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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训4-6正弦定理和余弦定理试题


1.(2011·重庆理)若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b) -c =4,且 C =60°,则 ab 的值为( A. 4 3 ) B.8-4 3 D. 2 3

2

2

C.1 [答案] A [解析] 在△ABC 中,C=60°, ∴a +b -c =2abcosC=ab, ∴(a+b) -c =a +b -c +2ab=3ab=4, 4 ∴ab= ,选 A. 3 2.(文)在△ABC 中,已知 A=60°,b=4 是( ) A.0<a<4 3 C.a≥4 3或 a=6 [答案] C [解析] ∵b·sinA=4 3·sin60°=6,
2 2 2 2 2 2 2 2

3,为使此三角形只有一解,a 满足的条件

B.a=6 D.0<a≤4 3或 a=6

∴要使△ABC 只有一解,应满足 a=6 或 a≥4 3. 如图

顶点 B 可以是 B1、B2 或 B3. (理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a=2,b=2 2,且三角形有两 解,则角 A 的取值范围是( ) B.?

? π? A.?0, ? 4? ?

?π ,π ? ? ?4 2?

C.?

?π ,3π ? 4 ? ?4 ?

D.?

?π ,π ? ? ?4 3?

[答案] A [解析] 由条件知 bsinA<a,即 2 2sinA<2,∴sinA< π ∵a<b,∴A<B,∴A 为锐角,∴0<A< . 4 3.(2011·深圳二调)在△ABC 中,已知 a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 所对的边,且 a =4,b=4 3,∠A=30°,则∠B 等于( A.30° C.60° [答案] D ) B.30°或 150° D.60°或 120° 2 , 2

a b 4 4 3 3 [解析] 由正弦定理得 = ,所以 = ,sinB= .又 0°<B<180°, sinA sinB sin30° sinB 2
因此有 B=60°或 B=120°,选 D. 4.(文)(2011·浙江文)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 acosA=

bsinB,则 sinAcosA+cos2B=(
1 A.- 2 C. -1 [答案] D

) B. 1 2

D. 1

[解析] 由 acosA=bsinB 可得,sinAcosA=sin B =1-cos B, 所以 sinAcosA+cos B=1. (理)(2011·辽宁理)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,asinAsinB +bcos A= 2a,则 =( A.2 3 C. 3 [答案] D [解析] ∵asinAsinB+bcos A= 2a, ∴sin AsinB+sinBcos A= 2sinA, ∴sinB= 2sinA,∴b= 2a,∴ = 2. 5.(文)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c.若∠C=120°,c= 2a,
2 2 2 2 2 2

2

b a

) B.2 2 D. 2

b a

则(

) A.a>b C.a=b [答案] A [解析] ∵∠C=120°,c= 2a,c =a +b -2abcosC ∴a -b =ab, 又∵a>0,b>0,∴a-b=
2 2 2 2 2

B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

ab >0,所以 a>b. a+b

(理)在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列, ∠B=30°,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( A.1+ 3 C. 3+ 3 3 ) B.3+ 3 D.2+ 3

[答案] C [解析] 1 1 acsinB= ,∴ac=2, 2 2
2 2 2

又 2b=a+c,∴a +c =4b -4, 3+ 3 2 2 2 由余弦定理 b =a +c -2accosB 得,b= . 3 6.(文)( 2011·福建六校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且

c=4 2,B=45°,面积 S=2,则 b 等于(
A.5 C. 41 [答案] A

) B. 113 2

D.25

1 [解析] 由于 S= acsinB=2,c=4 2,B=45°, 2 可解得 a=1, 根据余弦定理得,

b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×4 2×
所以 b=5,故选 A.

2 =25, 2

(理)在△ABC 中,面积 S=a -(b-c) ,则 cosA=( A. 8 17 B. 15 17

2

2

)

C.

13 15

D.

13 17

[答案] B [解析]

S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccosA= bcsinA,∴sinA=4(1-

1 2

15 2 2 cosA),16(1-cosA) +cos A=1,∴cosA= . 17 7. (2011·福建文)若△ABC 的面积为 3, =2,=60°, BC C 则边 AB 的长度等于________. [答案] 2 1 1 3 [解析] 由 S= BC·ACsinC 知 3= ×2×ACsin60°= AC,∴AC=2, 2 2 2 ∴AB =2 +2 -2×2×2cos60°=4,∴AB=2. 8.(文)(2011·河南质量调研)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,且 满足 cos = ,AB·AC=3,则△ABC 的面积为________. 2 5 [答案] 2 [解析] → → 3 4 2 依 题 意 得 cosA = 2cos - 1 = , ∴ sinA = 1-cos A = , ∵ AB · AC = 2 5 5
2 2 2 2

A 2 5





A

AB·AC·cosA=3,∴AB·AC=5,∴△ABC 的面积 S= AB·AC·sinA=2.
(理)(2010·上海模拟)在直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-1,0),C(1,0),顶

1 2

x y sinA+sinC 点 B 在椭圆 + =1 上,则 的值为________. 4 3 sinB
[答案] 2 [解析] 由题意知△ABC 中,AC=2,BA+BC=4, sinA+sinC BC+BA 由正弦定理得 = =2. sinB AC 9.(文)(2011·济南外国语学校质检)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则∠A 的大小为________. [答案] π 6

2

2

π [解析] ∵sinB+cosB= 2sin(B+ )= 2, 4 π ∴sin(B+ )=1, 4 π ∵0<B<π ,∴B= , 4

asinB ∵ = ,∴sinA= = sinB sinA b
π ∵a<b,∴A<B,∴A= . 6

b

a

2× 2

2 2

1 = , 2

(理)在锐角△ABC 中,边长 a=1,b=2,则边长 c 的取值范围是________. [答案] 3<c< 5

[解析] 边 c 最长时 (c≥2), cosC=
2

a2+b2-c2 1+4-c2 = >0, 2ab 2×1×2

∴c <5.∴2≤c< 5. 边 b 最长时(c<2),cosB= ∴c >3.∴ 3<c<2. 综上, 3<c< 5. 10. (文)(2011·沈阳模拟)△ABC 中, 、 、 分别是角 A、 、 的对边, a b c B C 向量 m=(2sinB,2
2

a2+c2-b2 1+c2-4 = >0, 2ac 2c

B 2 π -cos2B),n=(2sin ( + ),-1),且 m⊥n. 4 2
(1)求角 B 的大小; (2)若 a= 3,b=1,求 c 的值. [解析] (1)∵m⊥n,∴m·n=0,

B 2 π ∴4sinB·sin ( + )+cos2B-2=0, 4 2
π 2sinB[1-cos( +B)]+cos2B-2=0, 2 ∴2sinB+2sin B+1-2sin B-2=0, 1 ∴sinB= . 2 π 5 ∵0<B<π ,∴B= 或 π . 6 6 π (2)∵a= 3>b,∴此时 B= , 6 由余弦定理得 b =a +c -2accosB, ∴c -3c+2=0,∴c=2 或 c=1. (理)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(2sinB,- 3),n= (cos2B,2cos -1)且 m∥n. 2
2 2 2 2 2 2 2

B

(1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值. [分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数,利用三角恒等变 换知识解决;(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决. [解析] (1)∵m∥n,

? ? ∴2sinB?2cos -1?=- 3cos2B, 2 ? ?
2

B

∴sin2B=- 3cos2B,即 tan2B=- 3, 又∵B 为锐角,∴2B∈(0,π ), 2π π ∴2B= ,∴B= . 3 3 π (2)∵B= ,b=2, 3

a2+c2-b2 ∴由余弦定理 cosB= 得, 2ac a2+c2-ac-4=0,
又∵a +c ≥2ac,∴ac≤4(当且仅当 a=c=2 时等号成立),
2 2

S△ABC= acsinB=

1 2

3 ac≤ 3(当且仅当 a=c=2 时等号成立). 4

[点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起,题目新颖精巧,难度也 不大,即符合在知识“交汇点”处命题,又能加强对双基的考查,特别是向量的坐标表示及 运算, 大大简化了向量的关系的运算, 该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算 后转化为三角函数问题,然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解. 能力拓展提升 11.(文)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,若 a=2bcosC,则此三角形 一定是( ) B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 [答案] C

[解析] 因为 a=2bcosC,所以由余弦定理得:

a2+b2-c2 2 2 a=2b× ,整理得 b =c ,∴b=c, 2ab
∴则此三角形一定是等腰三角形. [点评] 也可以先由正弦定理, a=2bcosC 化为 sinA=2sinBcosC, 将 利用 sinA=sin(B +C)代入展开求解.

(理)(2011·郑州六校质量检测)△ABC 中, A、 、 所对的边分别为 a、 、 , <cosA, 角 B C b c 若 则△ABC 为( ) B.直角三角形 D.等边三角形

c b

A.钝角三角形 C.锐角三角形 [答案] A

sinC [解析] 依题意得 <cosA, C<sinBcosA, sin 所以 sin(A+B)<sinBcosA, sinBcosA 即 sinB +cosBsinA-sinBcosA<0,所以 cosBsinA<0.又 sinA>0,于是有 cosB<0,B 为钝角,△ABC 是钝角三角形,选 A. 12. (文)(2011·深圳二调)已知△ABC 中, A=30°, , 分别是 3+ 2, 3- 2 ∠ AB BC 的等差中项与等比中项,则△ABC 的面积等于( A. C. 3 2 3 或 3 2 ) B. D. 3 4 3 3 或 2 4

[答案] D [解析] 依题意得 AB= 3,BC=1,易判断△ABC 有两解,由正弦定理得 = , sinC sinA 3 1 3 = , sinC= .又 0°<C<180°, 即 因此有 C=60°或 C=120°.当 C=60°时, sinC sin30° 2

AB

BC

B =90°,△ ABC 的面积为 AB·BC = AB·BC·sinB= × 3×1×sin30°=
1 2

1 2

3 1 ;当 C =120°时, B =30°,△ ABC 的面积为 2 2 3 .综上所述,选 D. 4

(理)(2011·泉州质检)△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 acosC,

bcosB,ccosA 成等差数列,则角 B 等于(
A.30° C.90° [答案] B

) B.60° D.120°

[解析] 依题意得 acosC+ccosA=2bcosB,根据正弦定理得,sinAcosC+sinCcosA= 2sinBcosB,则 sin(A+C)=2sinBcosB,即 sinB=2sinBcosB,又 0°<B<180°,所以 cosB 1 = ,所以 B=60°,选 B. 2 13.(文)(2011·四川文)在△ABC 中,sin A≤sin B+sin C-sinBsinC,则 A 的取值范 围是 ( )
2 2 2

π A.(0, ] 6 π C.(0, ] 3 [答案] C [解析] 根据正弦定理,

π B.[ ,π ) 6 π D.[ ,π ) 3

由 sin A≤sin B+sin C-sinBsinC 得 a ≤b +c -bc, 根据余弦定理 cosA=

2

2

2

2

2

2

b2+c2-a2 bc 1 ≥ = , 2bc 2bc 2

π 又 0<A<π ,∴0<A≤ ,故选 C. 3 (理)(2011·豫南四校调研考试)若 AB=2,AC= 2BC,则 S△ABC 的最大值为( A.2 2 C. 2 3 B. 3 2 )

D.3 2

[答案] A 1 2 [解析] 设 BC=x,则 AC= 2x,根据面积公式得 S△ABC= ×AB×BCsinB=x 1-cos B 2 ①,根据余弦定理得 cosB= 4-x 1-? ? 4x
2 2

AB2+BC2-AC2 4+x2-2x2 4-x2 = = ②,将②代入①得,S△ABC= 2AB·BC 4x 4x x2-12?
16
2

x



128-?

,由三角形的三边关系得 ?

? 2x+x>2 ?x+2> 2x

,解得

2 2-2<x<2 2+2,故当 x=2 3时,S△ABC 取得最大值 2 2,故选 A. 14.判断下列三角形解的情况,有且仅有一解的是________. ①a=1,b= 2,B=45°; ②a= 5,b= 15,A=30°; ③a=6,b=20,A=30°; ④a=5,B=60°,C=45°. [答案] ①④ [解析] ①一解,asinB= ②两解,b·sinA= 2 <1< 2,有一解. 2

15 < 5< 15,有两解; 2

③无解,b·sinA=10>6,无解. ④一解,已知两角和一边,三角形唯一确定.

15. (文)(2011·江西文)在△ABC 中, A、 、 的对边是 a、 、 , 角 B C b c 已知 3acosA=ccosB +bcosC. (1)求 cosA 的值; (2)若 a=1,cosB+cosC=
2

2 3 ,求边 c 的值. 3
2 2

[解析] (1)由余弦定理 b =a +c -2accosB,

c2=a2+b2-2abcosC
有 ccosB+bcosC=a,代入已知条件得 3acosA=a, 1 即 cosA= . 3 1 2 2 (2)由 cosA= 得 sinA= , 3 3 1 2 2 则 cosB=-cos(A+C)=- cosC+ sinC, 3 3 2 3 代入 cosB+cosC= 得 cosC+ 2sinC= 3,从而得 3 sin(C+φ )=1,其中 sinφ = 3 6 ,cosφ = 3 3 π (0<φ < ), 2

π 6 则 C+φ = ,于是 sinC= , 2 3 由正弦定理得 c=

asinC 3 = . sinA 2
cosA-2cosC cosB

(理)(2011·山东文)在△ABC 中, 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 2c-a = .

b

sinC (1)求 的值; sinA 1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 [解析] (1)由正弦定理 = = =2R 知, sinA sinB sinC cosA-2cosC 2·2RsinC-2RsinA = , cosAsinB-2cosCsinB=2cosBsinC-cosBsinA, 即 cosB 2RsinB 即 sin(A+B)=2sin(B+C), sinC 又由 A+B+C=π 知,sinC=2sinA,所以 =2. sinA

a

b

c

sinC (2)由(1)知 =2,∴c=2a, sinA 则由余弦定理得 b =a +(2a) -2·a·2acosB=4a ∴b=2a, ∴a+2a+2a=5,∴a=1,∴b=2. 16.(文)已知 A、B、C 分别为△ABC 的三边 a、b、c 所对的角,向量 m=(sinA,sinB),
2 2 2 2

n=(cosB,cosA),且 m·n=sin2C.
(1)求角 C 的大小; → → → (2)若 sinA,sinC,sinB 成等差数列,且CA·(AB-AC)=18,求边 c 的长. [解析] (1)m·n=sinA·cosB+sinB·cosA=sin(A+B). 在△ABC 中,由于 sin(A+B)=sinC. ∴m·n=sinC. 又∵m·n=sin2C, ∴sin2C=sinC,∴2sinCcosC=sinC. 1 π 又 sinC≠0,所以 cosC= .而 0<C<π ,因此 C= . 2 3 (2)由 sinA,sinC,sinB 成等差数列得, 2sinC=sinA+sinB, 由正弦定理得,2c=a+b. → → → → → ∵CA·(AB-AC)=18,∴CA·CB=18. 1 即 abcosC=18,由(1)知,cosC= ,所以 ab=36. 2 由余弦定理得,c =a +b -2abcosC =(a+b) -3ab. ∴c =4c -3×36,∴c =36.∴c=6. 1 (理)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 acosC+ c=b. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围. 1 [解析] (1)由 acosC+ c=b 得, 2 1 sinAcosC+ sinC=sinB, 2 又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
2 2 2 2 2 2 2

1 ∴ sinC=cosAsinC, 2 1 ∵sinC≠0,∴cosA= , 2 π 又∵0<A<π ,∴A= . 3 (2)解法 1:由正弦定理得:b=

asinB 2 2 = sinB,c= sinC sinA 3 3

l=a+b+c=1+
=1+ 2 3

2 3

(sinB+sinC)

(sinB+sin(A+B))

=1+2?

1 ? 3 ? ? π? sinB+ cosB?=1+2sin?B+ 6 ? ? ? 2 ?2 ?

π π ?π 5π ? ? 2π ? ∵A= ,∴B∈?0, ?,∴B+ ∈? , ?, 3 ? 6 ? 3 6 ?6 ?

? π ? ?1 ? ∴sin?B+ ?∈? ,1?. 6 ? ?2 ? ?
故△ABC 的周长 l 的取值范围是(2,3]. 解法 2:周长 l=a+b+c=1+b+c 由(1)及余弦定理 a =b +c -2bccosA, ∴b +c =bc+1, ∴(b+c) =1+3bc≤1+3?
2 2 2 2 2 2

?b+c?2,∴b+c≤2, ? ? 2 ?

又 b+c>a=1,∴l=a+b+c∈(2,3], 即△ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3].

1 3 10 1.在△ABC 中,tanA= ,cosB= ,若最长边为 1,则最短边的长为( 2 10 A. C. 4 5 5 2 5 5 B. D. 3 5 5 5 5

)

[答案] D [解析] 由 tanA>0,cosB>0 知 A、B 均为锐角, 1 π 3 10 3 ∵tanA= <1,∴0<A< ,cosB= > , 2 4 10 2

π ∴0<B< ,∴C 为最大角, 6 3 10 1 由 cosB= 知,tanB= ,∴B<A,∴b 为最短边, 10 3 由条件知,sinA= 1 5 ,cosA= 2 5 ,sinB= 1 , 10

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB = 1 3 2 1 2 × + × = , 2 5 10 5 10

b c b 1 5 由正弦定理, = 知, = ,∴b= . sinB sinC 1 5 2 10 2
2.

(2011·天津理)如图, 在△ABC 中, 是边 AC 上的点, AB=AD,2AB= 3BD, =2BD, D 且 BC 则 sinC 的值为( A. C. 3 3 6 3 ) B. D. 3 6 6 6

[答案] D [解析] 如图,根据条件,设 BD=2,则 AB= 3=AD,BC=4.在△ABC 中,由正弦定理 3 4 得, = , sinC sinA

在△ABD 中,由余弦定理得, 3+3-4 1 2 2 cosA= = ,∴sinA= , 3 3 2× 3× 3 2 2 3× 3 3sinA 6 ∴sinC= = = ,故选 D. 4 4 6 3.(2011·广州一测)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知 c= π 3,C= ,a=2b,则 b 的值为________. 3 [答案] 3

π 2 2 2 2 2 [解析] 依题意及余弦定理得 c =a +b -2abcosC, 9=(2b) +b -2×2b×bcos , 即 3 解得 b =3,∴b= 3. 4.(2011·安阳月考)在△ABC 中,C=60°,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,则
2

a + b+ c

b

c+a

=________. [答案] 1 [解析] ∵C=60°,∴a +b -c =ab, ∴(a +ac)+(b +bc)=(b+c)(a+c), ∴
2 2 2 2 2

a b + =1. b+c a+c


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