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江苏高考数学试卷纵向分类汇总(2008-2014):第四章 平面向量


四、平面向量
(一)填空题
1、 (2008 江苏卷 5) a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ? 【解析】本小题考查向量的线性运算. 5a ? b ? 5a ? b = 25 ?12 ? 10 ?1? 3 ? ? ?
2


2

?

?

2

? 25a ? 10a b ? b

2

? 1? 2 ? ? 3 ? 49 , 5a ? b ? 7 ? 2?


2、 (2008 江苏卷 13)若 AB=2, AC= 2 BC ,则 S?ABC 的最大值

【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设 BC= x ,则 AC= 2 x , 根据面积公式得 S?ABC =

1 AB BC sin B ? x 1 ? cos 2 B ,根据余弦定理得 2

cos B ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 4 ? x 2 ? 2 x 2 4 ? x 2 ? ? ,代入上式得 2 AB BC 4x 4x
2

128 ? ? x 2 ? 12 ? ? 4 ? x2 ? S?ABC = x 1 ? ? ? ? 16 ? 4x ?
由三角形三边关系有 ?

? ? 2x ? x ? 2 ? ?x ? 2 ? 2x

解得 2 2 ? 2 ? x ? 2 2 ? 2 ,

故当 x ? 2 2 时取得 S?ABC 最大值 2 2 3、 ( 2009 江苏卷 2 )已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , | a |? 2,| b |? 3 ,则向量 a 和向量 b 的数量积
o

a ?b =



【解析】 考查数量积的运算。
? ?

a ? b ? 2 ? 3?

3 ? 3 2

4、 (2011 江苏卷 10) .已知 e1 , e 2 是夹角为 则 k 的值为
? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 的两个单位向量,a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a ? b ? 0 , 3

.
? ? ? ?2 ? ? ?2

【解析】 因为 a? b ? (e1 ? 2 e2 ) ? (k e1 ? e2 ) ? k e1 ? (1 ? 2k ) e1? e2 ? 2 e2
? ? ? ? 1 1 5 且 | e1 |?| e2 |? 1 , e1 ? e2 =- ,所以 2k- -2=0,即 k= . 2 2 4

5、 (2012 江苏 9)如图, 在矩形 ABCD 中,AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的 中点,点 F 在边 CD 上,若 AB AF ? 2 ,则 AE BF 的值是 ▲ .

【解析】由 AB AF ? 2 ,得 AB

AF cos ?FAB ? 2 ,由矩形的性质,得 AF cos ?FAB =DF .

∵ AB ? 2 ,∴ 2 DF ? 2 ,∴ DF ? 1。∴ CF ? 2 ? 1 . 记 AE 和BF 之间的夹角为 ?,?AEB ? ? , ?FBC ? ? , 则? ? ? ? ? . 又∵ BC ? 2 , 点 E 为 BC 的中点,∴ BE ?1. ∴ AE BF = AE

BF cos ? = AE

BF cos ?? ? ? ? = AE

BF ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

= AE cos ? BF cos ? ? AE sin ? BF sin ? =BE BC ? AB CF ? 1 ? 2 ? 2

?

2 ?1 ? 2 .

?

本题也可建立以 AB, AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解. 6. (2013 江 苏 10) 设 D, E 分 别 是 ?A B C 的 边 AB, BC 上 的 点 , AD ?

1 2 AB , BE ? BC , 若 2 3

DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1 , ?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为
解析: 易知 DE ?



.

1 2 1 2 1 2 AB ? BC ? AB ? AC ? AB ? ? AB ? AC 2 3 2 3 6 3

?

?

所以 ?1 ? ?2 ?

1 2

7、(2014 江苏 12)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8, AD ? 5 , CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,则

AB ? AD 的值是 ▲ .
【答案】22 D 【 解 析 】 以 AB, AD 为 基 底 , 因 为 P C

CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,

A 1 AP ? AD ? DP ? AD ? AB , 4 3 BP ? BC ? CP ? AD ? AB 4 2 2 1 3 1 3 AB 则 AP ? BP ? 2 ? ( AD ? AB ) ? ( AD ? AB ) ? AD ? AD ? AB ? 4 4 2 16 3 1 ? 64 ? AB ? AD ,故 AB ? AD ? 22 因为 AB ? 8, AD ? 5 则 2 ? 25 ? 16 2 【点评】本题主要考查向量,向量的基底表示,向量的运算,本题关键在于选取哪两个向量为基底,根据 题目中已知的两条边长,选为基底最为合适。向量一直都是高考的热点话题,本题的难度适中,希望引起 考生的注意。

B

(二)解答题
1、 (2009 江苏卷 15) (本小题满分 14 分) 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

【解析】 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角 和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

2、 (2010 江苏卷 15) (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值。 [解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分 14 分。 (1) (方法一)由题设知 AB ? (3,5), AC ? (?1,1) ,则

AB ? AC ? (2,6), AB ? AC ? (4, 4).
所以 | AB ? AC |? 2 10,| AB ? AC |? 4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 。 (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: E 为 B、C 的中点,E(0,1) 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4)

故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、AD= 2 10 ; (2)由题设知: OC =(-2,-1), AB ? tOC ? (3 ? 2t ,5 ? t ) 。 由( AB ? t OC )· OC =0,得: (3 ? 2t ,5 ? t ) ? (?2, ?1) ? 0 , 从而 5t ? ?11, 所以 t ? ?

11 。 5

2 或者: AB· OC ? tOC , AB ? (3,5), t ? AB ? OC ? ? 11 5 | OC |2

3. (2013 江苏卷 15) (本小题满分 14 分) 已知 a ? ? cos?,sin? ? , b ? ? cos?,sin? ? , 0 ? (1) 若 a ? b ?

? ?? ?? .

2 ,求证: a ? b ;

(2) 设 c ? ? 0,1? ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值. 解析:(1) a ? ? cos ? ,sin ? ? , b ? ? cos ? ,sin ? ? ,0 ? ? ? ? ? ?

a ?b ? 2
2 2

? a ?b ? 2

2

? a ? b ? 2ab ? 2

1 ? 1? 2 a ?b ? 2
a ?b ? 0 ?a ? b
(2)

c ? ?0 , 1 ,? b ? c ? a ?? c o s ? ? c o? s ,s ?i ?n

? in ?s ? ?

?

0,1

?c o s ?? co ?s? ①0 ?s i n ? ? s i?n? ②1
①2 +②2 得: 2+2cos ?? ? ? ? ? 1
cos ?? ? ? ? ? ? 1 2

0? ? ?? ?? ?0 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2? 3

cos ? ? cos ? ? 0
又?? ? ? ? ?

?? ?

5? ? ,? ? 6 6


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