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排列与组合



复习 组合 巩固2 引入 练习1 小结


探求1 例1 作业 探求2 巩固1 公式

制作者:何家松





从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照 一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个 元素的排列数

An = n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
n﹗ m A n = (n-m)﹗
返回

m

温故知新
从甲.乙.丙.丁四名优秀团员中选两名同学升旗, 并指定正旗手,副旗手,共有多少种选法? 法1 分两步 法2 分两步 第一步选出正旗手 A 第二步选出副旗手 A
1 4 1 3

发现 问题

2 第一步选出两个旗手 4 第二步确定正副旗手 A 2

C

组合

2

问题 从甲.乙.丙.丁四名优秀团员中选 返回 两名同学升旗, 共有多少种选法?

问题推广—组合
组合:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成 一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组 合 ①n个不同元素 ② 0≤m≤n, (m、n是自然数) ③组合与元素的顺序无关,排列与元素的顺序有关 ④两个组合的元素完全相同为相同组合 组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元 m 表示方法 C n 素的组合数 返回

从甲.乙.丙.丁四名优秀团员中选两名同学升旗, 共有 多少种选法?

探求组合数 1 乙 甲
丁 甲 乙 甲













第一步 四名同学中选出两个旗手共有 2 6种不同的方法 = 4 2 第二步确定旗手顺序共 = 2 种不同的方法 2 2 所以总共有6×2=12种不同的方法 2 4 2 2 2 = 2 = × 4 4 2 4 返回 2

乙 丙 乙 丁 丙 丁 从甲.乙 乙 .丙 .丁四名优秀团员中选两名同学升旗 , 丙,副旗手 丁 ,共有多少种选法? 丙 丁 并指定正旗手

A

C

A

C

A

C

A A

A ( abd ) ( abd,adb,bad,bda,dab,dba ) A ( acd ) ( acd,adc,cad,cda,dac,dca ) A ( bcd ) ( bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb ) A 3 3 3 C4 = 4 A 4 = 24 A4 3 = 3 3 C 3 3 4 A 4 = C4 × A 3 A3
( abc,acb,bac,bca,cab,cba )

探求组合数2

返回

( abc )

3 3 3 3 3 3 3 3

从a、b、c、d中取出3个元素的组合数 是多少呢?

排列数(number of arrangement)公式 组合数(number of combination)公式 A
m n

C =

m n

注: n(n-1)(n-2) · · · (n-m+1) = n (1) A n = n! n! = (n-m)! (2) 0!=1 m 0≤m≤n (3) A

A

n m m

m、n是自然数

=
=

(n-1)(n-2) · · ·(n-m+1) m! n! m! (n-m)!

(4)

C =1

0 n

排列:arrangement 组合:combination

定义巩固
①十个人相互通了一封信,共有多少封信? 排列 ②十个人相互通了一次电话,共打了多少个电话? 组合 ③从2,3,4,5,6中任取两数构成指数,有多少个不 排列 同的指数? ④从2,3,4,5,6中任取两数相加,有多少个不同 组合 的结果? ⑤四个足球队举行单循环比赛(每两队比赛一 组合 场)共有多少种比赛? ⑥四个足球队举行单循环比赛的所有冠亚军 的可能性情况有多少种? 返回 排列

判断 下列几个问题是排列问题还是组合问题?

简单应用(例1)

例1 一个口袋内装有大小相同且标号 3 8 × 7× 6 不同的7个白球和1个黑球 C 8 = 3× 2 × 1 ⑴ 从口袋内取出3个球,共有 = 56 7× 6× 5 3 多少种取法? C7 = 3× 2× 1 2 1 ⑵ 从口袋内取出3个球,使其 C1 C7 35 = 中含有1个黑球,有多少种取法? =21 3 ⑶ 从口袋内取出3个球,使 C7=35 其中不含黑球,有少种取法? 返回

巩固练习1
C

⑴ 圆上有9个点 ①以其中每两个点为端点的线段有多少条?


36

9×8 2 9 = 2×1 =

C

②过其中每三个点作圆 的内接三角形,一共可以 = 84 作多少个圆的内接三角 2 答: 形? 返回 9 ③以其中每两个点为端点的有向线段有多少条?

9×8×7 3 = 9 3×2×1



A

巩固练习2 ?分析:有x步走1级,
有y步走2级,则

返回

⑵ 某幢楼从二楼到三楼的楼梯台阶共有10级,上 楼可以一步上一级,也可以一步上二级,规定从二 楼到三楼用8步走完,则上楼梯的方法有多少种?

x+2y=10 X+y=8

x=6 y=2

怎么算?

C

2 8

=

8×7

2×1



= 28

小结
从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素并成一组,叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个组合
m n m n m m m n

A n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) C ? ? m! A n! 组合数公式 C ? m ! (n ? m) !
注n,m∈N*,且0≤m≤n。
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布置作业
1、复习课本 P96-99页

2、P99 练习 2,3 ,5
3、P104 习题10.3 1,3,4

4、预习课本 P100-104页 组合数的两个性质

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小树林里玩儿??当耿老爹再次慢慢放松之后,华老郎中又腾出右手。这一次,他不是轻轻地转动,而是弹动留在穴位内的那 根长长的银针。随着弹动频率的加快,耿老爹的震颤越来越剧烈??华老郎中一边继续弹着银针,一边缓缓地说:“你的正儿、 英子、小直子慢慢长大了,他们都是多么可爱的孩子啊!他们聪明、好学、学会了很多的本事??耿老爹浑身上下剧烈地震颤 着??他虽然闭着双眼,但耿正、耿英、耿直的模样越来越清晰了,他看到了已经长大成人的耿正??多么潇洒的大儿子啊! 二胡拉得是那样的出神入化,那笛子吹得才叫个好听呢,不由得脱口而出:“正儿的二胡拉得比俺还好,还会吹笛子,非常好 听!”华老郎中一边继续弹着银针,一边缓缓地问:“英子呢?小直子呢?他们也会拉二胡和吹笛子吗?”女儿耿英和小儿子 耿直的模样在耿老爹的脑海里越来越清晰:聪明能干的英子,非常机灵且日渐懂事的小直子??耿老爹不知不觉地顺着华老郎 中的引导,断断续续地说:“英子和小直子也都会拉二胡,只是没有他们的哥哥拉得好??笛子也能吹一些简单的曲儿??他 们都很喜欢??英子很小的时候就学会了读书记账,她的算盘打得实在是好啊??我的小直子,他刚满八岁就跟随我们千里迢 迢南下,吃了很多苦,可他永远都是爹和他哥哥姐姐的开心果??”华老郎中虽然继续加快频率弹动银针,但耿老爹浑身上下 剧烈的震颤却逐渐减慢了??华老郎中继续缓缓地问:“你的正儿、英子和小直子,你可记得他们的模样?”耿老爹非常肯定 地说:“当然记得啊,我看着他们长大,他们就在我面前啊!”说完,耿老爹稳稳地安坐着不再有丝毫震颤了。华老郎中用力 弹动银针,没有看到耿老爹有什么特殊的反应!华老郎中轻轻地转动银针,耿老爹仍然没有反应!华老郎中对一直紧张地站在 周围的李长善夫妇和尚文、尚英、尚武兄妹三人轻轻地点点头,他们早已经满含在眼里的泪水都扑簌簌地流淌下来了??华老 郎中仍然用天籁般的沧桑之音说:“大善人啊,你继续闭目养神,老夫要起针了??”说着,轻轻地抽出长长的银针放在一边。 然后搓搓双手,在耿老爹头上的印堂、神庭、上星、囟会、前顶、百会、后顶、强间、脑户、天柱、本神等穴位反反复复地按 摩了好一会儿。最后才扶着他的双肩轻轻地说:“耿老弟,你慢慢地睁开双眼,仔细看看站在你面前的可是你的正儿、英子和 小直子?”耿老爹慢慢地睁开双眼??看着站在自己面前不断落泪的尚文、尚英和尚武兄妹三人,耿老爹突然间瞪着双眼张大 嘴巴呆住了!半晌,他才结结巴巴地问:“你们三个是,是??”“我是李尚文!”“我是李尚英!”“我是李尚武!”耿老 爹吃惊地转向李长善夫妇:“李大哥,李大嫂,他们是??”李


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