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第五节 椭圆


第五节

椭圆

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椭圆

基础盘查一

椭圆的定义

(一)循纲忆知
掌握椭圆的定义,了解椭圆的简单应用.

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(二)小题查验
1.判断正误
(

1)平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数的点的轨迹 是椭圆 ( × )

(2)动点 P 到两定点 A(0,-2),B(0,2)的距离之和为 4,则点 P 的轨迹是椭圆 ( × )

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x2 y2 2.(人教 B 版教材习题改编)已知椭圆 2+ 2=1,作一个三角形,使 a b 它的一个顶点为焦点 F1,另两个顶点 D,E 在椭圆上且边 DE 过

4a . 焦点 F2,则△F1DE 的周长为________

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3.已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,且点 N(2,0),线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹

椭圆 . 是________
解析:由题意可知|PM|+|PN|=|MA|=6.又 M(-2,0),N(2,0), ∴动点 P 的轨迹是椭圆.

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基础盘查二

椭圆的标准方程和几何性质

(一)循纲忆知
1.掌握椭圆的几何图形、标准方程及简单几何性质 (范围、对称 性、顶点、离心率).

2.理解数形结合的思想.

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(二)小题查验
1.判断正误
(1)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆 (2)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 ( × ) ( √ )

(3)方程 mx2+ny2=1(m>0, n>0, m≠n)表示的曲线是椭圆. (√ )

2.(人教 A 版教材习题改编)焦距是 8,离心率等于 0.8 的椭圆的

x2 y2 x 2 y2 + =1 或 + =1 25 9 9 25 标准方程为__________________________ .

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3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列, 3 则该椭圆的离心率是________ . 5
解析:由题意可知 2b=a+c.即 2 a2-c2=a+c, 整理得 5c2+2ac-3a2=0.即 5e2+2e-3=0. 3 解得 e= 或 e=-1(舍去). 5

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考点一

椭圆的定义及标准方程 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
1.定义 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫 做椭圆的焦距.

[提醒] 当到两定点的距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹
是线段 F1F2;当到两定点的距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹 不存在.

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2.标准方程 x2 y2 中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为: 2+ 2 a b =1(a>b>0); 中心在坐标原点, 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为: y2 x2 + =1(a>b>0). a2 b2

[提醒] 当焦点的位置不能确定时,椭圆方程可设成 Ax2+
2 2 x y By2=1 的形式,其中 A,B 是不相等的正常数,或设成 2+ 2= m n

1(m2≠n2)的形式.

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[题组练透]
x2 y 2 1.(2014· 全国大纲卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点 a b 为 F1,F2,离心率为 3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,若 3 ( )

△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为 x2 y2 A. + =1 3 2 x2 y2 C. + =1 12 8 x2 2 B. +y =1 3 x2 y 2 D. + =1 12 4

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解析:由椭圆的性质知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a, 又∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4 3,∴a= 3. 3 又 e= ,∴c=1.∴b2=a2-c2=2, 3 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1,故选 A. 3 2

答案:A

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2.已知两圆 C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在 圆 C1 内部且和圆 C1 相内切,和圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2 y 2 A. - =1 64 48 x2 y 2 C. - =1 48 64 x2 y2 B. + =1 48 64 x2 y2 D. + =1 64 48 ( )

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解析:设圆 M 的半径为 r, 则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16, ∴M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆,且 2a=16,2c=8, x2 y2 故所求的轨迹方程为 + =1. 64 48

答案:D

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x2 y2 3.(2015· 浙江金丽衢十二校二联)若椭圆 C: + =1 的焦点 9 2 为 F1, F2, 点 P 在椭圆 C 上, 且|PF1|=4, 则∠F1PF2=( π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6 )

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解析:由题意得 a=3,c= 7,则|PF2|=2. 在△F2PF1 中,由余弦定理可得 42+22-?2 7?2 1 cos∠F2PF1= =- . 2 2×4×2 2π 又∵∠F2PF1∈(0,π),∴∠F2PF1= . 3

答案:C

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[类题通法]
1.求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆 的定义定形状时,一定要注意常数 2a>|F1F2|这一条件.
2.利用定义求焦点三角形的周长和面积,解焦点三角形常利 用椭圆的定义和正弦正理,常用到结论有:(其中,θ=∠F1PF2)

(1)|PF1|+|PF2|=2a;
(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|cos θ; (3)当 P 为短轴端点时,θ 最大.

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1 sin θ (4)S△PF1F2= |PF1||PF2|sin θ= · b2 2 1+cos θ θ =b tan =c· |y0|. 2
2

当 y0 = ± b,即 P 为短轴端点时,S△PF1F2 有最大值为 bc.

(5)焦点三角形的周长为 2(a+c).

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考点二

椭圆的几何性质 (题点多变型考点——全面发掘)

[必备知识]
1.椭圆的几何性质

(1)与坐标系无关的椭圆本身固有的性质,如:长轴长、短轴长、 焦距、离心率等;
(2)与坐标系有关的性质,如:顶点坐标、焦点坐标等.

[提醒]

在解题时要特别注意第二类性质,先根据椭圆方程的

形式判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上,再进行求解.

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2.椭圆的离心率 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率 (或离心率的取值范围)有两种方法: c (1)求出 a,c 代入公式 e=a;
(2)只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结合 b2=a2-c2 转化为 a,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别 除以 a 或 a2 转化为关于 e 或 e2 的方程(不等式), 解方程(不等式) 即可得 e(e 的取值范围).

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[一题多变]

[典型母题]
x2 y2 (2015· 广州二模)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) a b 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上, ∠PF1F2=30° ,则椭圆的离心率为 3 A. 3 1 C. 3 3 B. 6 1 D. 6 ( )

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[解析]

如图,设 PF1 的中点为 M,连接 PF2.

因为 O 为 F1F2 的中点,所以 OM 为△PF1F2 的中位线. 所以 OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90° . 因为∠PF1F2=30° ,所以|PF1|=2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2|= |PF1|2-|PF2|2= 3|PF2|, 3|PF2| 由椭圆定义得 2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|?a= ,2c= 2 3|PF2| |F1F2|= 3|PF2|?c= , 2
[答案] A

c 3|PF2| 2 3 则 e= a= · = .故选 A. 2 3|PF2| 3

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[题点发散 1]

本例条件变为“若∠PF1F2=α, ∠PF2F1=β, 且

5 3 cos α= ,sin(α+β)= ”,则椭圆的离心率为________. 5 5

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5 2 5 解析: ∵cos α= ?sin α= . 5 5 3 4 sin(α+β)= ?cos(α+β)=- . 5 5 11 5 ∴sin β=sin[(α+β)-α]= . 25 设|PF1|=r1,|PF2|=r2. r1 r 2 2c 由正弦定理得 = = 11 5 2 5 3 5 25 5 r1+r2 2c c 5 ∴ = ?e=a= . 7 21 5 3 5 25

5 答案: 7

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[题点发散 2] 的面积.

本例条件变为“( OP + OF2 )· PF2 =0”试求 S△F1PF2

解:∵( OP + OF2 )· PF2 =( OP + F1O )· PF2 = F1 P · PF2 =0, ∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90° . 设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a. m2+n2=4c2,∴(m+n)2-2mn=4c2. ∴4a2-2mn=4c2,∴4b2=2mn. ∴mn=2b2. 1 ∴S△F1PF2= mn=b2. 2

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[ 题点发散 3]

本例条件变为“P 到两焦点的距离之比为 2∶

1”,试求离心率范围.

解:设 P 到两个焦点的距离分别为 2k,k,根据椭圆定义可 知:3k=2a,又结合椭圆的性质可知.椭圆上的点到两个焦 1 点距离之差的最大值为 2c,即 k≤2c,∴2a≤6c,即 e≥ . 3 1 又∵0<e<1,∴ ≤e<1. 3

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[类题通法] 椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使 画不出图形,思考时也要联想到一个图形.

(2) 椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如- a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1,在求椭圆的相关量的范围时,要 注意应用这些不等关系.

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考点三

直线与椭圆的位置关系 (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
1.位置关系的判断 直线与椭圆方程联立方程组,消掉 y,得到 Ax2+Bx+C=0 的形式(这里的系数 A 一定不为 0),设其判别式为 Δ,

(1)Δ>0?直线与椭圆相交; (2)Δ=0?直线与椭圆相切;
(3)Δ<0?直线与椭圆相离.

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2.弦长公式
(1)若直线 y=kx+b 与椭圆相交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= 1+k |x1-x2|=
2

1 1+ 2|y1-y2|. k

2b2 (2)焦点弦(过焦点的弦):最短的焦点弦为通径长 a ,最长为 2a.

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3.中点弦的重要结论 x2 y2 AB 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦 a b 中点 M(x0,y0).
b2x0 (1)斜率:k=- 2 . a y0
(2)弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之 b2 积为定值- 2. a

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[典题例析]
(2014· 江苏高考)如图,在平面直角坐标 x2 y2 系 xOy 中,F1,F2 分别是椭圆 2+ 2= a b 1(a>b>0)的左、右焦点,顶点 B 的坐标 为(0,b),连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C. (1)若点 C
?4 1? 的坐标为?3,3?,且 ? ?

BF2= 2,求椭圆的方程;

(2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值.

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解:设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为 B(0,b),所以 BF2= b2+c2=a. 又 BF2= 2,故 a= 2. 16 1 ?4 1? 9 9 ? ? 因为点 C 3,3 在椭圆上,所以 2 + 2=1. a b ? ? 解得 b2=1. x2 2 故所求椭圆的方程为 +y =1. 2

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(2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上, x y 所以直线 AB 的方程为c +b=1. ?x y ?c +b=1, 解方程组? 2 2 ?x2+y2=1, ?a b 所以点 A
2 2 a ? ?x1= 2 c 2, a +c ? 得? 2 2 b ? c - a ? ?y = 2 2 1 ? a + c ?

? ?x2=0, 或? ? ?y2=b.

2 2 ? ? 2a2c b ? c - a ?? ? 的坐标为? 2 2, 2 2 ?. a +c ? ?a +c

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又 AC 垂 直 于 x 轴 , 由 椭 圆的 对 称 性, 可 得 点 C 的 坐 标 为
2 2 ? ? 2a2c b ? a - c ?? ? ?a2+c2, a2+c2 ?. ? ?

b?a2-c2? -0 a2+c2 b?a2-c2? 因为直线 F1C 的斜率为 2 = 2 , 2a c 3a c+c3 -?-c? a2+c2 b 直线 AB 的斜率为- c,且 F1C⊥AB, b?a2-c2? ? b? ?- ?=-1. 所以 2 3· 3a c+c ? c ? 1 5 又 b =a -c ,整理得 a =5c .故 e = .因此 e= . 5 5
2 2 2 2 2 2

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[类题通法]
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先 把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数 的关系建立方程, 解决相关问题. 涉及弦中点的问题常常用“点 差法”解决,往往会更简单.

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[演练冲关]
x2 y 2 (2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2= a b 3 1(a>b>0)的离心率为 ,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜 2 2 3 率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点.当△OPQ 的 面积最大时,求 l 的方程.

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2 2 3 解:(1)设 F(c,0),由条件知,c = ,得 c= 3. 3 c 3 又a= ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. 2 x2 2 故 E 的方程为 +y =1. 4

(2)当 l⊥x 轴时不合题意,故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). x2 2 将 y=kx-2 代入 +y =1 中, 4 得(1+4k2)x2-16kx+12=0.

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3 当 Δ=16(4k -3)>0,即 k > 时, 4
2 2

16k 12 由根与系数的关系得:x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 4k +1 4k +1
2 2 4 k + 1· 4 k -3 2 从而|PQ|= k +1|x1-x2|= . 2 4k +1

2 又点 O 到直线 PQ 的距离 d= 2 . k +1
2 4 4 k -3 1 所以△OPQ 的面积 S△OPQ= d· |PQ|= . 2 2 4k +1

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4t 4 设 4k -3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t
2

4 7 因为 t+ t ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,且满足 2 Δ>0. 所以,当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为 y= 7 x-2. 2 7 x-2 或 y=- 2

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“课后演练提能”见“课时跟踪检测(四十九)”
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