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2014届高考数学大一轮复习(Word版题库含解析)4.3 三角函数的图象与性质


4.3 三角函数的图象与性质
一、选择题 1.函数 f(x)=2sin xcos x 是( A.最小正周期为 2 π 的奇函数 B.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 解析 f(x)=2sin xcos x=sin 2x.∴f(x)是最小正周期为 π 的奇函数. 答案 C 2. 已知 ω >0,0 ? ? ? ? , 直线 x ? 两条相邻的对称轴,则 φ =( π A. 4 B. π 3 ) C. π 2 D. 3π 4 ).

?
4

和x ?

5? 是函数 f(x)=sin(ω x+φ )图像的 4

答案 A 3.函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小正周期为( A.2π B. 3π 2 C.π ). D. π 2

π? ? 解析 依题意,得 f(x)=cos x+ 3sin x=2sin?x+ ?.故最小正周期为 2π . 6? ? 答案 A π? π? ? ? 4.函数 y=sin?x- ?在区间?0, ?上( 4? 2? ? ? A.单调递增且有最大值 B.单调递增但无最大值 C.单调递减且有最大值 D.单调递减但无最大值 )

π π π π 3π ≤x- ≤ ,得- ≤x≤ , 2 4 2 4 4 π? ? ? π 3π ? 则函数 y=sin?x- ?在区间?- , ?上是增函数, 4? 4 ? ? ? 4 π ? ? π 3π ? π? 2 ? ? 又?0, ???- , ?,所以函数在?0, ?上是增函数,且有最大值 ,故选 2? ? 4 4 ? 2? 2 ? ? A. 答案 A 解析 由- π? ? 5.已知函数 f(x)=sin?x- ?(x∈R),下面结论错误的是( 2? ? A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π? ? B.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 2? ? C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 π? π? ? ? 解析 ∵y=sin?x- ?=-cos x,∴T=2π ,在?0, ?上是增函数,图象关于 2? 2? ? ? ).

y 轴对称,为偶函数.
答案 D 6.函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为( A.[-1,1] ? 5 ? C.?- ,1? ? 4 ? ). ? 5 ? B.?- ,-1? ? 4 ? 5? ? D.?-1, ? 4? ?

解析 (数形结合法)y=sin2x+sin x-1,令 sin x=t,则有 y=t2+t-1,t 1 ∈[-1,1],画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当 t=- 及 t=1 时, 2 ? 5 ? 函数取最值,代入 y=t2+t-1 可得 y∈?- ,1?. ? 4 ?

答案 C 【点评】 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题,再用数形结合来解

决,但换元后注意新元的范围. 7.已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ),x∈R,其中 ω >0,-π <φ ≤π .若 f(x) 的最小正周期为 6π ,且当 x= π 时,f(x)取得最大值,则( 2 )

A.f(x)在区间[-2π ,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π ,-π ]上是增函数 C.f(x)在区间[3π ,5π ]上是减函数 D.f(x)在区间[4π ,6π ]上是减函数 1 解析:∵f(x)的最小正周期为 6π ,∴ω = , 3 ∵当 x= π 时,f(x)有最大值, 2

1 π π π ∴ × +φ = +2kπ (k∈Z),φ = +2kπ , 3 2 2 3 ∵-π <φ ≤π ,∴φ = π . 3

?x π ? ∴f(x)=2sin ? + ?,由此函数图象易得,在区间[-2π ,0]上是增函数,而 ?3 3 ? 在区间[-3π ,-π ]或[3π ,5π ]上均没单调性,在区间[4π ,6π ]上是单调 增函数. 答案:A 二、填空题 8.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π ,且当 x∈[0, π ?5π ? ]时,f(x)=sin x,则 f? ?的值为________. 2 ? 3 ?

π 3 ?5π ? ? π? ?π ? 解析:f? ?=f?- ?=f? ?=sin = . 3 2 ? 3 ? ? 3? ?3? 答案: 3 2

? ? π π ?? 9.已知函数 f(x)=sin(x+θ )+ 3cos(x+θ )?θ ∈?- , ??是偶函数,则 2 ?? ? ? 2 θ 的值为________.

π? ? 解析 (回顾检验法)据已知可得 f(x)=2sin?x+θ + ?,若函数为偶函数,则 3? ? 必有 θ + θ = π π π π ? π π? =kπ + (k∈Z),又由于 θ ∈?- , ?,故有 θ + = ,解得 2 2? 3 2 3 2 ?

π ,经代入检验符合题意. 6 π 6

答案

【点评】 本题根据条件直接求出 θ 的值,应将 θ 再代入已知函数式检验一下. π? ? 2sin?x+ ?+2x2+x 4? ? 10.函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m= 2 2x +cos x ________. 解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点,把分子展开,得到部分分式,f(x) =1+

x+sin x ,f(x)-1 为奇函数,则 m-1=-(M-1),所以 M+m=2. 2x2+cos x

答案 2 【点评】 整体思考,联想奇函数,利用其对称性简化求解,这是整体观念与构 造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征,借助分式类函数最值的处理 方法,部分分式法,变形发现辅助函数为奇函数,整体处理最大值和最小值的问 题以使问题简单化, 这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻 理解. π? ? 11.关于函数 f(x)=4sin?2x+ ?(x∈R),有下列命题: 3? ? ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; π? ? ②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos?2x- ?; 6? ? ? π ? ③y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称; ? 6 ? ④y=f(x)的图象关于直线 x=- π 对称. 6

其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上).

π? ? 解析 函数 f(x)=4sin?2x+ ?的最小正周期 T=π ,由相邻两个零点的横坐标 3? ?

T π 间的距离是 = 知①错. 2 2
π ?? ?π ? 利用诱导公式得 f(x)=4cos? -?2x+ ??= 3 ?? ?2 ? π? ?π ? ? 4cos? -2x?=4cos?2x- ?,知②正确. 6 6? ? ? ? 由于曲线 f(x)与 x 轴的每个交点都是它的对称中心,将 x=- ? ? π? π? 4sin?2×?- ?+ ?=4sin 0=0, ? 6? 3? ? ? π ? 因此点?- ,0?是 f(x)图象的一个对称中心,故命题③正确.曲线 f(x)的对称 ? 6 ? 轴必经过图象的最高点或最低点, 且与 y 轴平行, x=- 而 不是最高点也不是最低点,故直线 x=- 确. 答案 ②③ 12.给出下列命题: ①正切函数的图象的对称中心是唯一的; ②y=|sinx|,y=|tanx|的最小正周期分别为 π , ③若 x1>x2,则 sinx1>sinx2; ? T? ④若 f(x)是 R 上的奇函数,它的最小正周期为 T,则 f?- ?=0. ? 2? 其中正确命题的序号是________. ?kπ ? ,0?(k∈Z);②y=|sinx|,y=|tanx|的最 解析 ①正切函数的对称中心是 ? ? 2 ? ? T? ? T ? 小正周期都是 π ; ③正弦函数在定义域 R 上不是单调函数; f?- ?=f?- +T? ④ ? 2? ? 2 ? ?T? ? T? ? T? =f? ?=-f?- ?,故 f?- ?=0. ?2? ? 2? ? 2? 答案 ④ 三、解答题 13. 已知函数 f(x)=2sinxcosx-2sin2x+1. π ; 2 π ? π ? 时 y=0, ?- ,0? 点 6 ? 6 ? π 代入得 f(x)= 6

π 不是图象的对称轴,因此命题④不正 6

(1)求函数 f(x)的最小正周期及值域; (2)求 f(x)的单调递增区间. π? ? 解析 (1)f(x)=sin2x+cos2x= 2sin?2x+ ?, 4? ? 则函数 f(x)的最小正周期是 π , 函数 f(x)的值域是[- 2, 2]. π π π (2)依题意得 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 3π π 则 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 8 8 3π π? ? ,kπ + ?(k∈Z). 即 f(x)的单调递增区间是?kπ - 8 8? ? ?π ? 14.已知 f(x)=sin x+sin? -x?. 2 ? ? 1 (1)若 α ∈[0,π ],且 sin 2α = ,求 f(α )的值; 3 (2)若 x∈[0,π ],求 f(x)的单调递增区间. 解析 (1)由题设知,f(α )=sin α +cos α . 1 ∵sin 2α = =2sin α ·cos α >0,α ∈[0,π ], 3 π? ? ∴α ∈?0, ?,sin α +cos α >0. 2? ? 4 由(sin α +cos α )2=1+2sin α ·cos α = , 3 得 sin α +cos α = 2 2 3,∴f(α )= 3. 3 3

π? ? (2)f(x)= 2sin?x+ ?,又 0≤x≤π , 4? ? π? ? ∴f(x)的单调递增区间为?0, ?. 4? ? 15.设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),y=f(x)图象的一条对称轴是直 线 x= π . 8

(1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间.

解析 (1)令 2× ∴φ =kπ +

π π +φ =kπ + ,k∈Z, 8 2

π ,k∈Z, 4

5 1 又-π <φ <0,则- <k<- ,k∈Z, 4 4 ∴k=-1,则 φ =- 3π . 4

3π ? ? (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- ?, 4 ? ? π 3π π 令- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 4 2 π 5π 可解得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 8 8 5π ?π ? +kπ ?,k∈Z. 因此 y=f(x)的单调增区间为? +kπ , 8 8 ? ? π? π? ? ? 16.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin ?2x+ ?+2a+b ,当 x∈?0, ?时,- 6? 2? ? ? 5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; π? ? (2)设 g(x)=f?x+ ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 2? ?

π? π ?π 7π ? ? 解析 (1)∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?. 2? 6 ? 6 ?6 ? π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+ ?∈?- ,1?, 6? ? 2 ? ? π? ? ∴-2asin?2x+ ?∈[-2a,a]. 6? ? ∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1, 因此 a=2,b=-5.

(2)由(1)得 a=2,b=-5, π? ? ∴f(x)=-4sin?2x+ ?-1, 6? ?

g(x)=f?x+ ?=-4sin?2x+
π? ? =4sin?2x+ ?-1, 6? ?

? ?

π? 2?

? ?

7π ? ?-1 6 ?

又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1, π? ? ∴4sin?2x+ ?-1>1, 6? ? π? 1 ? ∴sin?2x+ ?> , 6? 2 ? ∴2kπ + π π 5π <2x+ <2kπ + ,k∈Z, 6 6 6 π π π <2x+ ≤2kπ + ,k∈Z 时,g(x)单调递增, 6 6 2 π ,k∈Z, 6

其中当 2kπ +

即 kπ <x≤kπ +

π? ? ∴g(x)的单调增区间为?kπ ,kπ + ?,k∈Z. 6? ? 又∵当 2kπ + 即 kπ + π π 5π <2x+ <2kπ + ,k∈Z 时,g(x)单调递减, 2 6 6

π π <x<kπ + ,k∈Z. 6 3

π π? ? ∴g(x)的单调减区间为?kπ + ,kπ + ?,k∈Z. 6 3? ?


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