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高考数学总复习经典测试题解析版4.7 解三角形应用举例


4.7 解三角形应用举例
一、选择题 1.在某次测量中,在 A 处测得同一平面方向的 B 点的仰角是 50°,且到 A 的距 离为 2,C 点的俯角为 70°,且到 A 的距离为 3,则 B、C 间的距离为( A. 16 C. 18 解析:因∠BAC=120°,AB=2,AC=3. ∴BC2=AB 2+AC2-2AB·ACcos ∠BAC=4+9-2×2×3×cos 120°=19. ∴BC= 19. 答案:D 2.如图所示,为了测量某障碍物两侧 A,B 间的距离,给定下列四组数据,不能 确定 A,B 间距离的是( ). B. 17 D. 19 )

A.α ,a,b C.a,b,γ

B.α ,β ,a D.α ,β ,b

解析 选项 B 中由正弦定理可求 b,再由余弦定理可确定 AB.选项 C 中可由余弦 定理确定 AB.选项 D 同 B 类似,故选 A. 答案 A 3.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新方向走 3 km,结果他离 出发点恰好是 3 km,那么 x 的值为( A. 3 B.2 3 ). C. 3或 2 3 D.3

解析 如图所示,设此人从 A 出发,则 AB=x,BC=3,AC= 3,∠ABC=30°, 由余弦定理得( 3)2=x2+32-2x·3·cos 30°,整理得 x2-3 3x+6=0,解得

x= 3或 2 3.

答案 C

4.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定 一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出 A、B 两点的距离为( )

A.50 2 m C.25 2 m 解析 由题意,得 B=30°.由正弦定理,得

B.50 3 m 25 2 D. m 2

AB
sin∠ACB



AC
sinB



∴AB= 答案 A

AC·sin∠ACB = sinB

50× 1 2

2 2

=50 2(m).

5.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北 偏东 20°, 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°, 则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ) A.a km B. 2a km C.2a km D. 3a km 解析 依题意得∠ACB=120°,由余弦定理,得 AC2+BC2-AB2 cos120°= . 2AC·BC ∴AB2=AC2+BC2-2A C·BCcos120° ? 1? =a2+a2-2a2×?- ?=3a2, ? 2? ∴AB= 3a,故选 D. 答案 D 6.据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到 12 级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干 被台风吹断后,折成与地面成 45°角,树干也倾斜为与地面成 75°角,树干底 部与树尖着地处相距 20 米,则折断点与树干底部的距离是( 20 6 A. 米 3 B.10 6米 C. 10 6 米 3 ). D.20 2米

解析 如图所示, 设树干底部为 O, 树尖着地处为 B, 折断点为 A, 则∠ABO=45°, ∠AOB=75°,∴∠OAB=60°.由正弦定理知,

AO
sin 45°



20 , sin 60°

∴AO=

20 6 (米). 3

答案 A 7.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔 18 km, 速度为 1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 30°,经过 1 min 后又看到山 顶的俯角为 75°,则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 k m)( ).

A.11.4

B.6.6

C.6 .5 1 50 000 = (m), 60 3

D.5.6

解析 AB=1 000×1 000× ∴BC=

AB
sin 45°

·sin 30°=

50 000 (m).[来源:Z.xx.k.Com] 3 2

∴航线离山顶 h=

50 000 ×sin 75°≈11.4 (km). 3 2

∴山高为 18-11.4=6.6 (km). 答案 B 二、填空题 8. 一船以每小时 15 km 的速度向东航行, 船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60° 方向,行驶 4 h 后,船到 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15°方向,这时船与灯 塔的距离为________ km. 解析:如图所示,依题意有 AB=15×4=60, ∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB 中, 由正弦定理得 答案:30 2 9.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东 方向上, 测得点 A 的仰角为 60°, 再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D, 测得∠BDC=45°,则塔 AB 的高是________米. 60 BM = ,解得 BM=30 2. sin 45° sin 30°

解析 在△BCD 中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC

BC CD CDsin 45° =30°, = , BC= =10 2.在 Rt△ABC 中, tan 60° sin 45° sin 30° sin 30°
= ,AB=BCtan 60°=10 6(米). 答案 10 6 10. 2010 年 11 月 12 日广州亚运会上举行升旗仪式.如图,在坡度为 15°的观 礼台上, 某一列座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面,在该列的第一个座位

AB BC

A 和最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60°和 30°,且座位 A、B 的
距离为 10 6米,则旗杆的高度为________米.

解析 由题可知∠BAN=105°,∠BNA=30°, 由正弦定理得

AN
sin 45°



10 6 ,解得 AN=20 3(米), sin 30°

在 Rt△AMN 中,MN=20 3 sin 60°=30(米).故旗杆的高度为 30 米. 答案 30 11.如图,在日本地震灾区的搜救现场,一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象,然后向右转 105°,进行 10 m 到达 C 处发现另一 生命迹象,这时它向右转 135°后继续前行回到出发点,那么 x=________.

解析

由题知,∠CBA =75°,∠BCA=45°,∴∠BAC =180°-75°-45°=

60°,∴ 答案

x
sin 45°



10 10 6 .∴x= m. sin 60° 3

10 6 m 3

12.如图,一船在海上自西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 α 角,前进 m 海里后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 β 角,已知该岛周围 n 海 里范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行,当 α 与 β 满足条件________ 时,该船没有触礁危险.

解析

由 题 可 知 , 在 △ ABM 中 , 根 据 正 弦 定 理 得

BM
-α



m
α -β

, 解 得 BM =

mcos α
α -β

, 要使该 船 没有 触礁 危险 需满 足

BMsin(90°-β )=

mcos α cos β
α -β

>n,所以当 α 与 β 的关系满足

mcos α cos β >nsin(α -β )时,该船没有触礁危险.
答案 mcos α cos β >nsin(α -β ) 三、解答题 13.隔河看两目标 A 与 B,但不能到达,在岸边先选取相距 3千米的 C,D 两点, 同时,测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,

D 在同一平面内),求两目标 A,B 之间的距离.
解析 如图所示,在△ACD 中,∵∠ADC=30°,∠ACD=120°, ∴∠CAD=30°,AC=CD= 3(千米), 在△BDC 中,∠CBD=180°-45°-75°=60°. 由正弦定理得,BC= 3sin 75° 6+ 2 = (千米). sin 60° 2

在△ABC 中,由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠BCA, ? 6+ 2?2 6+ 2 ? -2 3· 即 AB2=( 3)2+? cos 75°=5. 2 2 ? ?

∴AB= 5 (千米). 所以两目标 A、B 间的距离为 5千米. 14.如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海 里, 渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从

B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上,此时到达 C 处.

(1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. 解析 (1)依题意知,∠BAC=120°,AB=12(海里),AC=10×2=20(海里),∠

BCA=α ,
在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos 12 0°=784.解 得 BC=28(海里). 所以渔船甲的速度为

BC
2

=14 海里/时.

(2)在△ABC 中, 因为 AB=12(海里), ∠BAC=120°, BC=28(海里), ∠BCA=α , 由正弦定理,得

AB
sin α



BC
sin 120° 12× 28 3 2

.

即 sin α =

ABsin 120° = BC



3 3 . 14

15.如图所示,甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向作匀速直线航行,速度为 15 2 n mile/h,在甲船从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 40 n mile 处的 B 1? ? 岛出发,朝北偏东 θ ?tanθ = ?的方向作匀速直线航行,速度为 m n mile/h. 2? ? (1)若两船能相遇,求 m. (2)当 m=10 5时,求两船出发后多长时间距离最近,最近距离为多少 n mile?

解析 (1)设 t 小时后,两船在 M 处相遇, 1 5 2 5 由 tanθ = ,得 sinθ = ,cosθ = , 2 5 5 所以 sin∠AMB=sin(45°-θ )= 由正弦定理, 10 . 10

AM
sinθ



AB
sin∠AMB

,∴AM=40 2,

同理得 BM=40 5. 40 2 8 40 5 ∴t= = ,m= =15 5. 8 15 2 3 3

(2)以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设在 t 时 刻甲、乙两船分别在 P(x1,y1),Q(x2,y2)处,则|AP|=15 2t,|BQ|=10 5t.

? ?x1=15 2tcos45°=15t, 由任意角三角函数的定义,可得? ?y1=15 2tsin45°=15t, ? ? ?x2=10 5tsinθ =10t, 即点 P 的坐标是(15t,15t),? ?y2=10 5tcosθ -40=20t-40, ? 即点 Q 的坐标是(10t,20t-40), 2 ∴|PQ|= -5t 2+ t- = 50t2-400t+1600 = t- 2+800≥20 2, 当且仅当 t=4 时,|PQ|取得最小值 20 2,即两船出发 4 小时时,距离最近,最 近距离为 20 2 n mile. 16. 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发 时,轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海 里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 v 海里/时的航

行速度匀速行驶, 经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少 ? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时, 试设计航行方案(即确定航行 方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 思路分析 第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式; 第(2)问建立速度与时间 的函数关系式. 解析 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则

S= 900t2+400-2·30t
= 900t2-600t+400=

- 1? ? 900?t- ?2+300. 3? ?

1 故当 t= 时,Smin=10 3(海里), 3 此时 v= 10 3 =30 3(海里/时). 1 3

即小艇以 30 3海里/时的速度航行相遇时小艇的航行距离最小.

(2)设小艇与轮船在 B 处相遇,则 v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°- 30°), 故 v2=900- 600

t



400

t

2

,∵0<v≤30,∴900-

600

t



400

t

2

2 3 ≤900,即 2- ≤0,

t

t

2 2 解得 t≥ .又 t= 时,v=30 海里/时. 3 3 2 故 v=30 海里/时时,t 取得最小值,且最小值等于 . 3 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20 海里,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30°,航行速度为 30 海里/时,小艇能以最短时间与轮船相 遇. 【点评】 解决这一类问题一般是根据余弦定理来建立函数关系式,利用函数的 有关知识解决问题,充分体现了函数与方程思想的重要性.


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