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最新2013届天津高三数学文科试题精选分类汇编12:导数 2


最新 2013 届天津高三数学文科试题精选分类汇编 12:导数 姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 1 . (天津市渤海石油第一中学 2013 届高三模拟数学(文)试题)如
2 2 是函数 f ( x ) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? d 的大致图象,则 x1

等于 ? x2

图所示,曲线

( A.



8 9

B.

10 9

C



16 9
( )

D

2 . (天津市天津八中 2013 届高三第三次月考数学(文)试题)已知函数 f(x)=sinx+lnx,则 f′(1)的值为

A.1-cos1 C.cos1-1

B.1+cos1 D.-1-cos1

3 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学文试题) 定义在 (0, ?? ) 上的可导函数 f ( x ) 满

足: xf ?( x) ? f ( x) 且 f (1) ? 0 ,则 A. (0,1) B. (0,1)

f ( x) ? 0 的解集为 x
D. ?





(1, ??) C. (1, ??)

4 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第一次月考文科数学)定义域为 {x ? R | x ? 2} 的函数 y ? f ( x) 满

足 f (4 ? x) ? f ( x) , ( x ? 2) f ?( x) ? 0 ,若 x1 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 4 ,则 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小不确定





5 . (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文科数学) 已知函数 f ( x)(x ? R) 满足 f (1) ? 1 ,且 f ( x)

的导函数 f ' ( x ) ?

1 x 1 ,则 f ( x) ? ? 的解集为 2 2 2





A. x ? 1 ? x ? 1

?

?

B. x x ? ?1

?

?

C. x x ? ?1或x ? 1

?

?

D. x x ? 1

?

?

? x ? 3 x ( x ? 0) ? 6 . (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学 (文) 试题) 若函数 f ( x) ? ? 1 3 在 ? x ? 4 x ? a( x ? 0) ?3
定义域上只有一个零点,则实数 a 的取值范围是 A. a ? ( )

16 3

B. a ?

16 3

C. a ?

16 3

D. a ?

16 3

7 . (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考文科数学试题) 已知函数

f (x)=x2 - cos x ,则 f (0.6),f (0),f (-0.5)
( )

的大小关系是 A. f (0)<f (0.6)<f (-0.5) B. f (0)<f (-0.5)<f (0.6)
1页

C. f (0.6)<f (-0.5)<f (0)
二、填空题

D. f (-0.5)<f (0)<f (0.6)

8 . (天津市大港区第一中学 2013 届高三第二次月考数学(文)试题)已知函数

f ( x) ? ex ? 2x ? a 有零点,
4 上, ? 为曲线在点 e ?1
x

则实数 a 的取值范围是___________.
9 . (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文科数学)已知点 P 在曲线 y ?

P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是___________________
10. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(文)试题)函数 y ?

1 2 x ? ln x 的单调递减区间 2

为____________.
11. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考文科数学) 曲线 y ?

x 在点 (1,1) 处的切线方程为 2x ? 1
3

___________
12. (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考文科数学试题)设集合是 A={ a|f (x)=8x

? 3ax2 +6x 是(0,+∞)

上的增函数},
三、解答题

B ={y|y =

5 ,x ? [-1,3]} ,则 ?R (A B) = _________; x +2
已知函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 6ax ? 11 ,
3 2

13. (天津市河西区 2013 届高三总复习质量检测(一)数学文)

g ( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 12 直线 m : y ? kx ? 9 ,又 f '(?1) ? 0 .
(I)求函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 6ax ? 11 在区间(2,3)上的极值:
3 2

( II)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 y ? f ( x) 的切线,又是 y ? g ( x ) 的切线;如果存在,求出 k 的值;如果不存在,说明理由. (Ⅲ)如果对干所有 x≥一 2 的 x,都有 f ( x) ? kx ? 9 ? g ( x) 成立,求 k 的取值范围.

14. (2013 年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一))已知函数

f ( x) ? x3 ? 3ax( x ? R) .

(I)当 a=1 时,求 f ( x ) 的极小值; (II)若对于任意的 x ?[0,+∞),总有 f ( x) ? 3ax ,求 a 的取值范围;
2

(III)设 g ( x) ?| f ( x) | ( x ?[?1,1]) ,求 g ( x) 的最大值 F(a)的解析式.

15( .天津市渤海石油第一中学 2013 届高三模拟数学 (文) 试题 (2) ) 已知定义在 R 上的函数

f ( x) ? x 2 (ax ? 3) ,

其中 a 为常数. (1)若 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值.
2页

(2)若函数 f ( x) 在区间 (?1,0) 上是增函数,求 a 的取值范围. (3)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ' ( x), x ? [0,2], 在 x ? 0 处取得最大值,求正数 a 的取值范围.

16. (天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查文科数学)已知函数 f ( x ) ? x ?

2 ? 3 ln x ? 1 x

(I)求函数 f ( x ) 的单调区间: (II)求 f ( x ) 在区间[1,e ]上的值域; (III)若函数 g( x ) ? 7 f ( x ) ? m ?
2

16 ? 4 x 在[l,4]上取得最大值 3,求实数 m 的值. x

17. (天津市天津八中 2013 届高三第三次月考数学(文)试题)已知函数

f ( x) ? ax3 ? cx ? d (a ? 0) 是 R 上

的奇函数,当 x ? 1 时 f ( x) 取得极值 ? 2 。 (1)求 f ( x) 的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1 , x2 ? (?1 , 1) ,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 恒成立。

18. (天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学(文)试题(解析版))

已知函数 f ( x ) ?

1 3 m ?1 2 1 x ? x , g ( x ) ? ? mx , m 是实数. 3 2 3

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,求 m 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 (2, ??) 为增函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有三个零点,求 m 的取值范围.

3页

19. (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学文试题)已知函数

f ( x) ? x 3 ? ax , g ( x) ?

1 2 5 x ? ln x ? 2 2

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行,求实数 a 的值; (Ⅱ)若对一切 x ? (0,??), 有不等式 f ( x) ? 2 x ? g ( x) ? x ? 5 x ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

(Ⅲ)记 G ( x) ?

1 2 5 1 2 x ? ? g ( x) ,求证: G ( x) ? x ? . 2 2 ex e

20 . ( 天 津 市 十 二 区 县 重 点 中 学 2013 届 高 三 毕 业 班 联 考 ( 一 ) 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x ) ? x ln x , g( x) ? (? x 2 ? ax ? 3) ? e x (其中 a 实数, e 是自然对数的底数 ).
(Ⅰ)当 a ? 5 时,求函数 y ? g( x ) 在点 (1, e ) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值;
?1 x (Ⅲ) 若存在 ..x1 , x2 ? [e , e]( x1 ? x2 ) ,使方程 g( x) ? 2e f ( x) 成立,求实数 a 的取值范围.

21. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学文试题)已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 在 (1, 2] 是增函

数, g ( x) ? x ? a x 在(0,1)为减函数. (I)求 f ( x) 、 g ( x) 的表达式;(II)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解; (Ⅲ)当 b ? ?1 时,若 f ( x ) ? 2bx ?

1 在 x ∈ (0,1] 内恒成立,求 b 的取值范围. x2

22 .( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 三 次 月 考 数 学 文 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? x ln x, g ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 2

4页

(1)如果函数 g ( x) 的单调减区间为 ( ? ,1) ,求函数 g ( x) 的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数 g ( x) 的图像过点 P(1,1) 的切线方程; (3)证明:对任意的 x ? (0, ??) ,不等式 2 f ( x) ? g ?( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

1 3

23. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第一次月考文科数学)已知函数

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 9x ? 2 ,若 f ( x)
1 4

在 x ? 1 处的切线方程为 3x ? y ? 6 ? 0 .(I)求函数 f ( x ) 的解析式;(Ⅱ)若对任意的 x ? [ , 2] ,都有

f ( x) ? t 2 ? 2t ? 1成立,求函数 g (t ) ? t 2 ? t ? 2 的最值.

24. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第一次月考文科数学)已知函数

f ( x) ? ln x ? a 2 x 2 ? ax (a ? R).

(I)求 f ( x ) 的单调区间与极值; (Ⅱ)若函数 f ( x)在区间(1,+?)上是单调减函数,求实数 a 的取值范围.

5页

25 .( 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 寒 假 复 习 质 量 反 馈 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 4x 3 ? 3tx 2 ? 6t 2 x ? t ? 1, x ? R ,其中 t ? R , (1)当 t ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 t ? 0 时,求函数的单调区间.

26. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(文)试题)已知函数

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x .

(1)若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x ? ? 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 [1, a] 上的最大值; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x) 的图象恰有 3 个交点?若 存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由.
27 .( 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 文 科 数 学 ) 已 知 x ? 1 是 函 数

1 3

1 3 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? (a ? 1) x ? 5 的一个极值点. 3 2
(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? 2 x ? m 有三个交点,求实数 m 的取值范围.

28. (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考文科数学试题)设函数 f (x)=a (x-

1 )- ln x x

(1)当 a=1 时,求曲线 y =f (x) 在点 (1,f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f (x) 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)设函数 g (x )=

e ,若在[l,e]上至少存在一点 x0 使 f (x0 ) ? g (x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围. x

6页

最新 2013 届天津高三数学文科试题精选分类汇编 12:导数参考答案 一、选择题

C 2. B
1. 3.

【答案】C

f ( x) xf '( x) ? f ( x) f ( x) xf '( x) ? f ( x) ]' ? ]' ? ? 0 ,即函数在 (0, ??) ,所以当 x ? 0 时, [ 2 上 x x x x2 f (1) f ( x) ? 0 ,所以不等式 ? 0 解为 x ? 1 ,即不等式的解集为 (1, ??) ,选 f (1) ? 0 ,所以 单调递减,又 1 x
解:因为 [ C. 4. 【答案】B 【解析】由 f (4 ? x) ? f ( x) 可知函数的关于 x ? 2 对称 , 当 x ? 2 时 , f '( x) ? 0 , 函数单调递减 , 当

x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,函数单调递增,因为 x1 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 4 ,所以讨论:若 2 ? x1 ? x2 ,函数因为函
数单调递减,则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,若 x1 ? 2 ? x2 ,由 x1 ? x2 ? 4 得 x1 ? 4 ? x2 ,即 4 ? x2 ? x1 ? 2 ,函数 在 x ? 2 时,单调递增,即 f (4 ? x2 ) ? f ( x1 ) .即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,综上可知, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,选 B.
5.

【答案】D 【解析】设 F ( x) ? f ( x) ? ( ? ) , 则 F (1) ? f (1) ? ( ? ) ? 1 ? 1 ? 0 ,

x 2

1 2

1 2

1 2

1 1 , 对 任 意 x ? R , 有 F '( x ) ? f '( x ) ? ? 0 , 即 函 数 F ( x ) 在 R 上 单 调 递 减 , 则 2 2 x 1 F ( x) ? 0 的解集为 (1, ??) ,即 f ( x) ? ? 的解集为 (1, ??) ,选 D. 2 2 F '( x) ? f '( x ) ?
A 7. 【答案】B
6.

【解析】 因为函数 f (x)=x2 ? cos x 为偶函数,所以 f (?0.5) ? f (0.5) , f ' (x)=2x ? sin x ,当

0? x?

?
2

时 , f ' (x)=2x ? sin x ? 0 , 所 以 函 数 在

0? x?

?
2 递 增 , 所 以 有 f( 0)f < ( 0 . f5 ) < , ( 0.6) 即

f (0)<f ( ? 0.5)<f (0.6) ,选 B.
二、填空题 8. 9.

(??, 2 2 ? 2]
【答案】 135 ? ? ? 180 或 [
0 0

3? ,? ) 4









y' ?

?e x , 即 切 线 的 斜 率 为 (e x ? 21 )

k?

?4e x , 所 以 (e x ? 21 )

7页

k?

?4e x ?4e x 4 1 1 ? ?? ,因为 e x ? x ? 2 ? 2 ? 2 e x ? x ? 4 ,所以 ?1 ? k ? 0 , x 2 2x x 1 (e ? 1) e ? 2e ? 1 e e ex ? x ? 2 e

0 0 0 0 即 ?1 ? tan ? ? 0 ,所以 135 ? ? ? 180 ,即 ? 的取值范围是 135 ? ? ? 180 .

10. (0,1] 11. 【答案】 y ? ? x ? 2

【解析】函数的导数为 y ' ?

2x ?1 ? 2x ?1 ,即在点 (1,1) 处的切线斜率为 k ? ?1 ,所以在点 ? 2 (2 x ? 1) (2 x ? 1) 2

(1,1) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 y ? ? x ? 2 .
12. 【答案】

(??,1) (4, ??)
2 2

【解析】f ' (x)=24 x ? 6ax ? 6 ,要使函数在 (0, ??) 上是增函数,则 f ' (x)=24x ? 6ax ? 6 ? 0 恒成立,

a ? 4x ?


1 1 1 4x ? ? 2 4x ? ? 4 A ? {a a ? 4} x x x ,因为 , 所 以 a?4 , 即 集 合 . 集 合

B ={y|y =

5 ,x ? [-1,3]} x +2

? { y 1 ? x ? 5}
) .? (? 4 ,

,





A?

B {?

1x ?

x 4? }
,





?R (A B
三、解答题

) (? = ?,

1

)

8页

13.

9页

10 页

14.

15. (本小题满分 14 分)

11 页

小值, 所以 g ( x) 在 [0,2] 上的最大值只能为 g (0) 或 g (2) ………10 分 当 x2 ? 2 时,由于 g ( x) 在 [0,2] 上是单调递减函数,所以最大值为 g (0) ,又已知 g ( x) 在 x ? 0 处取 得最大值,所以 g (0) ? g (2) 即 0 ? 20 a ? 24 ,解得 a ?
16.

6 , 5

又因为 a ? 0 ,所以 a ? (0, ] . ………14 分

6 5

12 页

13 页

17. 18.已知函数 f ( x ) ?

1 3 m ?1 2 1 x ? x , g ( x ) ? ? mx , m 是实数. 3 2 3

(I)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,求 m 的值; (II)若 f ( x ) 在区间 (2, ??) 为增函数,求 m 的取值范围; (III)在(II)的条件下,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有三个零点,求 m 的取值范围. 【D】19.(I)解: f ?( x) ? x ? (m ? 1) x
2

14 页

由 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,得 f ?(1) ? 1 ? (m ? 1) ? 0 , 所以 m ? 0 (适合题意) (II) f ?( x) ? x2 ? (m ? 1) x ,因为 f ( x ) 在区间 (2, ??) 为增函数,所以 x2 ? (m ? 1) x ? x( x ? m ? 1) ? 0 在区间 (2, ??) 恒成立, 所以 x ? m ? 1 ? 0 恒成立,即 m ? x ? 1 恒成立 由于 x ? 2 ,得 m ? 1 . m 的取值范围是 m ? 1 (III) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 3 m ?1 2 1 x ? x ? mx ? , 3 3 2

故 h?( x) ? x2 ? (m ? 1) x ? m ? ( x ?1)( x ? m) ? 0 ,得 x ? m 或 x ? 1 当 m ? 1 时, h?( x) ? ( x ? 1)2 ? 0 , h( x) 在 R 上是增函数,显然不合题意 当 m ? 1 时, h( x) 、 h?( x ) 随 x 的变化情况如下表:
x

( ??, m)
+

m

( m,1)
?

1

(1, ??)
+

h( x )

0 极大值

0 极小值

h?( x)



1 1 1 ? m3 ? m 2 ? 6 2 3



m ?1 2



? 1 3 1 2 1 ? m ? m ? ?0 ? ?(m ? 1)( m 2 ? 2m ? 2) ? 0 ? 6 2 3 要使 f ( x) ? g ( x) 有三个零点,故需 ? , ?? m ? 1 m ? 1 ? ? ?0 ? ? 2
解得 m ? 1 ? 3 .所以 m 的取值范围是 m ? 1 ? 3

19. (1)

f ' ( x ) ? 3 x 2 ? a,

∵ f ( x) 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行 ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率为 0 即 f (1) ? 3 ? a ? 0 ,? a ? 3
'

1 5 2 2 3 3 ∵ x ? 0 ,故上式可化为 a ? 2 ln x ? ? x 恒成立,即 a ? (2 ln x ? ? x) min . x x

(2)原不等式可化为: x 3 ? ax ? 2 x( x 2 ? ln x ? ) ? x 2 ? 5 x ? 3, 化简得: ax ? 2 x ln x ? x ? 3,
2

15 页

3 x 2 ? 2x ? 3 ' 记 t ( x) ? 2 ln x ? ? x, ( x ? 0), t ( x) ? , x x2
令 t ' ( x) ? 0, ∵ x ? 0 ? x ? 1 ,? 在(0,1)上, t ' ( x) ? 0, 在 (1,??) 上, t ' ( x) ? 0,

? t ( x) 在(0,1)上单调递减,在 (1,??) 上单调递增.
故当 x ? 1 时, t ( x) 有最小值为 4,故 a ? (??,4] (3)化简得 G ( x) ? ln x ,原不等式可化为 ln x ? 记 F ( x) ? x ln x ,可求其最小值为 F ( ) ? ?

1 2 x 2 ? ,即证 x ln x ? x ? 成立, x ex e e e

1 , e x 2 1 记 H ( x) ? x ? ,可求其最大值为 H (1) ? ? , e e e
显然 x ? (0,??), F ( x) ? H ( x) ,故原不等式成立

1 e

20.解:(Ⅰ)当 a ? 5 时 g( x ) ? (? x

2

? 5 x ? 3) ? e x , g?( x ) ? (? x 2 ? 3 x ? 2) ? e x ┈┈1 分
┈┈┈┈

故切线的斜率为 g?(1) ? 4e ,

所以切线方程为: y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 4ex ? y ? 3e ? 0 . ┈┈┈┈ (Ⅱ) f ?( x ) ? ln x ? 1 , 令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? ①当 t ?

1 e

┈┈┈┈

1 时,在区间 ( t , t ? 2) 上, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 为增函数, e
┈┈┈┈

所以 f ( x )min ? f (t ) ? t ln t ②当 0 ? t ?

1 1 时,在区间 ( t , ) 上 f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 为减函数,┈┈┈┈ e e

在区间 ( , e ) 上 f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 为增函数,┈┈┈┈

1 e

所以 f ( x )min ? f ( ) ? ?

1 e

1 e
2

┈┈┈┈

(Ⅲ) 由 g( x) ? 2e x f ( x) 可得 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3
16 页

a ? x ? 2 ln x ?

3 , x 3 , x

┈┈┈┈

( x) ? x ? 2 ln x ? 令h
h ?( x) ? 1 ?

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) ? ? x x2 x2

┈┈┈┈

x
h ?( x )

1 ( ,1) e

1

(1,e)

?

0
极小值(最 小值)

?
单调递增

h( x)
┈┈┈┈

单调递减

1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2 , h(1) ? 4 , h(e) ? ? e ? 2 e e e 1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0 e e 3 ? 实数 a 的取值范围为(4,e ? 2 ? ] e
┈┈┈┈

┈┈┈┈

21.解: (I) f ?( x) ? 2 x ?

a , 依题意 f ?( x) ? 0 , x ? (1,2] ,即 a ? 2 x 2 , x ? (1,2] . x


∵上式恒成立,∴ a ? 2 又 g ?( x) ? 1 ?

a 2 x

,依题意 g ?( x) ? 0, x ? (0,1) ,即 a ? 2 x , x ? (0,1) . ②

∵上式恒成立,∴ a ? 2 . 由①②得 a ? 2

∴ f ( x) ? x 2 ? 2 ln x, g ( x) ? x ? 2 x . (II)由(1)可知,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 , 即x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2 ? 0. 设 h( x) ? x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2 , 则h ?( x) ? 2 x ?

2 1 ?1? , x x

令 h?( x) ? 0 ,并由 x ? 0, 得 ( x ? 1)(2x x ? 2x ? x ? 2) ? 0, 解知 x ? 1. 令 h ?( x) ? 0, 由 x ? 0, 解得0 ? x ? 1.
17 页

列表分析:

x
h?( x)

(0,1) -

1 0 0

(1,+?) + 递增

h( x ) 递减 知 h( x) 在 x ? 1 处有一个最小值 0,

当 x ? 0且x ? 1 时, h( x) >0,∴ h( x) ? 0 在(0,+?)上只有一个解. 即当 x>0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解 (III)设 ? ( x) ? x ? 2 ln x ? 2bx ?
2

1 2 2 则? ' ( x) ? 2 x ? ? 2b ? 3 ? 0 , 2 x x x

?? ( x) 在 (0,1] 为减函数?? ( x)min ? ? (1) ? 1 ? 2b ? 1 ? 0 又 b ? ?1
所以: ? 1 ? b ? 1 为所求范围 A
22.解:(1) g ?( x) ? 3x
2

1 ? 2ax ?1 ? 0 的解集是 ( ? ,1) ,所以将 x ? 1 代入方程 3x2 ? 2ax ?1 ? 0 3

? a ? ?1 ,? g ( x) ? x3 ? x2 ? x ? 2
(2)若点 P(1,1) 是切点,,则切线方程为 y ? 1 若点 P(1,1) 不是切点,,则切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 (3) 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 ? 2 在 x ? (0, ??) 上恒成立
2

? a ? ln x ?

3 1 x? 2 2x 3x 1 1 3 1 ( x ? 1)(3 x ? 1) ? ?? 设 h( x) ? ln x ? ,? h?( x) ? ? ? 2 2 2x x 2 2x 2x2 1 令 h?( x) ? 0,? x ? 1, x ? ? (舍) 3
当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, h?( x) ? 0

? x ? 1 时, h( x) 取得最大值, h( x)max ? ?2

? a ? ?2

? a 的取值范围是 ? ?2, ???
? f (1) ? 3 ?a ? 4 解得 ? ? f ?(1) ? ?3 ?b ? 12

23.

(I) f ( x) ? 3ax ? 2bx ? 9 , ?
' 2

? f ( x) ? 4 x3 ?12 x2 ? 9 x ? 2
(II) f ?( x) ? 12 x ? 24 x ? 9 ? 3(2 x ? 3)(2 x ?1)
2

? f ( x), f ?( x) 的变化情况如下表:

18 页

]x

1 4

?1 1? ? , ? ?4 2?
+

1 2
0

?1 3? ? , ? ?2 2?
?
11 2

3 2
0

?3 ? ? ,2? ?2 ?
+

2

f ' ( x)
f ( x)
57 16

极大值

极小值2

4

f ( x)min ? 2 ? f ( x)min ? 2 ? t 2 ? 2t ? 1 , ? 1 ? t ? 3
t?? 1 9 时,最小值为 ? ,当 t ? 3 时,最大值为 10 2 4

? g (t ) ? t 2 ? t ? 2 ( ? 1 ? t ? 3 ), 当

24. (I)函数

f ( x) ? ln x ? a 2 x 2 ? ax 的定义域为 (0, ??)
1 ?2a 2 x 2 ? ax ? 1 ?(2ax ? 1)(ax ? 1) ? 2a 2 x ? a ? ? x x x

? f '( x ) ?

1 ? 0 ,? f ( x ) 的增区间为 (0, ??) ,此时 f ( x ) 无极值; x 1 1 ② 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? ? (舍去) a 2a
① 当 a ? 0 时, f '( x ) ?

x
f '( x)
f ( x)

1 (0, ) a

1 a
0 极 大 值

1 ( , ?? ) a

?

?

1 1 ? f ( x ) 的增区间为 (0, ) ,减区间为 ( , ?? ) a a 1 ? f ( x ) 有极大值为 f ( ) ? ? ln a ,无极小值; a 1 1 ' ③ 当 a ? 0 时,令 f ( x) ? 0 ,得 x ? (舍去)或 x ? ? a 2a

x
f '( x)
f ( x) ? f ( x ) 的增区间为 (0, ? ? f ( x ) 有极大值为 f ( ?

(0, ?

1 ) 2a

?

1 2a
0

(?

1 , ??) 2a

?

?

极大 值

1 1 ) ,减区间为 ( ? , ??) 2a 2a

1 3 ? 1 ? 3 ) ? ln ? ? ? ? ? ? ln( ?2a ) ? ,无极小值; 2a 4 ? 2a ? 4
19 页

(II)由(1)可知:①当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 (1, ??) 上为增函数,不合题意;

?1 1 ? ?1 ②当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ?? ) ,依题意,得 ? a ,得 a ? 1 ; a ? ?a ? 0
? 1 ?1 1 1 ?? ? ? ③当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ? ,得 a ? ? , ?? ? ,依题意,得 ? 2a ? 2 ? 2a ? ? ?a ? 0
综上,实数 a 的取值范围是 ( ??, ? ] 法二:①当 a ? 0 时, f '( x ) ?

1 2

[1, ??) .

1 ? 0 ,? f ( x ) 在区间 (1, ??) 上为增函数,不合题意; x

②当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 (1, ??) 上为减函数,只需 f '( x) ? 0 在区间 (1, ??) 上恒成立.

x ? 0 ?只要2a 2 x2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立,
? a ?1 1 ? ? ? 4a 2 , 解得a ? ? 或a ? 1. 2 2 ? ? 2a ? a ? 1 ? 0

25.
20 页

26. (1)

f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 ? f ?( x) ? 0 在 [1,??] 上恒成立 ? 3x 2 ? 2ax ? 3 ? 0 ? 3( x 2 ? 1) ? a?? ? ? 2 x ? min
? f ( x) 在 [1,??) ? ? a ? (??,0]
(2)由题意得 f ?( ) ? 0

? x ? [1,??)

?a ?

3(1 ? 1) 即a ? 0 2

1 3

1 2 ? ? a?3? 0? a ? 4 3 3 ? f ( x) ? x 3 ? 4x 2 ? 3x, x ? [1,4] 1 ? x ? 3或 ? 3

? f ?( x) ? 3x 2 ? 8x ? 3 ? ( x ? 3)(3x ? 1)

f ?( x) f ( x)
? f (1) ? ?6, f (4) ? ?12

x

1 -6

(1,3) ↓

3 0 极小

(3,4) + ↑

4 0 -12

? f ( x) 在 [1,4] 上的最大值为-6
(3)? g ( x) ? bx与f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? 3x 有 3 个交点 ∴令 h( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? (b ? 3) x

? x ? 0 时, h( x) ? 0 为一个交点
? x ? 0 时, h( x) ? x 2 ? 4x ? (b ? 3) ? 0 有两个不等实根 ? ? ? 0 ,即 16 ? 4(b ? 3) ? 0 ,且 b ? 3 ? 0

? b ? ?7且b ? ?3
∴存在实数 b, b ? (?7,?3) ? (?3,??) . ∴令 f ( x) ? g ( x)

27.解:(1)

f ' ?x? ? ax2 ? 3x ? a ? 1 ? 0 得 a ? 1
1 3 3 2 x ? x ?2 x ? 5 3 2

?y?

(2)曲线 y=f(x)与直线 y=2x+m 有三个交点 即

1 3 3 2 x ? x ? 2 x ? 5 ? 2 x ? m ? 0 有三个根 3 2
21 页

即有三个零点

由 g ( x)? ? x 2 ?3x ? 0 得 x=0 或 x=3 由 g′(x)>0 得 x<0 或 x>3,由 g′(x)<0 得 0<x<3 ∴函数 g(x)在(-∞,0)上为增函数,在(0,3)上为减函数,在(3,+∞)上为增函数,要使 g(x)有三个零点, 只需 ? 解得:

? g ?0? ? 0 ? g ?3? ? 0
1 ?m?5 2

28.

22 页


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