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2016淮北市高三一模数学理科试卷(含答案)


淮北市 2016 届高三第一次模拟考试数学试题(理)
2016.1.16 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。考生要认真核对答 题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。 2.第 1

卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选出其他答案标号。第 II 卷用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试 题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 A. , B ? x ?1 ? x ? 2 ,则 B.

?

?

等于 ( D.

)

? x ?1 ? x ? 0?
A.第一象限

? x 2 ? x ? 4?

C.

?x x ? 0或x ? 2?

?x x ? 0或x ? 2?

2.在复平面内,复数 z ?

2?i 的共轭复数 z 对应的点所在的象限( i
B.第二象限 C.第三象限 )



D.第四象限

3.设 x ? 0 ,则“ m ? 4 ”是“ x ?
A.充分不必要条件 C.充分必要条件

m ? 4 ”恒成立”的( x
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4、执行如图所示的程序框图,若输出的 n=6,则输入整数 p 的最小值是. ( ) A. 17 B. 16 C.18 D. 19

5.在等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120,则 2a10 ? a12 的值为( A. 6 B. 12 C. 24 D. 60



x2 y 2 6、已知 O 为坐标原点,双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F,以 OF 为直径作圆交双曲线的渐 a b
近线于异于原点的两点 A、B,若 ( AO ? AF ) ? OF ? 0 ,则双曲线的离心率 e 为( A. 3 B.2 C.

??? ? ??? ? ??? ?

)

3

D. 2

第 1 页

7.在区间[-1,1]上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+3)与圆 x2+y2=1 相交的概率为( A. 1 2 B. 1 3 C.

)

2 4

D.

2 3

8.有以下命题:①命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 ” ; ②已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? 2 ) , P(? ? 4) ? 0.79, 则 P(? ? ?2) ? 0.21 ; ③函数 f ( x) ? x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内;其中正确的命题的个数为(
x 1

1 2

1 1 3 2



A.3 个

B.2 个

C.1 个

D.0 个

9.已知函数 y ? f ( x) 是定义在实数集 R 上的偶函数,且当 x ? (??, 0) 时 xf ?( x) ? ? f (? x) 成立(其中

1 , 若 a ? 3 f ( 3) , f ?( x)是f ( x) 的导函数) c ? ?2 f (log 2 ) 则 a, b, c 的大小关系是 ( b ? f (1) , 4 ,
A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. a ? c ? b



?x ? y ? 0 ? 10. 已知实数 x , y 满足: ? x ? y ? 4 ? 0 ,则使等式 (t ? 2) x ? (t ? 1) y ? 2t ? 4 ? 0 成立的 t 取值范围为 ?x ?1 ? 0 ?
( )

A . ?- , - ? ? 4 2?

? 5 1?

B . ? -?, - ? ??- , +? ? 4 2

? ?

5? ?

? 1 ?

? ?

C. ? - , 1?

? 5 ? ? 4 ?

D ?- , 1?

? 1 ? ? 2 ?

11.已知四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上, AB ? 平面 BCD ,又 AB ? 3, BC ? 2, BD ? 4 , 且 ?CBD ? 60 ,则球 O 的表面积为(
?

) (C)

(A) 12?

(B) 16?

20?

(D) 25?

12、如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD.若动点 P 从点 A 出发, 沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点, 其中 AP ? ? AB ? ? AE , 下列判断正确 的是( ) .. A.满足 ? ? ? ? 2 的点 P 必为 BC 的中点 C. ? ? ? 的最大值为 3 B.满足 ? ? ? ? 1 的点 P 有且只有一个

??? ?

??? ?

??? ?

D. ? ? ? 的最小值不存在

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分).

第 2 页

13、设 a ? ? e

e2

1 1 dx ,则二项式 (ax 2 ? )6 展开式中的常数项为 x x



14、寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游,实名制购票,每人一座,恰在同一排 A,B,C,D,E 五个座位 (一排共五个座位) ,上车后五人在这五个座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法 有 种。 15、 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 其中 A=120°, b=1, 且△ABC 的面积为 则

3,

b?c = sin B ? sin C

16 、 对 于 问 题 : “ 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 (?1 , 2) , 解 关 于 x 的 不 等 式

ax 2 ? bx ? c ? 0 ”,给出如下一种解法:
2 2 解:由 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 (?1 , 2) ,得 a(? x) ? b(? x) ? c ? 0 的解集为 (?2 , 1) , 2 即关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 (?2 , 1) .

参考上述解法,若关于 x 的不等式

kx bx ? 1 ? ? 0 的解集为____________. ax ? 1 cx ? 1

k x?b (- 3, -1 ) ? ( 1, 2) ,则关于 x 的不等式 ? ? 0 的解集为 x?a x?c

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)在等比数列 ?an ? 中, a3 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 2

3 9 ,S3 ? . 2 2

6 a2 n ?1

,且 ?bn ? 为递增数列,若 cn ?

1 1 ,求证: c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? . 4 bn ? bn ?1

18. (本小题满分 12 分)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数: f1 ( x) ? x3 ,

f2 ( x) ? 5 , f3 ( x) ? 2 , f 4 ( x) ?
x

? 2x ?1 , f 5 ( x) ? sin( ? x) , f6 ( x) ? x cos x . x 2 2 ?1

(I)从中任意拿取 2 张卡片,若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下,求两张卡 片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率; (II)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽 取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望.

第 3 页

19.(本小题满分 12 分)已知某几何体直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直 角三角形,俯视图为直角梯形,
C C1

2 4
主视图

侧视图
M

B

B1

2 2
俯视图

A

N

(I)求证: BN ? 平面C1B1 N ; (II) 设? 为直线C1 N与平面CNB1所成的角,求sin ? 的值 ; (III)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P ,使 MP //平面 CNB1 并求

BP 的值 PC

20. (本小题满分 12 分)定长为 3 的线段 AB 两端点 A、B 分别在 x 轴, y 轴上滑动,M 在线段 AB 上, 且 AM ? 2MB. (I)求点 M 的轨迹 C 的方程; (II)设过 F (0, 3) 且不垂直于坐标轴的动直线 l 交轨迹 C 于 A、B 两点,问:线段 OF 上是否存在一 点 D,使得以 DA,DB 为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明。

???? ?

????

21. (本小题满分 12 分)对于函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,如果存在区间 [m, n] ? D ,同时满足下

列条件:

? f ( x) 在 [m, n] 上是单调函数;?

当 f ( x) 的定义域为 [m, n] 时,值域也是 [m, n] ,

则称区间 [m, n] 是函数 f ( x) 的“ Z 区间” 。对于函数 f ( x) ? ?

? ?a ln x ? x, x ? 0 (a ? 0) . ? ? ? x ? a, x ? 0

(I) (II)

若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 在 (e,1 ? e) 处的切线方程;
若函数 f ( x ) 存在“ Z 区间” ,求 a 的取值范

第 4 页

(二)选做题: (考生从以下三题中选做一题) 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,C、F 是⊙O 上的两点,OC⊥AB,过点 F 作⊙O 的切线 FD 交 AB 的延长线 于点 D.连接 CF 交 AB 于点 E. (1)求证:DE =DB?DA;
2

C

(2)若 DB=2,DF=4,试求 CE 的长.

A 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 曲线 C 的极坐标方程为 ? ?

O

E

B

D

4 cos ? , sin 2 ?

F

直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t cos? (t 为参数,0≤ ? < ? ). ? y ? 1 ? t sin ?

(Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (Ⅱ)若直线 l 经过点(1,0),求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 设函数 f ( x ) ?| x ? 1| ? | x ? 5 | , x ? R . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 x 的解集; (Ⅱ)如果关于 x 的不等式 loga 2 ? f ( x) 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

第 5 页

淮北市 2016 届高三一模答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 C 6 D 7 C 8 B 9 A 10 B 11 C 12 C

二、填空题

2 7
13、15 三、解答题 17. (1) q ? 1 时, an ? 14、45 15、

1 1 ( ?1, ? ) ? ( ,1) 3 2 16、

3 ; 2

??????2 分 ??????4 分 ??????6 分

1 2 1 (2)由题意知: an ? 6 ? (? )n?1 2 1 ∴ a2n?1 ? 6 ? ( )n 4
q ? 1 时, an ? 6 ? (? )n?1
∴ bn ? 2n ∴ cn ?

??????8 分

1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ??????10 分 2n ? (2 n ? 2) 4 n ? (n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 1 (1 ? )? 4 n ?1 4
??????12 分

∴ c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ?

18.解: (1)错误!未找到引用源。为奇函数;错误!未找到引用源。为偶函数;错误!未找到引用 源。为偶函数;错误!未找到引用源。为奇函数;错误!未找到引用源。为偶函数; 错误!未找到引 用源。为奇函数所有的基本事件包括两类:一类为两张卡片上写的函数均为奇函数;另一类为两张卡 片上写的函数为一个是奇函数,一个为偶函数;故基本事件总数为错误!未找到引用源。满足条件的基 本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数,故满足条件的基本事件个数为错误!未找到引用源。故所 求概率为错误!未找到引用源。 ????6 分 (2)错误!未找到引用源。可取 1,2,3,4. 分 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ; 故错误!未找到引用源。的分布列为 错误! 未 找 到
第 6 页

???????????????????7

1

2

3

4

引 用 源 。

错误! 未 找 到 引 用 源 。

错误! 未 找 到 引 用 源 。

错误! 未 找 到 引 用 源 。

错误! 未 找 到 引 用 源 。

错误! 未 找 到 引 用 源 。

错误!未找到引用源。 未找到引用源。??12 分

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的数学期望为错误!

19、解: (1)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴BA, BC,BB1 两两垂直。????????2 分 以 BA,BB1,BC 分别为错误!未找到引用源。轴建立空间直角坐标系,则 N(2,2,0) ,B1(0, 4,0) , C1(0,4,2) ,C(0,0,2)∵ BN ? (0,0,2) B1N ? (2, 2, 0)? (2, ? 2, 0) ? 0 错误!未找到引用源。=(2,2,0)· =0 ∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1,∴BN⊥平面 C1B1N;?? 4 分 (2)设错误!未找到引用源。为平面错误!未找到引用源。的一个法向量,则

??? ? ???? ?

?? ? ???? ? n CN ? 0 (2, 2, ?2) ? 0 ?( x, y, z )? ? 2? ?? ? ???? ? ? ?? (?2, 2, 0) ? 0 ? ?n2 ?NB1 ? 0 ?( x, y, z )? ? ???? ? ? x ? y ? z ? 0 ?? , 取n2 ? (1,1, 2), C1 N ? (2, ?2, ?2) ? ?? x ? y ? 0
则 sin ? ?

(2, ?2, ?2)? (1,1, 2) 2 ? ??8分 3 4 ? 4 ? 4? 1?1? 4

(3)∵M(1,0,0).设 P(0,0,a)为 BC 上一点,则 MP=( -1,0,a)错误!未找到引用源。, ∵MP//平面 CNB1,

????

n2 ? (?1, 0, a )?(1,1, 2) ? ?1 ? 2a ? 0 ? a ? ∴ MP ? n2 ? MP ?
错误!未找到引用源。 又错误!未找到引用源。,

????

?? ?

???? ?? ?

1 2

第 7 页

∴当 PB=

1 时 MP//平面 CNB1 2

……12 分(用几何法参照酙情给分。 )12 分 错误!未找到引用源。

20.(1)设 错误!未找到引用源。 则 , ……4 分 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 (2)存在满足条件的 D 点.设满足条件的点 D(0,m) , 则 , 设 l 的方程为:错误!未找到引用源。 ,代入椭圆方程, 错误!未找到引用源。 ,……5 分 错误!未找到引用源。 设 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。以 DA、DB 为邻边的平行四边形为菱形, 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。……8 错误!未找到引用源。的方向向量为(1,k) 错误!未找到引用源。 分 ……10 分 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。存在满足条件的点 D.……12 分 错误!未找到引用源。

1 1 ? 1 ,则 f ' (e) ? ?1 ,∴函数 f ( x) x e 1 1 在 (e,1 ? e) 处的切线方程为 y ? (1 ? e) ? ( ? 1)( x ? e) ,即 y ? ( ? 1) x . e e
' 21.解析: (1) a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x( x ? 0) , f ( x ) ?

? a ? 1( x ? 0) ? ? x ' f ( x) ? ? (2) ? ?1 ( x ? 0) (a ? 0) ,列表如下 ? ? 2 ?x

x
f ' ( x)
f ( x)

(??, 0)


(0, a )


a
0 极大值

(a, ??)


设函数 f ( x ) 存在“ Z 区间”是 [m, n]

第 8 页

22、选做题: Ⅰ(1)证明:连接 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90° . 所以∠OFC+∠CFD=90° . 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90° .
第 9 页

所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF =DB?DA. 所以 DE =DB?DA. (2)解:? DF =DB?DA,DB=2,DF=4.
2 2 2

……………… 5 分

? DA= 8,

从而 AB=6, 则 OC ? 3 . ………………10 分 ……………… 5 分

又由(1)可知,DE=DF=4, ? BE=2,OE=1. 从而 在 Rt ?COE 中, CE ? CO2 ? OE2 ? 10 . Ⅱ(1)错误!未找到引用源。 顶点在原点,对称轴为 x 轴的抛物线 (2)8 ………………10 分 ……………… 5 分 Ⅲ 答案:错误!未找到引用源。 ………………10 分 错误!未找到引用源。

第 10 页


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