由于奇函数的图象关于原点成中心对称,当自变量 x 可以取 0 时,必有 f (0) = 0 ,即图象必过原 点。 (2)偶函数的图象的性质

x + ?x,

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如果一个函数是偶函数,则它的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数 的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数 由函数图象的对称性判断函数奇偶性也是常用的一种奇偶性判断方法,称为图象法。 30: 知识点 30:奇偶函数的单调性 一般地,若函数 f (x ) 为奇函数,则 f (x ) 在关于原点对称的两个区间 [ a, b] 和 [ ?b,?a ] 上具 有相同的单调性; 若函数 f (x ) 为偶函数, f (x ) 在关于原点对称的两个区间 [ a, b] 和 [ ?b,?a ] 上 则 具有相反的单调性,上述可简记为“奇同偶异” 。

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第一章: 第一章:集合与函数概念练习题
第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填 在题后的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1.函数 y = 1 ? x + x 的定义域为(
A. {x | x ≤ 1} C. {x | x ≥ 1或x ≤ 0}


B. {x | x ≥ 0} D. {x | 0 ≤ x ≤ 1}

2.若集合
A.





,满足
B.


C.

,则


D.

之间的关系为(



3.设 A = {x | 2008 ≤ x ≤ 2009} , A. a > 2008
B. a > 2009

,若
C. a ≥ 2008

,则实数 的取值范围是(
D. a ≥ 2009



4.定义集合运算: A ? B = { z z = xy, x ∈ A, y ∈ B} .设 A = {1, 2} , B = {0, 2} ,则集合 A ? B 的所有元素之

和为 A.0



B.2
, , 是

C .3

) D.6 )

5.如图所示, A. C.

的三个子集,则阴影部分所表示的集合是(

B. D.


6.设 f(x)=|x-1|-|x|,则 f[f( )]=( A. ?

1 2

B.0

C.

1 2

D.1

7.若 f(x)为 R 上的奇函数,给出下列四个说法:

①f(x)+f(-x)=0 ; ③f(x)·f(-x)<0;
其中一定正确的有( ) A.0 个 B.1 个
2

②f(x)-f(-x)=2f(x); ④ f ( x) = ?1 。 f (?x)

C .2 个

D.3 个


8.函数 f(x)=ax +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上为减函数,则 a 的取值范围为( 1 1 1 1 B.0≤a≤ C.0<a≤ D.a> A. 0<a≤ 5 5 5 5

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9.如果函数 y = f (x) 的图像关于 y 轴对称,且 f ( x) = ( x ? 2008) 2 + 1( x ≥ 0) ,则 式为( )
B. f ( x) = (2008 ? x) 2 ? 1 D. f ( x) = ( x ? 2008) 2 + 1

( x < 0) 的表达

A. f ( x) = ( x + 2008) 2 ? 1 C. f ( x) = ( x + 2008) 2 + 1 10.设定义域为 R 的函数 f(x)满足 值为 ( ) A.-1 11.设函数 B.1

,且 f(-1)= ,则 f(2008)的

C.2009

D.

| | + b + c 给出下列四个命题:

①c = 0 时,y ③y

是奇函数

②b 0 , c >0 时,方程 ④方程

0 只有一个实根

的图象关于(0 , c)对称 )
B.①、③

0 至多两个实根 D.①、②、④

其中正确的命题是(
A.①、④

C.①、②、③

12.若任取 x1,x2∈[a,b],且 x1≠x2,都有 f (

x1 + x2 1 ) > [ f ( x1 ) + f ( x2 )] 成立,则称 f(x) 是[a, 2 2


b]上的凸函数。试问:在下列图像中,是凸函数图像的是(

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第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 2008 13.已知集合 M = {a | ∈ N *, a ∈ Z } ,则 等于 . 5?a
14.一辆汽车在某段路程中的行驶速度 与时间 的关系如图所示,

则该汽车在前 3 小时内行驶的路程为_________km,假设这辆 汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2006km, 那么在 时,汽车里程表读数
________________.

与时间 的函数解析式为

15.对

?a , a ≥ b ,记 max{a,b}= ? ,函数 f(x)=max{x+2008×2007,x 2 }(x R)的最小值 b, a < b ?
____ .



16.设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈P,都有 a+b、a-b、ab、

a ∈P b

(除数 b≠0)则称 P 是一个数域,例如有理数集 Q 是数域,有下列命题: ①数域必含有 0,1 两个数;②整数集是数域;③若有理数集 Q ? M,则数集 M 必为数域;④ 数域必为无限集。其中正确的命题的序号是 都填上). 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 74 分).
17. 12 分)若 (

(把你认为正确的命题的序号

,求实数 的值.

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18. (12 分)已知集合 的取值范围.



,且

,求实数

(12 分)判断 y=1-2x3 在 (?∞,+∞) 上的单调性,并用定义证明. 19.

20. 12 分)已知某商品的价格上涨 x % ,销售的数量就减少 mx% ,其中 m 为正的常数。 (

1 时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额最大? 2 (2)如果适当地涨价,能使销售总金额增加,求 m 的取值范围?
(1)当 m =

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21. (12 分)已知集合 的取值范围.



,若

,求实数

22. (14 分)设函数 f ( x) = x 2 ? 4 x ? 5 。 (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f (x) 的图像; (2) 设集合 A = { x f ( x) ≥ 5 }, B = ( ? ∞, ? 2 ] U [ 0, 4 ] U [ 6, + ∞ ) 。 试判断集合 A 和 B 之间的关系, 并给出证明; (3)当 k > 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y = kx + 3k 的图像位于函数 f (x) 图像的上方.

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第一章:集合与函数概念练习题 第一章:集合与函数概念练习题参考答案
一、选择题 1.D;提示:只须保证根式有意义; 2.C;提示:

? A? B,

? B ? C ,所以 A ? C 。但不能说
需要 a > 2009 ;

C;

3.B;提示:可借助数轴来表示,注意 a ? {x | x < a} ,所以若 4.D 提示:因 A * B = {0, 2, 4} ;

5.C;提示:根据阴影部分所对应的区域即可,是集合 M、N 的内部区域,在集合 P 之外; 6.D;提示: f ( ) =|

1 2

1 1 ? 1 | ? | |= 0, f (0) =| 0 ? 1 | ? | 0 |= 1 ; 2 2

; 7.C;提示:需要考虑 f (0) = 0 这种特殊情况,正确的是“①②”

?a > 0 ? 8.B;提示:只需保证 ? b ,再讨论 a=0 这种特殊情况; ?? 2 a ≥ 4 ?
9.C;提示:显然函数为偶函数,设 x < 0 , 则 f ( x) = f ( ? x) = ( ? x ? 2008) 2 + 1 = ( x + 2008) 2 + 1 ; 10.B;提示:可以写出前几个 0、1、2、3 的函数值,可归纳出 f ( 2008) = 1 ; 11.C;提示:可对绝对值号分情况展开,结合二次函数的性质分段处理; 12.C;提示:凸函数满足中点的函数值大于端点连线中点的纵坐标; 二、填空题 13.{4,3,1,?3,?246. ? 497,?999,?2003} ;提示:由于 2008 的正因数只有 1,2,4,8,251,502,1004,2008 共 8 个,分别代入即可; 14.220; 15 . 2007
2

;提示:按分段函数处理即可; ;提示:首先在平面直角坐标系内绘制函数 ?

? y = x + 2007 × 2008
2 ?y = x

的图像,求得

x 2 ? x ? 2007 × 2008 = 0 ,结合图像代入 x = ?2007 即可;
16.①④;提示:按照信息给予的条件进行分析,a-a=0、

a → 2a = a + a → 3a = 2a + a → ..................... ;
三、解答题 17.解: 或 或 ………………………………6 分

a 1 =1、 ? Z 、 a 2

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当 当 从而, 18.解: 当 当

时, 时, 或

, ,

, ,

,适合条件;…………8 分 ,适合条件…………10 分

………………………………12 分 ,…………2 分

时, 时, ,



…………4 分

, 或 从而,实数 …………11 分 的取值范围为 <x1<x2<+ …………12 分 …………2 分

19.证明:任取 x1,x2 R,且- f(x1)-f(x2) =(1-2x31)-(1-2x32) =2(x32-x13) =2(x2-x1)(x22+x1x2+x21)

=2(x2-x1)[(x1+x2)2+

x12] …………8 分

∵x2>x1∴x0-x1>0,又(x1+x2)2+

x12>0,

∴f(x1)-f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) …………10 分 故 f(x)=1-2x3 在(- ,+ )上为单调减函数。…………12 分 20.解:(1)设商品现在定价 a 元,卖出的数量为 b 个。 由题设:当价格上涨 x%时,销售总额为 y=a(1+x%)b(1-mx%), 即 取 m= 得:y= ,(0<x< ),…………3 分

,当 x=50 时,ymax= ab,

即:该商品的价格上涨 50%时,销售总金额最大。…………6 分 (2)二次函数 在 上递减,…………8 分 ,在 上递增,

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适当地涨价能使销售总金额增加,即 在(0, , 解得 21.解:方法 1 , 中至少含有一个负数,即方程 ,即所求

)内存在一个区间,使函数 y 在此区间上是增函数,所以

的取值范围是(0,1).…………12 分

至少有一个负根。………1 分

当方程有两个负根时,



,…………4 分

当方程有一个负根与一个正根时,

…………7 分

当方程有一个负根与一个零根时, 或 从而实数 的取值范围为 方法 2: , 中至少含有一个负数 或 …………10 分 …………12 分

取全集 当 A 中的元素全是非负数时,

,…………4 分



所以当 从而当

时的实数 a 的取值范围为 时的实数 a 的取值范围为

…………10 分 …………12 分

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高中数学资料 22. (1)

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………………………………4 分 (2)方程 f ( x) = 5 的解分别是 2 ? 14 , 0, 在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, + ∞ ) 上单调递增,因此

4 和 2 + 14 ,由于 f ( x) 在 ( ? ∞, ? 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减,

A = ? ∞, 2 ? 14 U [ 0, 4 ] U 2 + 14 , + ∞ .
由于 2 + 14 < 6,

(

]

[

)

…………………………6 分

2 ? 14 > ?2, ∴B A.

………………………………8 分

(3)[解法一] 当 x ∈ [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) = ? x 2 + 4 x + 5 .

g ( x) = k ( x + 3) ? (? x 2 + 4 x + 5)
4?k? k 2 ? 20k + 36 ? = x 2 + (k ? 4) x + (3k ? 5) = ? x ? , ? ? 2 ? 4 ? 4?k < 1 . 又 ? 1 ≤ x ≤ 5 ,……………………10 分 Q k > 2, ∴ 2 4?k 4?k < 1 ,即 2 < k ≤ 6 时,取 x = , ① 当?1≤ 2 2 1 k 2 ? 20k + 36 2 g ( x) min = ? = ? (k ? 10) ? 64 . 4 4 2 Q 16 ≤ (k ? 10) < 64, ∴ (k ? 10) 2 ? 64 < 0 , 则 g ( x) min > 0 . …………………………………………………………12 分 4?k < ?1 ,即 k > 6 时,取 x = ?1 , ② 当 g (x) min = 2k > 0 . 2 由 ①、②可知,当 k > 2 时, g ( x) > 0 , x ∈ [ ? 1, 5 ] . 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y = k ( x + 3) 的图像位于函数 f (x) 图像的上方.…………14 分
2

[

]

解法二:当 x ∈ [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) = ? x 2 + 4 x + 5 。

? y = k ( x + 3), 由? 得 x 2 + (k ? 4) x + (3k ? 5) = 0 , 2 ? y = ? x + 4 x + 5, 令 ? = (k ? 4) 2 ? 4(3k ? 5) = 0 ,解得 k = 2 或 k = 18 ,……………………………10 分 在区间 [ ? 1, 5 ] 上,当 k = 2 时, y = 2( x + 3) 的图像与函数 f (x) 的图像只交于一点 ( 1, 8 ) ; 当 k = 18 时, y = 18( x + 3) 的图像与函数 f (x) 的图像没有交点.
如图可知,由于直线 y = k ( x + 3) 过点 ( ? 3, 0 ) ,当 k > 2 时,直线 y = k ( x + 3) 是由直线 y = 2( x + 3) 绕点

( ? 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到。 因 此 , 在 区 间 [ ? 1, 5 ] 上 , y = k ( x + 3) 的 图 像 位 于 函 数
方。……………………………………………14 分

f (x) 图 像 的 上

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